遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期12月月考數(shù)學試卷【含答案解析】

遼寧省名校聯(lián)盟2024年高一12月份聯(lián)合考試數(shù)學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合，結(jié)合補集以及集合的交集、并集運算，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】由題意可得，，故，A錯誤;由于，故，，所以B正確，C錯誤；，則不是A的子集，D錯誤，故選：B2.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A項，的定義域為，在，上單調(diào)遞減，但不能說在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A項錯誤；對于B項，的定義域為，且，所以不是奇函數(shù)，故B項錯誤；對于C項，的定義域為，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C項錯誤；對于D項，的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，故D項正確．故選：D．3.已知某種污染物的濃度（單位：摩爾/升）與時間（單位：天）的關(guān)系滿足指數(shù)裺型，其中是初始濃度（即時該污染物的濃度），是常數(shù)，第天（即）測得該污染物的濃度為摩爾/升，第天測得該污染物的濃度為摩爾/升，若第天測得該污染物的濃度變?yōu)椋瑒t（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件進行賦值，聯(lián)立方程組求得解析式，再結(jié)合函數(shù)值直接求解即可.【詳解】由題意可得則，解得．令，即，所以，所以，解得．故選：B4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，并判斷在上函數(shù)值符號，即可得確定圖象.【詳解】由解析式，知的定義域為，，所以奇函數(shù)，當時，，，則，所以，在上，結(jié)合各項函數(shù)圖象，知：C選項滿足要求.故選：C5.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用定義法結(jié)合性質(zhì)法判斷函數(shù)奇偶性，解方程.【詳解】若函數(shù)有意義，則，當時，不等式解集為，即函數(shù)定義域為，又函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得；當時，不等式的解集為，即函數(shù)定義域為，此時函數(shù)不是偶函數(shù)，舍；當時，不等式的解集為，即函數(shù)的定義域為，又函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，不滿足，舍；當時，不等式的解集為，舍；當時，不等式的解集為，即函數(shù)的定義域為，又函數(shù)為偶函數(shù)，則，解得，不滿足，舍；綜上所述，此時函數(shù)，設(shè)，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以若使為偶函數(shù)，則需函數(shù)為奇函數(shù)，即，即，解得，綜上所述，滿足，即為偶函數(shù)，綜上所述，，故選：D.6.已知，且函數(shù)在上有最小值，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對分類討論，求出分段函數(shù)兩段的值域，結(jié)合題意即可作出判斷.【詳解】當時，；當時，，若時，，且，∴函數(shù)在上有最小值，當時，，此時，顯然函數(shù)在上沒有有最小值，最小值無限趨近于零；綜上：a的取值范圍為故選：A【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，考查指數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查分類討論思想，屬于中檔題.7.已知為偶函數(shù)，若對任意，，總有成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意確定函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸即可求解.【詳解】由可得，即，也即，當時，，當時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因為為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，所以在單調(diào)遞減，且，所以由得解得,故選:A.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷為偶函數(shù)，可得，令，則可作出的圖象，結(jié)合圖象以及方程有8個不同的實數(shù)根的條件可求答案.【詳解】因為函數(shù)定義域為，，所以為偶函數(shù)，當時，令，則可作出的圖象：關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根.令，則.，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，假命題為（）A.命題“，”的否定是“，”B.與是同一個函數(shù)C.函數(shù)的增區(qū)間為D.函數(shù)的最小值是2【答案】ACD【解析】【分析】求得存在量詞的否定可判斷A；求出兩函數(shù)的定義域，結(jié)合對應(yīng)法則可判斷B；先求出定義域，再根據(jù)復合函數(shù)同增異減求出單調(diào)區(qū)間可判斷C；利用基本不等式計算可判斷D.【詳解】對于A選項，命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；對于B選項，由，解得，故的定義域為，由，解得，故的定義域為，又，故B正確；對于C選項，由，解得或，其中在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)單調(diào)性可知，的增區(qū)間為，故C錯誤；對于D選項，因為，所以，當且僅當時等號成立，無實數(shù)解，所以，故D錯誤.故選：ACD.10.若，，且，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，注意的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法即可求解.詳解】令，則由一次函數(shù)知，在上單調(diào)遞增，由對數(shù)函數(shù)知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，故A正確；由A知，，又，，，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，故B正確，由B知，，令，，，此時，故C錯誤；由B知，，令，，，此時，故D錯誤；故選：AB.11.某數(shù)學興趣小組對函數(shù)進行研究，得出如下結(jié)論，其中正確的有（）A.B.，都有C.的值域為D.，，都有【答案】ABD【解析】【分析】利用可判斷A；分、求單調(diào)性值域可判斷B；分、討論可得的值域可判斷C；作差利用基本不等式可判斷D．【詳解】對于A：，A正確；對于B：當時，，因為單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，且，，當時，，因為單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，且，所以，則在R上單調(diào)遞減，故B正確；對于C：當時，，當時，，綜上的值域為，故C不正確；對于D：當，時，，僅當?shù)忍柍闪ⅲ?，，都有，故D正確．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是根據(jù)給定的函數(shù)解析式的特征判斷函數(shù)單調(diào)性及值域.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則___________.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】，，所以.故答案為：13.甲說：已知是R上的減函數(shù)，乙說：存在，使得關(guān)于的不等式在時成立，若甲、乙兩人說的話都不對，則的取值范圍是___________．【答案】或【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性和不等式能成立問題，分別分析甲、乙說的話對，能夠得到的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】若甲對，則，解得．若乙對，由存在，使得關(guān)于的不等式在時成立．可得，，因在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知在內(nèi)的最大值為，可得，解得．若甲說的話不對，則或，若乙說的話不對，則，若甲、乙說的話都不對，則或，故的取值范圍是或.故答案為：或14.已知函數(shù)（且）只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】或或【解析】【詳解】∵函數(shù)（a>0且）只有一個零點，∴∴當時，方程有唯一根2，適合題意當時，x=2或顯然符合題意的零點∴當時，當時，，即綜上：實數(shù)的取值范圍為或或故答案為或或點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，全集，集合，函數(shù)的定義域為.（1）當時，求；（2）若是成立的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求得集合A和集合B，根據(jù)補集和交集的定義即可求解；(2)由是的充分不必要條件，可知集合是集合的真子集.根據(jù)真包含關(guān)系建立不等式求解即可.【小問1詳解】，即.由，得，解得，即.當時，.∴.【小問2詳解】由是的充分不必要條件，可知集合是集合的真子集.所以解得，經(jīng)檢驗符合集合是集合的真子集，所以a的取值范圍是.16.已知函數(shù)，其中且．（1）若函數(shù)的圖象過點，求不等式的解集；（2）若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入點坐標計算求出，根據(jù)定義域和單調(diào)性即可求出的解集；（2）根據(jù)的定義域?qū)栴}轉(zhuǎn)化為時，有解，再結(jié)合分離常數(shù)法和換元，最后借助一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】，則，，，，，定義域為0,+∞，要解不等式，則，．又在定義域內(nèi)是嚴格增函數(shù)，由，則，解得．綜上所述，不等式的解集為．【小問2詳解】的定義域為0,+∞，則在方程中，應(yīng)滿足，由，解得，問題轉(zhuǎn)化為時，方程有實數(shù)解．又，則，即．為嚴格單調(diào)函數(shù)，，，兩邊同除以得．令，由，則，在有解．又在0,+∞上嚴格增函數(shù)，，即，又，則.17.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的零點；（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；（3）當時，若關(guān)于的不等式在時恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）零點為0（2）（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)零點定義即可得解；（2）由函數(shù)奇偶性的定義即可得解；（3）由題意將條件轉(zhuǎn)化為在時恒成立，再利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】當時，令，解得，所以當時，函數(shù)的零點為0.【小問2詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，又不恒為0，所以，即.【小問3詳解】當時，，因為關(guān)于的不等式在時恒成立，所以，又因為，當且僅當，即時等號成立，所以，即的取值范圍是.18.已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)，均有，且，當時，．（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明；（3）若對任意，，，總有恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）．【解析】【分析】（1）令，結(jié)合得f?x=?fx（2）先利用條件證時，，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及已知條件，判斷函數(shù)單調(diào)性即可；（3）先判斷在R上的單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最值，然后將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，即對恒成立，列不等式組求解即可.【小問1詳解】函數(shù)為R上的奇函數(shù).證明如下：易知函數(shù)的定義域為R，令，則，又，所以f?x=?fx，所以函數(shù)奇函數(shù).【小問2詳解】在0,+∞上的單調(diào)遞增，證明如下：由（1）知，，當時，，所以，從而，，則，因為，所以，又當時，，所以，所以，所以，故在0,+∞上的單調(diào)遞增.【小問3詳解】由（1）知，函數(shù)為R上的奇函數(shù)，所以，由（2）知，當時，，且在0,+∞上的單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)的最大值為，最小值為，又任意，總有恒成立，所以，即，由題意，對恒成立，令，則，所以，解得或，故實數(shù)的取值范圍是.19.我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的圖像的對稱中心，并說明理由；（2）已知函數(shù)，問是否有對稱中心？若有，求出對稱中心；若沒有，請說明理由；（3）對于不同的函數(shù)與，若的圖像都是有且僅有一個對稱中心，分別記為和．（i）求證：當時，的圖像仍有對稱中心；（ii）問：當時，的圖像是否仍一定有對稱中心？若一定有，請說明理由；若不一定有，請舉出具體的反例．【答案】（1）為奇函數(shù)，對稱中心是，理由見解析（2）有對稱中心，對稱中心為（3）（i）證明見解析；（ii）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義即可判斷的奇偶性；易證明，經(jīng)過變形即可得到的對稱中心；（2）假設(shè)具有對稱中心，則，代入的解析式求解即可；（3）（i）只需證明等于一個常數(shù)即可；（ii）給出一個具體的反例說明即可.