第07講 直線與圓的位置關(guān)系-【暑假自學(xué)課】新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第07講直線與圓的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握直線與圓的各種位置關(guān)系；2.理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問(wèn)題；【基礎(chǔ)知識(shí)】一．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)．②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．二．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．三．切線的判定（1）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的．③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．四．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見(jiàn)的輔助線的：①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．五．弦切角定理（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．六．切線長(zhǎng)定理（1）圓的切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線長(zhǎng)定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問(wèn)題中經(jīng)常用到．七．切割線定理（1）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．幾何語(yǔ)言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等．幾何語(yǔ)言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．【考點(diǎn)剖析】一．直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）1．（2022?邗江區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知⊙O的直徑是8，圓心O到直線a的距離是3，則直線a和⊙O的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．外切2．（2021秋?江北區(qū)期末）已知圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，且圓心到直線的距離為4，則該圓的半徑可能為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021秋?信都區(qū)期末）半徑為5的四個(gè)圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個(gè)圓的圓心到直線l的距離為4，則這個(gè)圓可以是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4二．切線的性質(zhì)（共2小題）4．（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，若∠P＝40°則∠ACB的度數(shù)為（）A．70° B．50° C．20° D．40°5．（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，連接AD，若∠ACD＝20°，則∠CAD的度數(shù)等于（）A．20° B．25° C．35° D．45°三．切線的判定（共2小題）6．（2022?東明縣一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，在AC上取一點(diǎn)D，使得DE＝AD，（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）當(dāng)BC＝10，AD＝4時(shí)，求⊙O的半徑．7．（2021秋?玉林期末）AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過(guò)D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE＝CB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)．四．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）8．（2021秋?源匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB為⊙D的切線，BD是∠ABC的平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E．求證：BC是⊙D的切線．9．（2021秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AD平分∠BAC交弦BC于F，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若DF＝2，AF＝6，求⊙O的半徑．五．弦切角定理（共1小題）10．如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于E，過(guò)B作⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于D．求證：∠CBD∠CAB．六．切線長(zhǎng)定理（共3小題）11．（2021秋?中山市期末）如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長(zhǎng)度為（）A．8 B．9 C．10 D．1112．（2021秋?上思縣期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝5，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．8 D．1013．（2021秋?無(wú)為市校級(jí)月考）如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)．C是弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C畫⊙O的切線，分別交PA和PB于D，E兩點(diǎn)，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周長(zhǎng)．七．切割線定理（共2小題）14．（2021秋?襄都區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P是⊙O直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，已知OB＝3，PB＝2．則PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．515．（2020秋?崇川區(qū)月考）如圖，P是圓O外的一點(diǎn)，點(diǎn)B、D在圓上，PB、PD分別交圓O于點(diǎn)A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝．八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共4小題）16．（2021秋?大余縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°17．（2021秋?信都區(qū)期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分別是△ABC中線和高線，則（）A．D點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心 B．D點(diǎn)是△ABC的外心 C．E點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心 D．E點(diǎn)是△ABC的外心18．（2021秋?涼山州期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M是△ABC的內(nèi)心，連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F交⊙O于點(diǎn)E，連接OE與AC相交于點(diǎn)D．（1）求證：ODBC；（2）求證：EM＝EA．19．（2022春?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半徑r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半徑r．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共5小題）1．（2022春?岳麓區(qū)月考）已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為25°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2021秋?大余縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°3．（2021秋?建鄴區(qū)期末）如圖，若⊙O的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l44．（2021秋?濱?？h期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）A．以O(shè)A為半徑的圓 B．以O(shè)B為半徑的圓 C．以O(shè)C為半徑的圓 D．以O(shè)D為半徑的圓5．（2021秋?蘭山區(qū)期末）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2二．填空題（共6小題）6．（2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），直線AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為．7．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知正三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r：R＝．8．（2022?越秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC與⊙O交于點(diǎn)D，若BC＝3，AD，則AB的長(zhǎng)為．9．（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當(dāng)OM＝cm時(shí)，⊙M與OA相切．10．（2022?越秀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠P＝70°，則∠ABO＝．11．（2022?玉環(huán)市一模）如圖，已知⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，∠C＝90°，BC邊上切點(diǎn)為點(diǎn)D．作⊙O的直徑DE，連結(jié)AE并延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，若∠AFC＝45°，F(xiàn)D＝2，則AB的長(zhǎng)為．三．解答題（共10小題）12．（2022?富平縣一模）如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE．（1）過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交BP于點(diǎn)D，求證：CD⊥PA；（2）若⊙O的半徑為5，AB＝6，求BD的長(zhǎng)．13．（2020秋?佳木斯期末）已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，CP．（1）如圖①，△OPC的最大面積是；（2）如圖②，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，當(dāng)CP＝DB時(shí)，求證：CP是⊙O的切線．14．（2022?泗陽(yáng)縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，射線BC交⊙O于點(diǎn)D，E是劣弧AD上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FE和BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）證明：GF是⊙O的切線；（2）若AG＝6，GE＝6，求△GOE的面積．15．（2022?蘭溪市模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，CD切⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)B是CF的中點(diǎn)，弦CF交AB于點(diǎn)E，連結(jié)OF、BC，過(guò)B點(diǎn)作BG⊥CD于點(diǎn)G．（1）若∠BCD＝28°，求∠F的度數(shù)；（2）若CF＝4OE，⊙O的半徑為，求BG的長(zhǎng)．16．（2022?和平區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，△ACD是⊙O的內(nèi)接三角形，PB切⊙O于點(diǎn)B．（Ⅰ）如圖①，延長(zhǎng)AD交PB于點(diǎn)P，若∠C＝40°，求∠P和∠BAP的度數(shù)；（Ⅱ）如圖②，連接AP交⊙O于點(diǎn)E，若∠D＝∠P，，求∠P和∠BAP的度數(shù)．17．（2022?邳州市一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AD為⊙O的直徑，E是AB上一點(diǎn)，將正方形的一個(gè)角沿EC折疊，使得點(diǎn)B恰好與圓上的點(diǎn)F重合．（1）求證：CF與⊙O相切；（2）若⊙O的半徑為1，則AE的長(zhǎng)為．18．（2022?藍(lán)田縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)O為BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心、OB為半徑的⊙O切AC于點(diǎn)D，連接OA、BD，OA與BD相交于點(diǎn)E．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若∠C＝30°，⊙O的半徑為10，求OE的長(zhǎng)．19．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線交⊙O于D，