2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第9講離散型隨機變量的均值創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第9講離散型隨機變量的均值、方差和正態(tài)分布[考綱解讀]1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，并能依據(jù)分布列正確求出期望與方差，并能解決一些實際問題．(重點、難點)2．借助直方圖相識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，駕馭正態(tài)曲線的相關(guān)性質(zhì)，并能進行正確求解．[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講是高考中的熱點題型．預(yù)料2024年將會考查：①與分布列相結(jié)合求期望與方差，通過設(shè)置親密貼近現(xiàn)實生活的情景，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識；②正態(tài)分布的考查，尤其是正態(tài)總體在某一區(qū)間內(nèi)的概率．題型為解答題中的一問，試題難度不會太大，屬中檔題型.1.離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱E(X)＝eq\o(□,\s\up1(01))x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的eq\o(□,\s\up1(02))平均水平．(2)D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的eq\o(□,\s\up1(03))平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝eq\o(□,\s\up1(01))aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝eq\o(□,\s\up1(02))a2D(X)(a，b為常數(shù))．3．兩點分布與二項分布的均值、方差XX聽從兩點分布X～B(n，p)E(X)eq\o(□,\s\up1(01))peq\o(□,\s\up1(02))npD(X)eq\o(□,\s\up1(03))p(1－p)eq\o(□,\s\up1(04))np(1－p)4．正態(tài)曲線(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差)．(2)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關(guān)于直線eq\o(□,\s\up1(01))x＝μ對稱；③曲線在eq\o(□,\s\up1(02))x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ肯定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，eq\o(□,\s\up1(03))σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；eq\o(□,\s\up1(04))σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．

5.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示假如對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量X滿意P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx(即x＝a，x＝b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機變量X聽從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝eq\o(□,\s\up1(01))0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝eq\o(□,\s\up1(02))0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝eq\o(□,\s\up1(03))0.9974.1．概念辨析(1)隨機變量不行以是負(fù)數(shù)，隨機變量所對應(yīng)的概率可以是負(fù)數(shù)，隨機變量的均值不行以是負(fù)數(shù)．()(2)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．()(3)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小.()(4)一個隨機變量假如是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就聽從或近似聽從正態(tài)分布．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小題熱身(1)已知隨機變量X的分布列如下，X－202Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則E(X)與D(X)的值分別為()A．0,2 B.0，eq\f(8,3)C．2,0 D.eq\f(8,3)，0答案B解析E(X)＝(－2)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝0，D(X)＝(－2－0)2×eq\f(1,3)＋(0－0)2×eq\f(1,3)＋(2－0)2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,3).(2)設(shè)ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝15，D(ξ)＝11.25，則n＝()A．45 B.50C．55 D.60答案D解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Eξ＝np＝15，,Dξ＝np1－p＝11.25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝0.25，,n＝60.))(3)(2024·涼山州模擬)已知隨機變量ξ，且ξ～N(μ，σ2)，若P(－3<ξ<－1)＝P(3<ξ<5)，則μ＝()A．4 B.2C．1 D.0答案C解析依題意，P(－3<ξ<－1)＝P(3<ξ<5)，又區(qū)間(－3，－1)和(3,5)關(guān)于x＝1對稱，結(jié)合正態(tài)分布的學(xué)問，關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)域所對應(yīng)的概率相等，所以μ＝1.(4)已知X的分布列為，且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，則a為()A．1 B.2C．3 D.4答案B解析先求出E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).再由Y＝aX＋3，得E(Y)＝aE(X)＋3.∴eq\f(7,3)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋3.解得a＝2.題型一離散型隨機變量的均值、方差角度1離散型隨機變量均值與方差的計算問題1．不透亮袋子中裝有大小、材質(zhì)完全相同的2個紅球和5個黑球，現(xiàn)從中逐個不放回地摸出小球，直到取出全部紅球為止，則摸取次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是()A.eq\f(18,5) B.eq\f(9,2)C.eq\f(36,7) D.eq\f(16,3)答案D解析當(dāng)x＝k時，第k次取出的必定是紅球，而前k－1次中，有且只有1次取出的是紅球，其余次數(shù)取出的皆為黑球，故P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(1,k－1),C\o\al(2,7))＝eq\f(k－1,21)，于是得到X的分布列如下．X234567Peq\f(1,21)eq\f(2,21)eq\f(1,7)eq\f(4,21)eq\f(5,21)eq\f(2,7)故E(X)＝2×eq\f(1,21)＋3×eq\f(2,21)＋4×eq\f(1,7)＋5×eq\f(4,21)＋6×eq\f(5,21)＋7×eq\f(2,7)＝eq\f(16,3).2．(2024·濟南模擬)已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則P(X<1)＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)答案eq\f(2,3)解析∵E(X)＝0，D(X)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,－12×a＋02×b＋12×c＋22×\f(1,12)＝1，))又a，b，c∈[0,1]，∴a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,4)，P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2,3).角度2二項分布的均值、方差問題3．(2024·南陽模擬)設(shè)隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則D(3Y＋1)＝()A．2 B.3C．6 D.7答案C解析∵隨機變量X～B(2，p)，P(X≥1)＝eq\f(5,9)，∴P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)(1－p)2＝eq\f(4,9).∴p＝eq\f(1,3)，∴D(Y)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)，∴D(3Y＋1)＝9D(Y)＝6.4．(2024·泉州模擬)2024年，依托用戶碎片化時間的消遣需求、共享需求以及視頻態(tài)的信息負(fù)載力，短視頻快速崛起．與此同時，移動閱讀方興未艾，從側(cè)面反映了人們對精神富足的一種追求，在習(xí)慣了大眾消遣所帶來的短暫愉悅后，部分用戶照舊對有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊的肅穆閱讀青睞有加．某讀書App抽樣調(diào)查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日運用時長(單位：分)，繪制成頻率分布直方圖如下，其中日運用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”．(1)請?zhí)顚懸韵?×2列聯(lián)表，并推斷是否有99.5%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與所在城市有關(guān)？活躍用戶不活躍用戶總計城市M城市N總計(2)以頻率估計概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)該讀書App還統(tǒng)計了2024年4個季度的用戶運用時長y(單位：百萬小時)，發(fā)覺y與季度(x)線性相關(guān)，得到回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up6(^)).已知這4個季度的用戶平均運用時長為12.3百萬小時，試以此回來方程估計2024年第一季度(x＝5)該讀書App用戶運用時長約為多少百萬小時．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.828解(1)由已知條件可得以下2×2列聯(lián)表：活躍用戶不活躍用戶總計城市M6040100城市N8020100總計14060200因為K2＝eq\f(200×60×20－80×402,100×100×140×60)＝eq\f(200,21)≈9.524>7.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為用戶是否活躍與所在城市有關(guān)．(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，城市M中活躍用戶占eq\f(3,5)，城市N中活躍用戶占eq\f(4,5).設(shè)從城市M中任選的2名用戶中活躍用戶數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,5))).設(shè)從城市N中任選的1名用戶中活躍用戶數(shù)為Y，則Y聽從兩點分布，其中P(Y＝1)＝eq\f(4,5).由題意可得，ξ的全部可能的取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(X＝0)·P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2·eq\f(1,5)＝eq\f(4,125)；P(ξ＝1)＝P(X＝0)·P(Y＝1)＋P(X＝1)·P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2·eq\f(4,5)＋Ceq\o\al(1,2)·eq\f(3,5)·eq\f(2,5)·eq\f(1,5)＝eq\f(28,125)；P(ξ＝2)＝P(X＝1)·P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(2,5)·eq\f(3,5)·eq\f(4,5)＋Ceq\o\al(2,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2·eq\f(1,5)＝eq\f(57,125)；P(ξ＝3)＝P(X＝2)·P(Y＝1)＝Ceq\o\al(2,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2·eq\f(4,5)＝eq\f(36,125).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(4,125)eq\f(28,125)eq\f(57,125)eq\f(36,125)E(ξ)＝0×eq\f(4,125)＋1×eq\f(28,125)＋2×eq\f(57,125)＋3×eq\f(36,125)＝2.(3)由已知條件得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5.又eq\o(y,\s\up6(－))＝12.3，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up6(^))，得12.3＝4×2.5＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝2.3，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋2.3.將x＝5代入上式，得eq\o(y,\s\up6(^))＝4×5＋2.3＝22.3(百萬小時)，所以2024年第一季度該讀書App用戶運用時長約為22.3百萬小時．角度3超幾何分布的均值、方差問題5．(2024·青島二中模擬)隨著經(jīng)濟的發(fā)展和個人收入的提高，自2018年10月1日起，個人所得稅起征點和稅率依法進行調(diào)整．其中，納稅人的工資、薪金所得，先行以每月收入額減除費用五千元以及專項扣除和依法確定的其他扣除后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表：個人所得稅稅率表(調(diào)整前)免征額3500元級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率(%)1不超過1500元的部分32超過1500元至4500元的部分103超過4500元至9000元的部分20………個人所得稅稅率表(調(diào)整后)免征額5000元級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率(%)1不超過3000元的部分32超過3000元至12000元的部分103超過12000元至25000元的部分20………(1)假如小李某月的工資、薪金等所得稅前收入為7500元(無專項扣除和依法確定的其他扣除)，請你幫小李算一下調(diào)整后小李的實際收入比調(diào)整前增加了多少？(2)某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同級別員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：收入/元[3000，5000)[5000，7000)[7000，9000)[9000，11000)[11000，13000)[13000，15000]人數(shù)304010875先從收入在[3000,5000)及[5000,7000)的員工中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法學(xué)問宣講員．用a表示抽到作為宣講員的收入在[3000,5000)元的人數(shù)，b表示抽到作為宣講員的收入在[5000,7000)元的人數(shù)．設(shè)隨機變量Z＝|a－b|，求Z的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．解(1)由于小李的工資、薪金等所得稅前收入為7500元，按調(diào)整前起征點應(yīng)納個稅為1500×3%＋2500×10%＝295(元)．按調(diào)整后起征點應(yīng)納個稅為2500×3%＝75(元)．比較兩個納稅方案可知，按調(diào)整后起征點應(yīng)納個稅比調(diào)整前少交220元．所以調(diào)整后小李的實際收入比調(diào)整前增加了220元．(2)①由頻數(shù)分布表可知從收入在[3000,5000)及[5000,7000)的員工中抽取7個，其中收入在[3000,5000)內(nèi)的有3人，收入在[5000,7000)內(nèi)的有4人，再從這7人中選4人，所以Z的全部可能的取值為0,2,4.P(Z＝0)＝P(a＝2，b＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(Z＝2)＝P(a＝1，b＝3)＋P(a＝3，b＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3)C\o\al(1,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(16,35)，P(Z＝4)＝P(a＝0，b＝4)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).所以Z的分布列如下，Z024Peq\f(18,35)eq\f(16,35)eq\f(1,35)數(shù)學(xué)期望E(Z)＝0×eq\f(18,35)＋2×eq\f(16,35)＋4×eq\f(1,35)＝eq\f(36,35).方差D(Z)＝eq\f(18,35)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(36,35)))2＋eq\f(16,35)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(36,35)))2＋eq\f(1,35)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(36,35)))2＝eq\f(1504,1225).(1)求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟①理解X的意義，寫出X的全部可能取值．②求X取每個值的概率．③寫出X的分布列．④由均值的定義求E(X)．⑤由方差的定義求D(X)．(2)留意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機變量X的均值為E(X)，則對應(yīng)隨機變量aX＋b的均值是aE(X)＋b，方差為a2D(X)．(3)假如ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大削減計算量．見舉例說明3.1．(2024·南充市高三摸底)設(shè)離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，又X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3，則a－b＝()A.eq\f(1,10) B.0C．－eq\f(1,10) D.eq\f(1,5)答案A解析設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為1,2,3,4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，∴(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝3，則(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，a＝eq\f(1,10)，b＝0，∴a－b＝eq\f(1,2．(2024·沈陽模擬)隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機軟件層出不窮．為調(diào)查某款訂餐軟件上商家的服務(wù)狀況，統(tǒng)計了10次訂餐“送達(dá)時間”(單位：分)，得到莖葉圖如下：(1)請計算“送達(dá)時間”的平均數(shù)與方差；(2)依據(jù)莖葉圖填寫下表：送達(dá)時間35分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)超過35分鐘頻數(shù)AB頻率CD(3)在(2)的狀況下，以頻率代替概率．現(xiàn)有3個客戶用此軟件訂餐，求出在35分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)收到餐品的人數(shù)X的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望．解(1)“送達(dá)時間”的平均數(shù)為eq\f(28＋29＋32＋34＋34＋35＋36＋38＋41＋43,10)＝35(分)，方差為eq\f(1,10)×[(28－35)2＋(29－35)2＋(32－35)2＋(34－35)2＋(34－35)2＋(35－35)2＋(36－35)2＋(38－35)2＋(41－35)2＋(43－35)2]＝20.6.(2)A＝6，B＝4，C＝0.6，D＝0.4.(3)由題意知，在35分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)收到餐品的人數(shù)X的全部可能的取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.60×0.43＝0.064；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.6×0.42＝0.288；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×0.4＝0.432；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0.63×0.40＝0.216.所以X的分布列如下，X0123P0.0640.2880.4320.216所以E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8(或X聽從二項分布B(3,0.6)，E(X)＝3×0.6＝1.8)．3．(2024·漳州二模)某市電視臺舉辦紀(jì)念紅軍長征成功學(xué)問回答活動，宣揚長征精神，首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進行支持簽名活動．公園甲乙丙丁獲得簽名人數(shù)45603015然后在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運之星回答問題，從10個關(guān)于長征的問題中隨機抽取4個問題讓幸運之星回答，全部答對的幸運之星獲得一份紀(jì)念品．(1)求此活動中各公園幸運之星的人數(shù)；(2)若乙公園中每位幸運之星對每個問題答對的概率均為eq\f(\r(2),2)，求乙公園中恰好2位幸運之星獲得紀(jì)念品的概率；(3)若幸運之星小李對其中8個問題能答對，而另外2個問題答不對，記小李答對的問題數(shù)為X，求X的分布列、期望及方差．解(1)甲、乙、丙、丁四個公園幸運之星的人數(shù)分別為eq\f(45,150)×10＝3，eq\f(60,150)×10＝4，eq\f(30,150)×10＝2，eq\f(15,150)×10＝1.(2)依據(jù)題意，乙公園中每位幸運之星獲得紀(jì)念品的概率為Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))4＝eq\f(1,4)，所以乙公園中恰好2位幸運之星獲得紀(jì)念品的概率為Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,128).(3)由題意，知X的全部可能取值2,3,4，聽從超幾何分布，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(2,2),C\o\al(4,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8)C\o\al(1,2),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,15)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,8)C\o\al(0,2),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,3).所以X的分布列為X234Peq\f(2,15)eq\f(8,15)eq\f(1,3)期望E(X)＝2×eq\f(2,15)＋3×eq\f(8,15)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(16,5)，方差D(X)＝eq\f(2,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(16,5)))2＋eq\f(8,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(16,5)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(16,5)))2＝eq\f(32,75).題型二均值與方差在決策中的應(yīng)用(2024·南昌模擬)市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈運用壽命都超過5000小時．經(jīng)銷商對B型節(jié)能燈運用壽命進行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖，某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進行周轉(zhuǎn)，合約期一年．新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5只(同種型號)即可正常營業(yè)．經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝．已知A型和B型節(jié)能燈每只的價格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價為0.75元/千瓦時．假定該店面正常營業(yè)一年的照明時間為3600小時，若正常營業(yè)期間燈壞了馬上購買同型燈更換．(用頻率估計概率)(1)若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，求一年內(nèi)恰好更換了2只燈的概率；(2)若只考慮燈的成本和消耗電費，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號的節(jié)能燈，請說明理由．解(1)由頻率分布直方圖可知，B型節(jié)能燈運用壽命超過3600小時的頻率為0.0010×(3800－3600)＝0.2.用頻率估計概率，得B型節(jié)能燈運用壽命超過3600小時的概率為eq\f(1,5).所以一年內(nèi)一只B型節(jié)能燈在運用期間須要更換的概率為eq\f(4,5).所以一年內(nèi)5只節(jié)能燈恰好更換了2只的概率為Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3＝eq\f(32,625).(2)該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈．理由如下：一共須要安裝5只同種節(jié)能燈．若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870(元)．若選擇B型節(jié)能燈，由于B型節(jié)能燈一年內(nèi)需更換的只數(shù)聽從二項分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(4,5)))，所以一年需更換燈的只數(shù)的數(shù)學(xué)期望為5×eq\f(4,5)＝4(只)．所以一年共需花費(5＋4)×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．因為967.3>870，所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈．解離散型隨機變量的期望和方差應(yīng)用問題的方法(1)求離散型隨機變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機變量的全部可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用期望、方差公式進行計算．(2)要留意視察隨機變量的概率分布特征，若屬于二項分布，可用二項分布的期望與方差公式計算，則更為簡潔．(3)在實際問題中，若兩個隨機變量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時，就須要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個隨機變量的穩(wěn)定程度．即一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案.(2024·湖北四地七校聯(lián)考)有甲、乙兩家公司都須要聘請求職者，這兩家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司職位ABCD職位ABCD月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000獲得相應(yīng)職位概率0.40.30.20.1獲得相應(yīng)職位概率0.40.30.20.1(1)依據(jù)以上信息，假如你是該求職者，你會選擇哪一家公司？說明理由；(2)某課外實習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場人士，就選擇這兩家公司的意愿做了統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)分布：選擇意愿人員結(jié)構(gòu)40歲以上(含40歲)男性40歲以上(含40歲)女性40歲以下男性40歲以下女性選擇甲公司11012014080選擇乙公分析選擇意愿與年齡這兩個分類變量，計算得到的K2的觀測值為k1＝5.5513，則得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯誤的概率的上限是多少？并用統(tǒng)計學(xué)學(xué)問分析，選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個關(guān)聯(lián)性更大？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879解(1)設(shè)甲公司與乙公司的月薪分別為隨機變量X，Y，則E(X)＝6000×0.4＋7000×0.3＋8000×0.2＋9000×0.1＝7000，E(Y)＝5000×0.4＋7000×0.3＋9000×0.2＋11000×0.1＝7000，D(X)＝(6000－7000)2×0.4＋(7000－7000)2×0.3＋(8000－7000)2×0.2＋(9000－7000)2×0.1＝10002，D(Y)＝(5000－7000)2×0.4＋(7000－7000)2×0.3＋(9000－7000)2×0.2＋(11000－7000)2×0.1＝20002，則E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，我希望不同職位的月薪差距小一些，故選擇甲公司；或我希望不同職位的月薪差距大一些，故選擇乙公司．(2)因為k1＝5.5513＞5.024，依據(jù)表中對應(yīng)值，得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯誤的概率的上限是0.025，由數(shù)據(jù)分布可得選擇意愿與性別兩個分類變量的2×2列聯(lián)表如下：選擇甲公司選擇乙公司總計男250350600女200200400總計4505501000計算K2＝eq\f(1000×250×200－350×2002,600×400×450×550)＝eq\f(2000,297)≈6.734，且K2＝6.734＞6.635，比照臨界值表得出結(jié)論“選擇意愿與性別有關(guān)”的犯錯誤的概率上限為0.01，由0.01＜0.025，所以與年齡相比，選擇意愿與性別關(guān)聯(lián)性更大．題型三正態(tài)分布的應(yīng)用1．設(shè)X～N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是()(注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝95.44%)A．7539 B.6038C．7028 D.6587答案D解析∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，∵P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.26%，∴則P(0＜X≤2)＝68.26%，則P(1＜X≤2)＝34.13%，∴陰影部分的面積為0.6587，∴點落入題圖中陰影部分的概率P＝eq\f(0.6587,1)＝0.6587.∴正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是6587.故選D.條件探究若將本例中“正方形”改為“矩形”，“X～N(1,1)”變?yōu)椤癤～N(－1,1)，陰影部分如圖所示”，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是________．答案9547解析對于正態(tài)分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝－1對稱，故P(0<X≤1)＝eq\f(1,2)×[P(－3<X≤1)－P(－2<X≤0)]＝eq\f(1,2)×[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359，所以點落入題圖中陰影部分的概率P＝eq\f(1×3－0.1359,1×3)＝0.9547，投入10000個點，落入陰影部分的個數(shù)約為10000×0.9547＝9547.2．(2024·蚌埠三模)我市高三年級其次次質(zhì)量檢測的數(shù)學(xué)成果X近似聽從正態(tài)分布N(82，σ2)，且P(74<X<82)＝0.42.已知我市某校有800人參與此次考試，據(jù)此估計該校數(shù)學(xué)成果不低于90分的人數(shù)為________．答案64解析因為數(shù)學(xué)成果X近似聽從正態(tài)分布N(82，σ2)，所以數(shù)學(xué)成果X關(guān)于X＝82對稱，因為P(74<X<82)＝0.42.所以P(82<X<90)＝0.42.P(X≥90)＝P(X≤74)＝eq\f(1－0.42×2,2)＝0.08，所以我市某校有800人參與此次考試，據(jù)此估計該校數(shù)學(xué)成果不低于90分的人數(shù)為0.08×800＝64.正態(tài)分布下兩類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性探討相關(guān)概率問題，涉及的學(xué)問主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時，要留意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個.1．設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B.μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D.μ1＞μ2，σ1＞σ2答案A解析μ反映正態(tài)分布的平均水平，x＝μ是正態(tài)曲線的對稱軸，由圖知μ1<μ2，σ反映正態(tài)分布的離散程度，σ越大，曲線越“矮胖”，表明越分散，σ越小，曲線越“高瘦”，表明越集中，由圖知σ1<σ2.2．(2024·九江三模)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：千克)聽從正態(tài)分布N(90,64)．現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取10000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在區(qū)間(82,106)內(nèi)的產(chǎn)品估計有(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9544)()A．8185件 B.6826件C．4772件 D.2718件答案A解析依題意，μ＝90，σ＝8，∴P(82<X<106)＝0.9544－eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.8185，∴質(zhì)量在區(qū)間(82,106)內(nèi)的產(chǎn)品估計有10000×0.8185＝8185件．組基礎(chǔ)關(guān)1．(2024·保定二模)已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.1，則P(2≤ξ<4)為()A．0.7 B.0.5C．0.4 D.0.35答案C解析由P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.1，可得μ＝4，且P(2≤ξ<4)＝eq\f(1,2)×(1－0.1×2)＝0.4.2．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是()A．6和2.4 B.2和2.4C．2和5.6 D.6和5.6答案B解析由已知隨機變量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.故選B.3．(2024·湖南湘西二模)已知甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同一種零件，X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時間，X，Y的分布列分別是X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2據(jù)此推斷()A．甲比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好B．乙比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好C．甲與乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量相同D．無法推斷答案A解析E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好．4．(2024·浙江嘉興適應(yīng)性訓(xùn)練)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝()X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)A．2 B.3C．4 D.5答案C解析p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2?a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1.∴D(2X－3)＝22D(X)＝4.5．(2024·廣州二模)從某班6名學(xué)生(其中男生4人，女生2人)中任選3人參與學(xué)校組織的社會實踐活動．設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝()A.eq\f(4,5) B.1C.eq\f(7,5) D.2答案B解析因為ξ＝0,1,2，所以P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，因此E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.6．(2024·浙江金麗衢十二校第一次聯(lián)考)五人進行過關(guān)嬉戲，每人隨機出現(xiàn)左路和右路兩種選擇．若選擇同一條路的人數(shù)超過2人，則他們每人得1分；若選擇同一條路的人數(shù)小于3人，則他們每人得0分，記小強嬉戲得分為ξ，則E(ξ)＝()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,16)C.eq\f(5,8) D.eq\f(1,2)答案B解析五人進行過關(guān)嬉戲，每人隨機出現(xiàn)左路和右路兩種選擇．若選擇同一條路的人數(shù)超過2人，則他們每人得1分；若選擇同一條路的人數(shù)小于3人，則他們每人得0分，∴P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(11,16)，P(ξ＝0)＝1－eq\f(11,16)＝eq\f(5,16)，∴E(ξ)＝1×eq\f(11,16)＋0×eq\f(5,16)＝eq\f(11,16).7．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中記隨機變量ξ＝“|a－b|的取值”，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)為()A.eq\f(8,9) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,3)答案A解析由于對稱軸在y軸左側(cè)，故－eq\f(b,2a)＜0，故a，b同號，基本領(lǐng)件有3×3×7×2＝126，ξ的可能取值有0,1,2三種．P(ξ＝0)＝eq\f(6×7,126)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq\f(8×7,126)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(4×7,126)＝eq\f(2,9)，故期望值為0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＝eq\f(8,9)，故選A.8．(2024·日照模擬)某市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成果ξ聽從正態(tài)分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤100)＝0.40，若按成果分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取的份數(shù)為________．答案10解析P(ξ>120)＝eq\f(1,2)[1－2P(80<ξ≤100)]＝0.10，所以應(yīng)從120分以上的試卷中抽取100×0.10＝10份．9．(2024·綿陽模擬)一個盒子裝有3個紅球和2個藍(lán)球(小球除顏色外其他均相同)，從盒子中一次性隨機取出3個小球后，再將小球放回．重復(fù)50次這樣的試驗．記“取出的3個小球中只有2個紅球，1個藍(lán)球”發(fā)生的次數(shù)為ξ，則ξ的方差是________．答案12解析由題意知ξ～B(n，p)，其中n＝50，P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，所以D(ξ)＝50×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝12.10．一個人將編號為1,2,3,4的四個小球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒子中，每個盒子放一個小球，球的編號與盒子的編號相同時叫做放對了，否則叫做放錯了．設(shè)放對的個數(shù)為ξ，則ξ的期望值為________．答案1解析將四個小球放入四個盒子，每個盒子放一個小球，共有Aeq\o\al(4,4)種不同放法，放對的個數(shù)ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝eq\f(9,A\o\al(4,4))＝eq\f(3,8)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)×2,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，所以E(ξ)＝0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,24)＝1.組實力關(guān)1．已知5臺機器中有2臺存在故障，現(xiàn)須要通過逐臺檢測直至區(qū)分出2臺故障機器為止．若檢測一臺機器的費用為1000元，則所需檢測費用的均值為()A．3200 B.3400C答案C解析設(shè)檢測的機器的臺數(shù)為X，則X的全部可能取值為2,3,4.P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋A\o\al(3,3),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3)A\o\al(3,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，所以E(X)＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝3.5，所以所需檢測費用的均值為1000×3.5＝3500.2．(2024·巢湖模擬)某次考試共有12個選擇題，每個選擇題的分值為5分，每個選擇題四個選項且只有一個選項是正確的，A學(xué)生對12個選擇題中每個題的四個選項都沒有把握，最終選擇題的得分為X，B學(xué)生對12個選擇題中每個題的四個選項都能推斷其中有一個選項是錯誤的，對其他三個選項都沒有把握，選擇題的得分為Y，則D(Y)－D(X)的值為()A.eq\f(125,12) B.eq\f(35,12)C.eq\f(27,4) D.eq\f(23,4)答案A解析設(shè)A學(xué)生答對題的個數(shù)為m，則得分X＝5m(分)，m～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，\f(1,4)))，D(m)＝12×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,4)，所以D(X)＝25×eq\f(9,4)＝eq\f(225,4).同理，設(shè)B學(xué)生答對題的個數(shù)為n，則得分Y＝5n(分)，n～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，\f(1,3)))，D(n)＝12×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，所以D(Y)＝eq\f(8,3)×25＝eq\f(200,3)，所以D(Y)－D(X)＝eq\f(200,3)－eq\f(225,4)＝eq\f(125,12).3．(2024·梧州一模)某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位數(shù)，A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位數(shù)中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為eq\f(1,3)，出現(xiàn)1的概率為eq\f(2,3)，記X＝a2＋a3＋a4＋a5，當(dāng)程序運行一次時，X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________；方差D(X)＝________.答案eq\f(8,3)eq\f(8,9)解析由題意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴數(shù)學(xué)期望E(X)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，方差D(X)＝4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9).4．(2024·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)某工廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間有工人200人，乙車間有工人400人．為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率，采納分層抽樣的方法抽取工人．甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作其次組，并對他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時間(單位：min)進行統(tǒng)計，依據(jù)[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]進行分組，得到下列統(tǒng)計圖．(1)分別估算兩個車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75min的人數(shù)；(2)分別估計兩個車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間的平均值，并推想哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高；(3)從第一組生產(chǎn)時間少于75min的工人中隨機抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時間少于65min的工人人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解(1)由題意，得第一組工人有20人，其中在75min內(nèi)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有6人，∴甲車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75min的人數(shù)為6×10＝60.其次組工人有40人，其中在75min內(nèi)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有40×(0.025＋0.050)×10＝30(人)，∴乙車間的工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75min的人數(shù)為30×10＝300.(2)第一組的平均時間為eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(60×2＋70×4＋80×10＋90×4,20)＝78(min)，其次組的平均時間為eq\o(x,\s\up6(－))乙＝60×0.25＋70×0.50＋80×0.20＋90×0.05＝70.5(min)．∵eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，∴乙車間工人生產(chǎn)效率更高．(3)由題意，得第一組生產(chǎn)時間少于75min的工人有6人，其中生產(chǎn)時間少于65min的有2人，從中抽取3人，則X可能的取值為0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\