山東專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布10.5古典概型學(xué)案含解析

PAGE第五節(jié)古典概型課標要求考情分析1.理解古典概型及其概率計算公式．2．會計算一些隨機事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率.1.以理解古典概型的概念、古典概型概率公式為主，會求一些簡潔隨機事務(wù)的概率，常與統(tǒng)計學(xué)問或其他數(shù)學(xué)學(xué)問交匯考查，有時也會與排列組合交匯考查．2．本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇題、填空題的形式進行考查，難度中檔.學(xué)問點一古典概型的概念1．基本領(lǐng)件的特點(1)任何兩個基本領(lǐng)件是互斥的．(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成基本領(lǐng)件的和．2．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個．(2)每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．學(xué)問點二古典概型的概率公式1．假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本領(lǐng)件的概率都是eq\f(1,n)；假如某個事務(wù)A包括的結(jié)果有m個，那么事務(wù)A的概率P(A)＝eq\f(m,n).2．古典概型的概率公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).1．思索辨析推斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)“在相宜條件下，種下一粒種子視察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本領(lǐng)件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．(×)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個事務(wù)是等可能事務(wù)．(×)(3)在古典概型中，假如事務(wù)A中基本領(lǐng)件構(gòu)成集合A，全部的基本領(lǐng)件構(gòu)成集合I，則事務(wù)A的概率為eq\f(cardA,cardI).(√)2．小題熱身(1)一個家庭有兩個小孩，則全部可能的基本領(lǐng)件有(C)A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)(2)一袋中裝有大小形態(tài)完全相同的3個紅球和2個白球，現(xiàn)從中隨機摸出兩球，其中有白球的概率是(D)A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,10)D.eq\f(7,10)(3)在1,2,3,4,5,6,7,8這組數(shù)據(jù)中，隨機取出五個不同的數(shù)，則數(shù)字4是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為(B)A.eq\f(9,56)B.eq\f(9,28)C.eq\f(9,14)D.eq\f(5,9)(4)已知函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，則該函數(shù)有兩個不同零點的概率為eq\f(2,3).(5)現(xiàn)有7名成果優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，B1，B2的物理成果優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成果優(yōu)秀．從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成果優(yōu)秀的人中各選1人，組成一個小組代表學(xué)校參與競賽，則A1和B1中有且僅有1人被選中的概率為eq\f(1,2).解析：(1)由于兩個孩子誕生有先后之分，所以基本領(lǐng)件有四種狀況．(2)所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10).(3)在1,2,3,4,5,6,7,8這組數(shù)據(jù)中，隨機取出五個不同的數(shù)．基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(5,8)＝56.數(shù)字4是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)＝18，∴數(shù)字4是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為P＝eq\f(m,n)＝eq\f(18,56)＝eq\f(9,28).(4)函數(shù)f(x)＝2x2－4ax＋2b2有兩個不同的零點，即方程x2－2ax＋b2＝0有兩個不等的實根，則Δ＝4a2－4b2>0，所以a>b，因為a，b的取法共有3×3＝9(種)，其中滿足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6種，所以所求的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).(5)基本領(lǐng)件共有3×2×2＝12(個)，其中符合條件的基本領(lǐng)件有2＋2×2＝6(個)，故A1和B1中有且僅有1人被選中的概率為eq\f(1,2).考點一事務(wù)的構(gòu)成【例1】已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻愛心活動．抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．(1)試用所給字母列舉全部可能的抽取結(jié)果；(2)設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事務(wù)M包含的基本領(lǐng)件．【解】(1)從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}．(2)由題可知，抽出的7名同學(xué)中，來自甲、乙、丙三個年級的學(xué)生分別有3人、2人、2人，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，則事務(wù)M包含的基本領(lǐng)件有{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}．方法技巧古典概型中基本領(lǐng)件的探求方法：1列舉法.2樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本領(lǐng)件的探求.對于基本領(lǐng)件有“有序”與“無序”區(qū)分的題目，常采納樹狀圖法.3列表法：適用于多元素基本領(lǐng)件的求解問題，通過列表把困難的題目簡潔化、抽象的題目詳細化.4排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z參與某夏令營，其年級狀況如下表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參與學(xué)問競賽(每人被選到的可能性相同)．(1)用表中字母列舉出全部可能的結(jié)果；(2)設(shè)M為事務(wù)“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．解：(1)從6名同學(xué)中隨機選出2人參與學(xué)問競賽的全部可能結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，X)，(A，Y)，(A，Z)，(B，C)，(B，X)，(B，Y)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，(C，Z)，(X，Y)，(X，Z)，(Y，Z)，共15種．(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的全部可能結(jié)果為(A，Y)，(A，Z)，(B，X)，(B，Z)，(C，X)，(C，Y)，共6種．因此，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).考點二古典概型的概率問題【例2】(1)(2024·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D.eq\f(11,16)(2)某商場進行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標號分別為1,2,3,4,5的五個小球，每次摸獎須要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結(jié)束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行其次次摸球，若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則中獎．依據(jù)這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50)D.eq\f(41,100)【解析】(1)由6個爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在全部重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的種數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,6)＝20.依據(jù)古典概型的概率計算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故選A(2)分為兩個互斥事務(wù)：記“第一次取出的兩球號碼連號中獎”為事務(wù)A，記“其次次取出的兩球與第一次取出的未中獎的兩球號碼相同中獎”為事務(wù)B，則由題意得P(A)＝eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)－4,C\o\al(2,5)C\o\al(2,5))＝eq\f(3,50)，則每位顧客摸球中獎的概率為P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50)，故選C.【答案】(1)A(2)C方法技巧求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本領(lǐng)件的總數(shù)和事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)，這就須要正確列出基本領(lǐng)件，基本領(lǐng)件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，詳細應(yīng)用時可依據(jù)須要敏捷選擇.在2024年中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會期間，有甲、乙、丙、丁4名游客打算到貴州的黃果樹瀑布、梵凈山、萬峰林三個景點旅游，其中每個人只能去一個景點，每個景點至少要去一個人，則游客甲去梵凈山旅游的概率為(B)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：4名游客去三個景點，每個景點至少有一個人，可以先將其中2名游客“捆綁在一起”作為“一個人”，再將“三個人”支配到三個景點去旅游，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝6×6＝36(種)方案．游客甲去梵凈山旅游，若梵凈山再沒有其他3名游客去旅游，則有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝3×2＝6(種)方案，若“乙、丙、丁”中有1人也去了梵凈山旅游，則有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)方案，所以游客甲去梵凈山旅游共有12種方案．所以游客甲去梵凈山旅游的概率P＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).故選B.考點三古典概型與其他學(xué)問的交匯命題【例3】為了讓稅收政策更好地為社會發(fā)展服務(wù)，國家在修訂《中華人民共和國個人所得稅法》之后，發(fā)布了《個人所得稅專項附加扣除暫行方法》，明確“個稅專項附加扣除”是指個人所得稅法規(guī)定的子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人六項專項附加扣除，并公布了相應(yīng)的定額扣除標準，確定2019年1月1日起施行．某機關(guān)為了調(diào)查內(nèi)部職員對新個稅方案的滿足程度與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下2×2列聯(lián)表：40歲及以下40歲以上合計基本滿足151025很滿足253055合計404080(1)依據(jù)列聯(lián)表，能否有85%的把握認為滿足程度與年齡有關(guān)？(2)若已經(jīng)在滿足程度為“基本滿足”的職員中用分層抽樣的方式選取了5名職員，現(xiàn)從這5名職員中隨機選取3名進行面談，求面談的職員中恰有2名年齡在40歲及以下的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【解】(1)依據(jù)列聯(lián)表可得K2＝eq\f(80×15×30－10×252,25×55×40×40)＝eq\f(16,11)≈1.455.∵1.455<2.072，∴沒有85%的把握認為滿足程度與年齡有關(guān)．(2)由題意，在滿足程度為“基本滿足”的職員中用分層抽樣的方式選取5名職員，應(yīng)抽取40歲及以下和40歲以上的職員分別為3名和2名，記為a1，a2，a3，b1，b2.則隨機選取3名，基本領(lǐng)件為{a1，a2，a3}，{a1，a2，b1}，{a1，a2，b2}，{a1，a3，b1}，{a1，a3，b2}，{a2，a3，b1}，{a2，a3，b2}，{a1，b1，b2}，{a2，b1，b2}，{a3，b1，b2}，共10個．滿足題意的基本領(lǐng)件為{a1，a2，b1}，{a1，a2，b2}，{a1，a3，b1}，{a1，a3，b2}，{a2，a3，b1}，{a2，a3，b2}，共6個．設(shè)從這5名職員中隨機選取3名進行面談，面談的職員中恰有2名年齡在40歲及以下的概率為P，則P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).方法技巧古典概型與其他學(xué)問交匯問題的一般處理方法：1依據(jù)試驗確定列舉方法，列出全部基本領(lǐng)件，這是解決古典概型問題的基礎(chǔ)；2依據(jù)其他數(shù)學(xué)學(xué)問，構(gòu)建事務(wù)滿足的約束條件，由約束條件找出全部符合條件的基本領(lǐng)件；3利用古典概型的概率計算公式求解.1．從集合A＝{－2，－1,2}中隨機抽取一個數(shù)記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機抽取一個數(shù)記為b，則直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率為(C)A.eq\f(2,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9)D.eq\f(1,4)解析：(a，b)全部可能的結(jié)果為(－2，－1)，(－2,1)，(－2，3)，(－