2024秋高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE6-3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入向量的坐標(biāo)表示為我們展示了一幅漂亮的畫卷，那么將向量坐標(biāo)化之后，向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及向量平行、垂直、向量的模、夾角的坐標(biāo)表示是不是更簡化了？新知導(dǎo)學(xué)1．空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè){i，j，k}為單位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，依據(jù)向量線性運(yùn)數(shù)與數(shù)量積運(yùn)算的定義及運(yùn)算律，可得出a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐標(biāo)表示．(1)空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__；②a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__；③λa＝__(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)__；④a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__.(2)向量平行、垂直，向量的模、夾角的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①若a∥b(b≠0)，則__eq\a\vs4\al(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝λb1，,a2＝λb2，,a3＝λb3.)))__②若a⊥b，則a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.③|a|＝eq\r(a·a)＝__eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(3,3))__；④cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．向量的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝__(x2－x1，y2－y1，z2－z1)__，dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)__.預(yù)習(xí)自測(cè)1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則下列結(jié)論正確的是(D)A．a(chǎn)＋b＝(10，－5，－6) B．a(chǎn)－b＝(2，－1，－6)C．a(chǎn)·b＝10 D．|a|＝6[解析]a＋b＝(10，－5，－2)，A錯(cuò)誤；a－b＝(－2,1，－6)，B錯(cuò)誤；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C錯(cuò)誤；|a|＝eq\r(42＋－22＋42)＝6，故選D.2．(2024－2024學(xué)年北京市房山區(qū)期末檢測(cè))已知向量a＝(2，－3,5)與向量b＝(4，x，－1)垂直，則實(shí)數(shù)x的值為(B)A．－1 B．1C．－6 D．6[解析]向量a＝(2，－3,5)，與向量b＝(4，x，－1)垂直，則a·b＝0，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：2×4＋(－3)×x＋5×(－1)＝0，解得x＝1，故選B.3．(安徽省蚌埠市2024－2024學(xué)年高二期末)空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(B)A．(－1,2,3) B．(1，－2,3)C．(1,2，－3) D．(－1，－2，－3)[解析]點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－2,3)，選B.4．(福建廈門市2024－2024學(xué)年高二質(zhì)檢)已知命題p：若a＝(1，－2,3)，b＝(－2,4，－6)，則a∥b；命題q：若a＝(1，－2,1)，b＝(1,0,1)，則a⊥b.下列命題為真命題的是(D)A．p∧q B．(?p)∧(?q)C．(?p)∨q D.p∧(?q)[解析]命題p：若a＝(1，－2,3)，b＝(－2,4，－6)，可知b＝－2a，∴a∥b，∴命題p是真命題；又命題q：若a＝(1，－2,1)，b＝(1,0,1)，∴a·b＝1＋0＋1＝2≠0，則a與b不垂直，∴命題q是假命題．∴p∧(?q)為真命題．故選D.5．已知A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1，－2,6)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2，－6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角是__π__.[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－2,6)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,2，－6)，cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝－1，∵〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝π.互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示典例1已知a＝(2，－1,3)、b＝(0，－1,2)，求：(1)a＋b；(2)2a－3b(3)a·b;(4)(a＋b)·(a－b)．[規(guī)范解答](1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2)＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a－3b(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－0－1－4＝9.『規(guī)律總結(jié)』空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算，牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵．這些公式為我們用向量的學(xué)問解決立體幾何問題供應(yīng)了有力的工具．┃┃跟蹤練習(xí)1__■已知向量a＝(2，－3,1)、b＝(2,0,3)、c＝(0,0,2)，則：(1)a·(b＋c)＝__9__；(2)(a＋2b)·(a－2b)＝__－38__.[解析](1)b＋c＝(2,0,5)，a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,0,5)＝9.(2)|a|＝eq\r(14)，|b|＝eq\r(13)，(a＋2b)·(a－2b)＝|a|2－4|b|2＝－38.命題方向?向量平行與垂直的坐標(biāo)表示典例2正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P、Q分別為線段B1D1、BD上的點(diǎn)，且3B1P＝D1P，BD＝4DQ，求證：PQ⊥AE.[規(guī)范解答]如圖所示，以D為原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A(1,0,0)、E(0,0，eq\f(1,2))，Q(eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，0)、P(eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，1)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\f(1,2))，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\f(1,2))·(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(QP,\s\up6(→))，即AE⊥PQ.『規(guī)律總結(jié)』向量平行與垂直的坐標(biāo)表示是重要學(xué)問點(diǎn)，應(yīng)嫻熟駕馭．含參數(shù)的向量平行，應(yīng)用比例式求參數(shù)值時(shí)，要留意其前提條件．┃┃跟蹤練習(xí)2__■設(shè)a＝(1,5，－1)、b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，則k＝__－eq\f(1,3)__.[解析]ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．因?yàn)?ka＋b)∥(a－3b)，所以eq\f(k－2,7)＝eq\f(5k＋3,－4)＝eq\f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq\f(1,3).學(xué)科核心素養(yǎng)向量的夾角與長度1．求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，肯定要留意向量的起點(diǎn)是否在原點(diǎn)，在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo)相同，不在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)加上起點(diǎn)坐標(biāo)才是終點(diǎn)坐標(biāo)．2．運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題，先要考察原圖形是否便利建立直角坐標(biāo)系，將問題中涉及的點(diǎn)、線(向量)、面(向量的線性組合)用坐標(biāo)表示，假如簡單表示則先建系，將點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，然后，利用垂直、平行、共面的條件通過向量運(yùn)算推證有關(guān)結(jié)論，利用向量的模、向量夾角的計(jì)算公式來求線段長度及角，最終將計(jì)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論；當(dāng)圖形中的點(diǎn)不便利用坐標(biāo)表示時(shí)，可干脆設(shè)出向量的基底，將各條件、結(jié)論中涉及的向量表示為基底的線性組合，再運(yùn)用向量線性運(yùn)算及內(nèi)積運(yùn)算的規(guī)則進(jìn)行推理、計(jì)算，最終轉(zhuǎn)化為相應(yīng)幾何結(jié)論．3．已知兩向量夾角為銳角或鈍角，求參數(shù)取值范圍時(shí)，要留意共線的情形．典例3在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是D1D、BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．(1)求證：EF⊥B1C(2)求EF與C1G[規(guī)范解答]如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則有E(0,0，eq\f(1,2))、F(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)、C(0,1,0)、C1(0,1,1)、B1(1,1,1，)、G(0，eq\f(3,4)，0)．(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)－(0,0，eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1，0，－1)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×(－1)＋eq\f(1,2)×0＋(－eq\f(1,2))×(－1)＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(B1C,\s\up6(→))，即EF⊥B1C.(2)∵eq\o(C1G,\s\up6(→))＝(0，eq\f(3,4)，0)－(0,1,1)＝(0，－eq\f(1,4)，－1)．∴|eq\o(C1G,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),4).又eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×0＋eq\f(1,2)×(－eq\f(1,4))＋(－eq\f(1,2))×(－1)＝eq\f(3,8)，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，∴cos<eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(C1G,\s\up6(→))>＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(C1G,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))|·|\o(C1G,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(51),17).即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為eq\f(\r(51),17).『規(guī)律總結(jié)』依據(jù)正方體的特別性，可考慮建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，應(yīng)用數(shù)量積、夾角公式即可．┃┃跟蹤練習(xí)3__■(2024·福州市八縣市協(xié)作校期末)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，PF⊥平面ABCD，且AB＝BC＝PF＝eq\f(1,2)AD＝2，則異面直線PE，CD所成的角為(B)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]將該幾何補(bǔ)形為一個(gè)長寬高分別為4,2,2的長方體，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則：P(0,2,2)，E(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)．據(jù)此計(jì)算可得：eq\o(PE,\s\up6(→))＝(1，－2，－2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2－4＋0＝－6，|eq\o(PE,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋4＋4)＝3，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋4＋0)＝2eq\r(2)，設(shè)異面直線PE，CD所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|\o(PE,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(PE,\s\up6(→))|×|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.故選B.易混易錯(cuò)警示典例4已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是(B)A．(－2，＋∞)B．(－2，eq\f(5,3))∪(eq\f(5,3)，＋∞)C．(－∞，－2)D．(eq\f(5,3)，＋∞)[錯(cuò)解]因?yàn)閍與b的夾角為鈍