自動控制原理與應用

自動控制原理與應用第1章緒論第1章緒論1.1

自動控制系統(tǒng)的基本概念1.2

自動控制系統(tǒng)的分類1.3

對自動控制系統(tǒng)的性能要求1.4

自動控制系統(tǒng)理論的發(fā)展1.5

小結1.1自動控制的基本概念

自動化技術幾乎滲透到國民經(jīng)濟的各個領域及社會生活的各個方面，是當代發(fā)展最迅速、應用最廣泛、最引人注目的高科技，是推動新的技術革命和新的產(chǎn)業(yè)革命的關鍵技術，在某種程度上說，自動化是現(xiàn)代化的同義詞。從20世紀40年代起，特別是第二次世界大戰(zhàn)以來，由于工業(yè)活動的發(fā)展和軍事技術上的需要，自動化技術得到了迅速的發(fā)展和廣泛的應用。今天，自動控制的概念已深入人心，家喻戶曉；自動控制在我國的工業(yè)化與信息化、現(xiàn)代化的建設中做出了巨大的貢獻。

系統(tǒng)的種類如此繁多，又如此地千差萬別，但它們有一個共同的特點，就是都具有一定的功能，自身的各部分是互相依賴、互相制約的。我們把系統(tǒng)的這一特征作為“系統(tǒng)”的定義，即由若干相互制約、相互依賴的事物組合而成的具有一定功能的整體稱為系統(tǒng)?；蛘哒f，為實現(xiàn)規(guī)定功能以達到某一給定目標，而構成的相互關聯(lián)的一組元件稱為系統(tǒng)。自動控制系統(tǒng)一般由控制裝置（控制器）和被控對象所組成。1.2

控制系統(tǒng)的分類

1.根據(jù)給定的參考輸入信號的不同

恒值系統(tǒng)/隨動系統(tǒng)/程序控制系統(tǒng)2.根據(jù)時間信號的不同方式連續(xù)系統(tǒng)/離散系統(tǒng)3.根據(jù)系統(tǒng)數(shù)學性質(zhì)的不同線性系統(tǒng)/非線性系統(tǒng)5.根據(jù)端口關系

單變量系統(tǒng)/多變量系統(tǒng)1.3

對自動控制系統(tǒng)的性能要求一、自動控制系統(tǒng)的組成自動控制系統(tǒng)的基本結構如圖16所示。1控制系統(tǒng)的一些常用術語受控對象是指被控制的裝置或者設備(如電動機、車床等)，一般用符號r表示?？刂屏渴┘咏o受控對象的信號，使受控對象按照一定的規(guī)律運行，一般用符號u表示。輸出量控制系統(tǒng)的輸出，即受控的物理量，一般用符號c表示。偏差信號系統(tǒng)的參考輸入信號與反饋信號之差稱為偏差，是控制系統(tǒng)中的一個重要參數(shù)，一般用符號e表示。2.控制系統(tǒng)的組成一個典型的控制系統(tǒng)由以下幾部分組成。

受控對象接受控制量并輸出被控制量的裝置或者設備。

定值元件在常規(guī)儀表控制中用它來產(chǎn)生參考輸入或者設定值。

控制器接收偏差信號或者輸入信號，通過一定的控制規(guī)律給出控制量，送到執(zhí)行元件。執(zhí)行元件有時控制器的輸出可以直接驅動受控對象。

二、對自動控制系統(tǒng)的性能要求1穩(wěn)定性穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的性質(zhì)。所謂穩(wěn)定性是指控制系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)后，自動恢復到平衡狀態(tài)的能力。2暫態(tài)性能對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，雖然理論上能夠到達平衡狀態(tài)，但還要求能夠快速到達，而且，在調(diào)節(jié)過程中，要求系統(tǒng)輸出超過給定的穩(wěn)態(tài)值的最大偏差，即所謂的超調(diào)量不要太大，要求調(diào)節(jié)的時間比較短。3穩(wěn)態(tài)性能

當暫態(tài)過程結束，系統(tǒng)達到新的穩(wěn)態(tài)，這時，希望系統(tǒng)的輸出就是系統(tǒng)的給定值，但實際上可能存在誤差

1.4自動控制理論的發(fā)展經(jīng)典控制理論(19世紀初)

時域法復域法(根軌跡法)

頻域法

現(xiàn)代控制理論(20世紀60年代)

線性系統(tǒng)自適應控制最優(yōu)控制魯棒控制最佳估計容錯控制系統(tǒng)辨識集散控制大系統(tǒng)復雜系統(tǒng)智能控制理論(20世紀70年代)

專家系統(tǒng)模糊控制神經(jīng)網(wǎng)絡遺傳算法

自動控制理論的發(fā)展過程本章小結

自動控制理論分為經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和智能控制理論自動控制系統(tǒng)的組成及其方框圖,自動控制系統(tǒng)的分類方法自動控制理論中常用的術語：被控對象，參考輸入信號（給定值信號），擾動、偏差信號、被控量、控制量和自動控制系統(tǒng)自動控制系統(tǒng)有開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。注:實際生產(chǎn)過程的自動控制系統(tǒng)，絕大多數(shù)是閉環(huán)控制系統(tǒng)，即負反饋控制系統(tǒng)。對自動控制系統(tǒng)的性能要求，即穩(wěn)定性、快速性和準確性。自動控制系統(tǒng)的最基本要求是穩(wěn)，然后進一步要求快和準，當后兩者存在矛盾時，設計自動控制系統(tǒng)要兼顧兩方面的要求BACK

第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程一、微分方程的建立微分方程(DifferentialEquation)是描述自動控制系統(tǒng)動態(tài)特性的最基本的方法。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：

(1)確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量。

(2)從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理、化學等定律，列寫各變量之間的動態(tài)方程，一般為微分方程組。

(3)消去中間變量，得到輸入、輸出變量的微分方程。第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

(4)標準化。將與輸入有關的各項放在等號右邊，與輸出有關的各項放在等號左邊，并且分別按降冪排列，最后將系數(shù)歸化為如時間常數(shù)等反映系統(tǒng)動態(tài)特性的參數(shù)。下面以幾種基本物理系統(tǒng)為例來說明如何求得描述系統(tǒng)運動的微分方程。1電學系統(tǒng)在電學系統(tǒng)中，所需遵循的兩個基本依據(jù)是元件約束和網(wǎng)絡約束。2力學系統(tǒng)古典力學系統(tǒng)的運動規(guī)律是由牛頓定律來制約的。在求取力學系統(tǒng)的運動方程時，要分析是哪一種運動的平衡，如平移運動、旋轉運動、動量平衡等。

二、拉氏變換列出控制系統(tǒng)的微分方程之后，就可以求解該微分方程，利用微分方程的解來分析系統(tǒng)的運動規(guī)律。(1)單位脈沖信號理想單位脈沖信號的數(shù)學表達式為(2)單位階躍信號單位階躍信號的數(shù)學表示為

(3)單位斜坡信號單位斜坡信號的數(shù)學表示為(4)指數(shù)信號指數(shù)信號的數(shù)學表示為拉氏變換為

5)正弦、余弦信號正弦、余弦信號的拉氏變換可以利用指數(shù)信號的拉氏變換求得。由指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，可以直接寫出復指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為

三、拉氏變換法求解微分方程拉氏變換法求解微分方程步驟為：方程兩邊作拉氏變換；將給定的初始條件與輸入信號代入方程；寫出輸出量的拉氏變換；作拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出的時間解第二節(jié)傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)是在拉氏變換求解微分方程的基礎上得到的一個重要概念，是經(jīng)典控制理論中用的最多的一種動態(tài)數(shù)學模型。

定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)，記為G(s)。

系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出。因此，系統(tǒng)的單位脈沖輸入信號下系統(tǒng)的輸出完全描述了系統(tǒng)動態(tài)特性，所以也是系統(tǒng)的數(shù)學模型，通常稱為脈沖響應函數(shù)。定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)在單位脈沖輸入信號作用下的輸出響應，稱為該系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)，記為g(t)。

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)（1）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。由于傳遞函數(shù)是基于拉氏變換，將原來的線性常系數(shù)微分方程從時域變換至復頻域得到的，故僅用于描述線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數(shù)是在零初始條件之下定義的，因此表示了在系統(tǒng)內(nèi)部沒有任何能量儲存條件下的系統(tǒng)描述。如果系統(tǒng)內(nèi)部有能量儲存，將會產(chǎn)生系統(tǒng)在非零初始條件下的疊加項，即Y(s)=G(s)U(s)+V(s)（4）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)自身的結構和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入量無關。

（5）傳遞函數(shù)并不是系統(tǒng)具有物理結構的描述，所以對服從不同物理規(guī)律的系統(tǒng)可以有同樣的傳遞函數(shù)。（6）傳遞函數(shù)只描述輸入-輸出特性，而不能表征系統(tǒng)內(nèi)部所有狀態(tài)的特性。三、傳遞函數(shù)的表達式傳遞函數(shù)一般是復變函數(shù)，可以變換為各種形式。1有理分式形式

傳遞函數(shù)最常用的形式是下列有理分式形式

2零極點形式將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槭滓欢囗検?，然后在復?shù)范圍內(nèi)因式分解，得3時間常數(shù)形式將傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變?yōu)槭滓欢囗検?，然后在復?shù)范圍內(nèi)因式分解，得

四、傳遞函數(shù)的求解方法拉氏變換是求解線性微分方程的簡捷方法。當采用這一方法時，微分方程的求解問題化為代數(shù)方程和查表求解的問題，這樣就使計算大為簡便。本節(jié)主要介紹另一種方法，復數(shù)阻抗法?；揪€性元件有三種，即電阻R，電容C和電感L，如圖213所示。它們的復數(shù)阻抗如下：電阻：

電容電感

第三節(jié)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)即使只限于各種線性連續(xù)系統(tǒng)，要逐一加以研究也是不可能的。自動控制理論采用的方法是研究系統(tǒng)的數(shù)學模型。一、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)是指系統(tǒng)的輸出量和輸入量具有比例運算關系的環(huán)節(jié)。它的輸出量能夠無失真、無延遲地按一定的比例復現(xiàn)輸入量。比例環(huán)節(jié)的框圖見圖2-18。

二、慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)是指輸出響應需要一定時間才能達到穩(wěn)態(tài)值的環(huán)節(jié)。自動控制系統(tǒng)中經(jīng)常包含有這種環(huán)節(jié)，這種環(huán)節(jié)具有一個儲能元件，慣性環(huán)節(jié)的框圖如圖220所示。圖2-20慣性環(huán)節(jié)框圖

三、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)是指輸出量等于輸入量對時間的積分，其框圖如圖2-21所示。四、微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)是自動控制系統(tǒng)中經(jīng)常應用的環(huán)節(jié)，它的輸出量與輸入量的一階導數(shù)成正比，其框圖如圖2-23所示。

五、振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)是由二階微分方程所描述的系統(tǒng)，其框圖如圖2-24所示。

六、滯后環(huán)節(jié)具有純時間延遲傳遞關系的環(huán)節(jié)稱為滯后環(huán)節(jié)。滯后環(huán)節(jié)的特點是，其輸出信號比輸入信號滯后一定的時間，其框圖如圖2-25所示。

第四節(jié)動態(tài)結構圖一、結構圖的概念動態(tài)結構圖又稱方塊圖，它是一種網(wǎng)絡拓撲約束下的有向線圖，由以下幾部分組成。

(1)信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向，直線上面或者旁邊標注所傳遞信號的時間函數(shù)或象函數(shù)，如圖2-26(a)所示。

(2)引出點（測量點）：引出或者測量信號的位置。從同一信號線上引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同，如圖2-26(b)所示。（3)比較點（綜合點）：對兩個或者兩個以上的信號進行代數(shù)運算，如圖2-26(c)所示，

(4)方框：表示對輸入信號進行的數(shù)學變換。對于線性定常系統(tǒng)或元件，通常在方框中寫入其傳遞函數(shù)或者頻率特性。系統(tǒng)輸出的象函數(shù)等于輸入的象函數(shù)乘以方框中的傳遞函數(shù)或者頻率特性，如圖2-26(d)所示。

二、結構圖的變換與簡化(1)化簡前后，前向通路傳遞函數(shù)的乘積不變。(2)化簡前后，回路傳遞函數(shù)的乘積不變。1.環(huán)節(jié)的串聯(lián)環(huán)節(jié)的串聯(lián)是很常見的一種結構形式，其特點是，前一個環(huán)節(jié)的輸出信號為后一個環(huán)節(jié)的輸入信號，如圖2-27所示。串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)是G(s)=G1(s)G2(s)。

2.環(huán)節(jié)的并聯(lián)環(huán)節(jié)并聯(lián)的特點是，各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出信號相加（或相減），如圖228所示。并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)是G(s)=G1(s)±G2(s)。3.環(huán)節(jié)的反饋連接若傳遞函數(shù)分別為G(s)和H(s)的兩個環(huán)節(jié)如圖2-29所示的形式連接，則稱為反饋連接。

4比較點的移動在系統(tǒng)結構圖簡化過程中，有時為了便于進行方框的串聯(lián)、并聯(lián)或反饋連接的運算，需要移動比較點的位置，這時應注意在移動前后必須保持信號的等效性。將位于方框輸入端(或者輸出端)的比較點移動到方框的輸出端(或者輸入端)，前移與后移規(guī)則如圖2-30所示。

5引出點的移動將位于方框輸入端(或者輸出端)的引出點移動到方框的輸出端(或者輸入端)，前移與后移規(guī)則如圖231所示。

第五節(jié)自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動控制系統(tǒng)在工作過程中，經(jīng)常會受到兩類輸入信號的作用，一類是給定的有用輸入信號r(t)；另一類則是阻礙系統(tǒng)進行正常工作的擾動信號n(t)。閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結構可用圖2-34表示。

1.開環(huán)傳遞函數(shù)從輸入端沿信號傳遞方向到輸出端的通道稱為前向通道，前向通道傳遞函數(shù)為G1(s)G2(s)。由圖234知，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

W(s)=G1(s)G2(s)H(s)（273）

2.閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的輸出信號對于參考輸入信號的傳遞函數(shù)稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)。為了求取參考輸入下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，令n(t)=0，即N(s)=0，則系統(tǒng)結構圖變?yōu)閳D2-35。由結構圖簡化規(guī)則，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

Φ(s)=C(s)R(s)=G1(s)G2(s)1+G1(s)G2(s)H(s)

3.誤差傳遞函數(shù)圖234中的E(s)是分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一個重要變量，稱為誤差信號。

一、典型輸入信號所謂典型信號，就是指根據(jù)系統(tǒng)中常遇到的輸入信號形式，在數(shù)學描述上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)，這些函數(shù)方便了對各種控制系統(tǒng)的性能進行比較。自動控制系統(tǒng)常用的典型輸入信號有下面幾種形式：階躍信號定義為第三章時域分析法

2.斜坡函數(shù)定義為這種函數(shù)相當于隨動系統(tǒng)中加入一個按恒速變化的位置信號，恒速度為A。當A=1時，稱為單位斜坡函數(shù)3.拋物線函數(shù)也稱為加速度函數(shù)，定義為

這種函數(shù)相當于系統(tǒng)中加入一個按加速度變化的位置信號，加速度為A。當A=1時，稱為單位拋物線函數(shù)，4.單位脈沖函數(shù)定義為5.正弦函數(shù)定義為

二、暫態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能指標在典型信號輸入作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都由暫態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。所謂暫態(tài)過程，就是指系統(tǒng)在典型信號的輸入作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程，穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型信號的作用下，當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。時域中評價系統(tǒng)的暫態(tài)性能，通常以系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的暫態(tài)響應為依據(jù)。這時系統(tǒng)的暫態(tài)響應曲線稱為單位階躍響應或單位過渡特性。

第二節(jié)一階系統(tǒng)時域分析一、一階系統(tǒng)的數(shù)學模型凡以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。應當指出，具有同一運動方程或傳遞函數(shù)的所有線性系統(tǒng)，對同一輸入信號的響應是相同的。當然，對于不同形式或不同功能的一階系統(tǒng)，其響應特性的數(shù)學表達式具有不同的物理意義。二、典型信號的一階系統(tǒng)分析

1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應當輸入信號R(t)=1(t)時，R(s)=1/s，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為

響應曲線如圖38所示，由此可見，一階系統(tǒng)的階躍響應是一條初始值為0，按指數(shù)規(guī)律上升到穩(wěn)態(tài)值1的曲線，為非周期響應，并具備以下兩個重要特點：

1）可用時間常數(shù)T去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值。

2）響應曲線的斜率的初始值為1/T,并隨著時間的推移而下降。

2.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應當輸入信號R(t)=t時，R(s)=1/s2，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為3.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應當R(t)=δ(t)時，系統(tǒng)的輸出響應為該系統(tǒng)的脈沖響應。因為L［δ(t)］=1，一階系統(tǒng)的脈沖響應的拉氏變換為

4.一階系統(tǒng)的單位加速度響應設系統(tǒng)的輸入信號為單位加速度信號，可求得一階系統(tǒng)的單位加速度響應為第三節(jié)二階系統(tǒng)時域分析一、典型二階系統(tǒng)的數(shù)學模型典型二階系統(tǒng)的微分方程一般為

二、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應二階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍信號時，便產(chǎn)生系統(tǒng)的時間響應c(t)。當阻尼比ζ取不同值的時候，由于二階系統(tǒng)的特征根在s平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時間響應c(t)也就不同。下面分別進行討論。欠阻尼情況（0<ζ<1）

臨界阻尼情況（ζ=1）過阻尼情況（ζ>1）無阻尼情況（ζ=0）

三、欠阻尼二階系統(tǒng)暫態(tài)性能指標1.上升時間tr

根據(jù)定義，當t=tr時，c(tr)=1。由式（322），得2.峰值時間tp

將式（322）對時間t求導，并令其為零，可求得峰值時間tp，即

3.最大超調(diào)量σ%

當t=tp時，c(t)有最大值y(t)max，即y(t)max=c(t)。對于單位階躍輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值y(∞)=1，將峰值時間表達式（330）代入（322）4調(diào)節(jié)時間ts在計算調(diào)節(jié)時間ts時，由于時間響應曲線c(t)是衰減振蕩型的，因此只考慮正弦項的峰-峰值時，可以得到響應曲線的包絡線。由于時間響應表達式為

第四節(jié)高階系統(tǒng)時域分析一、高階系統(tǒng)的單位階躍響應用三階或三階以上的微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。設高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為

二、閉環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響由上述分析可知，高階系統(tǒng)的階躍響應曲線是由一些指數(shù)曲線和阻尼正弦曲線疊加而成的。（1）動態(tài)分量中的各分量的性質(zhì)，完全取決于相應極點在s平面上的位置。（2）如果所有閉環(huán)極點都位于s左半平面，則各留數(shù)的相對大小決定了各分量的比重（3）位于s左半平面且遠離虛軸的極點，不僅其留數(shù)較小，衰減速度也快，持續(xù)時間很短，故此對系統(tǒng)動態(tài)行為影響就很小。（4）如果所有閉環(huán)極點都位于s左半平面，則系統(tǒng)響應中所有指數(shù)項和阻尼振蕩項都隨時間t的增大而趨近于零。

三、閉環(huán)主導極點在穩(wěn)定的高階系統(tǒng)中，對于其時間響應起到主導作用的極點稱為閉環(huán)主導極點。閉環(huán)主導極點應滿足以下兩個條件：（1）在s平面上，距離虛軸比較近，且附近沒有其他零點與極點。（2）其實部的絕對值比其他極點實部絕對值小五倍以上。第五節(jié)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的概念及線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)受到擾動作用后偏離原來的平衡狀態(tài)，在擾動作用消失后，經(jīng)過一段過渡時間能否回復到原來的平衡狀態(tài)或足夠準確地回到原來的平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若擾動消失后系統(tǒng)不能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身固有的特性，而與擾動信號無關。它決定于擾動取消后暫態(tài)分量的衰減與否。

二、勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)實際上是一個代數(shù)判據(jù)，用于分析在一個多項式方程中，是否存在不穩(wěn)定根，而不必實際求解這一方程。該判據(jù)是根據(jù)特征方程的系數(shù)，直接判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。它的應用只能限于有限多項式中。勞斯判據(jù)的應用程序如下

1）寫出s的下列多項式方程為

2）如果在至少存在一個正系數(shù)的情況下，還存在等于零或等于負值的系數(shù)，那么必然存在虛根或者具有正實部的根，

在這種情況下，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

3）如果所有的系數(shù)都是正的，則多項式的系數(shù)排列稱為如下的勞斯行列表：

三、兩種特殊情況（1）勞斯表中某一行左邊第一個數(shù)為零，但其余各項不為零或沒有其余項。（2）如果勞斯表中某一行中的所有元素都為零，則表明系統(tǒng)存在兩個大小相等符號相反的實根和（或）兩個共軛虛根，或存在更多的這種大小相等，但在s平面上位置徑向相反的根。這時可以利用該行上面一行的系數(shù)構成一個輔助方程式，將對輔助方程式求導后的系數(shù)列入該行，這樣，數(shù)組表中其余各行的計算可繼續(xù)下去。

四、勞斯穩(wěn)定判據(jù)在系統(tǒng)分析中的應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的一個重要應用就是可以通過檢查系統(tǒng)的參數(shù)值，確定一個或兩個系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，界定參數(shù)值的穩(wěn)定范圍問題。五、結構不穩(wěn)定系統(tǒng)的改進措施如果無論怎樣調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)，也無法使其穩(wěn)定，則稱這類系統(tǒng)為結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。如圖327所示的系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第六節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)的時域指標之一，用來評價系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的好壞。穩(wěn)態(tài)誤差僅對穩(wěn)定系統(tǒng)才有意義。一、控制系統(tǒng)的誤差與穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的誤差就是系統(tǒng)希望的輸出值與實際的輸出值之差，表示為e(t)=r(t)－c(t)（344）誤差e(t)也是時間的函數(shù)。

二、誤差的數(shù)學模型將一般反饋控制系統(tǒng)化為單位反饋控制系統(tǒng)，其結構圖如圖331所示開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)有誤差的時間表達式

有拉氏變換式所以，誤差傳遞函數(shù)為三、給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分析系統(tǒng)誤差的拉氏變換表示為所以穩(wěn)態(tài)誤差可以由拉氏變換的終值定理求得

四、擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差在任何情況下，控制系統(tǒng)不可避免地受到擾動信號作用，影響所希望的系統(tǒng)性能。因此除了研究系統(tǒng)對于給定信號作用下的誤差之外，還要研究擾動信號對系統(tǒng)性能的影響，或者說，系統(tǒng)對于擾動信號的影響，有沒有克服能力，有何種程度的克服能力。擾動信號作用下，系統(tǒng)的結構圖如圖3-32所示

五、減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法1）保證系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)（或元件），特別是反饋回路中元件的參數(shù)具有一定的精度和恒定性，必要時需采用誤差補償措施。2）增大開環(huán)放大系數(shù)，以提高系統(tǒng)對給定輸入的跟蹤能力；增大擾動作用前系統(tǒng)前向通道的增益，以降低擾動穩(wěn)態(tài)誤差。3）增加系統(tǒng)前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)目，使系統(tǒng)型號提高，可以消除不同輸入信號時的穩(wěn)態(tài)誤差。4）采用前饋控制（復合控制）。

第七節(jié)根軌跡分析法一、根軌跡的基本概念1.根軌跡的概念所謂根軌跡就是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)(例如增益)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在s平面上變化的軌跡。2.根軌跡方程既然根軌跡是閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的軌跡，則描述其變化關系的閉環(huán)特征方程就是根軌跡方程。

二、繪制根軌跡的規(guī)則和方法分析研究相角條件和輻值條件，可以找出控制系統(tǒng)根軌跡的一些基本特性。將這些特性歸納為若干繪圖規(guī)則，應用“繪圖規(guī)則”可快速且較準確地繪制出系統(tǒng)的根軌跡，特別是對于高階系統(tǒng)，其優(yōu)越性更加明顯。規(guī)則1

根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點數(shù)n(n>m)或開環(huán)零點數(shù)m(m>n)規(guī)則2

根軌跡的對稱性根軌跡連續(xù)且對稱于實軸規(guī)則3

根軌跡的起點和終點根軌跡起始于開環(huán)極點（包括無限遠極點），終止于開環(huán)零點（包括無限遠零點）。

規(guī)則4

實軸上的根軌跡實軸上有根軌跡的區(qū)段為右側，其開環(huán)實極點與開環(huán)實零點數(shù)目之和為奇數(shù)。規(guī)則5

根軌跡的走向當n－m≥2時，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，且與K*無關。若一些根軌跡分支向左移動，則另一些分支必向右移動。

4.1頻率特性4.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.3控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性作圖4.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)

第四章頻率分析法

4.1頻率特性

一、基本概念已知線性定常系統(tǒng)的數(shù)學模型為

這是一個復自變量s的復變函數(shù)。由于s=σ+jω，令s的實部為零時，就可以得到另外一個復變函數(shù)G(jω)表復變函數(shù)G(jω)的自變量為頻率ω，因此將其稱為頻率特性

二、頻率特性的定義從直觀上看，可以把頻率特性定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號的復數(shù)符號與輸入正弦信號的復數(shù)符號之比，即G(jω)=C·R·(48)

三、頻率特性的數(shù)學表示及作圖頻率法分析是基于頻率特性G(jω)，借助于各種作圖法來進行系統(tǒng)的分析與綜合的。

1.極坐標圖極坐標圖又稱為輻相圖、奈奎斯特(Nyquist)圖。

2.對數(shù)坐標圖對數(shù)坐標圖又稱為波德(Bode)圖，由于方便實用，被廣泛地應用于控制系統(tǒng)分析時的作圖。4.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)頻率特性為幅值為幅角為

對數(shù)頻率特性表達式為

L(ω)=20lgA(ω)=20lgKdB（425）對數(shù)相頻特性表達式為

φ(ω)=0°（426）二、積分環(huán)節(jié)頻率特性為輻值為輻角為

對數(shù)輻頻特性L(ω)表達式為

L(ω)=20lg1ω=－20lgω（429）因此曲線為每十倍頻衰減20dB的一條斜線，是等斜率變化的。對數(shù)相頻特性φ(ω)表達式為

φ(ω)=∠1jω=－90°（430）三、微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性為輻值為輻角為

對數(shù)輻頻特性L(ω)表達式為

L(ω)=20lgω（434）可見，與積分環(huán)節(jié)相反，等斜率值為每十倍頻增加20dB。對數(shù)相頻特性φ(ω)表達式為

φ(ω)=∠jω=90°（435）四、慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為實部與虛部表達式為

其模角表達式為輻值為極限值為輻角為極限值為

五、一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為

G(jω)=1+jωT（447）輻頻特性為

A(ω)=1+ω2T2（448）相頻特性為

φ(ω)=arctanωT（449）

4.3控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性作圖在掌握了典型環(huán)節(jié)作圖的基礎上，可以作出控制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性，即伯德圖，進而可以利用伯德圖對所研究的系統(tǒng)進行開環(huán)分析。

一、開環(huán)頻率特性的伯德圖控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的伯德圖是頻域分析、系統(tǒng)設計的基礎。根據(jù)典型環(huán)節(jié)的伯德圖，容易繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的伯德圖二、開環(huán)系統(tǒng)極坐標圖的繪制系統(tǒng)的頻率特性有兩種：一種是閉環(huán)系統(tǒng)從反饋點斷開后，開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)所對應的開環(huán)頻率特性G(jω)；另一種是反饋點不斷開，整個系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)所對應的閉環(huán)頻率特性Φ(jω)。與系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性類似，系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖也有兩種繪制方法：

一種是利用MATLAB軟件繪制精確的極坐圖；另一種方法是用手工繪制近似的系統(tǒng)的極坐標圖。手工繪圖方法如下。

第一步，根據(jù)最小相位系統(tǒng)頻率特性的特點確定極坐標圖的低頻和高頻部分位置和形狀。

第二步，對于極坐標圖的中頻部分，應根據(jù)實頻、虛頻特性（或相頻、輻頻特性）確定與坐標軸的交點。

第三步，按頻率ω從小到大的順序用光滑曲線將頻率特性的低頻、中頻和高頻部分連接起來即可。

三、最小與非最小相位系統(tǒng)線性系統(tǒng)可以分為最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有極點和零點，而且不包含滯后環(huán)節(jié)，則稱為最小相位系統(tǒng)，否則，稱為非最小相位系統(tǒng)。4.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)頻域穩(wěn)定性判據(jù)又稱為Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)，簡稱奈氏判據(jù)。頻域穩(wěn)定性判據(jù)所依據(jù)的是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，也就是利用系統(tǒng)的開環(huán)信息，不僅可以確定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且還可以提供相對穩(wěn)定性的信息。一、開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關系

控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中，滿足方程N(s)+M(s)=0的s值，稱為系統(tǒng)的閉環(huán)極點。作輔助函數(shù)，也就是系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式為

二、頻域穩(wěn)定性判據(jù)已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G0(jω)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為當ω由0增至無窮時，輔助函數(shù)F(jω)的角度增量為三、頻域穩(wěn)定性分析1.最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)的零點和極點全部位于s平面的左半平面上，因此滿足穩(wěn)定判據(jù)的p=0的情況，則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為(4-83)式

即開環(huán)頻率特性的極坐標軌線G0(jω)不包圍G(jω)平面的-1點2.原點處有開環(huán)極點情況當原點處存在有開環(huán)極點時，其表達式為于開環(huán)極點因子G(s)=1s，既不在s的左半平面上，也不在s的右半平面上，當ω由0增至無窮時，原點處的開環(huán)極點，其輻角增量值為不定的，不應用輻角增量公式來計算。對于這種情況，可以認為原點處的開環(huán)極點屬于s的左半平面。

四、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在伯德圖中的應用1.關于輻相曲線圍繞點－1+j0圈數(shù)R的計算

負穿越：輻相曲線由下向上（輻角減小）穿越(－∞,－1)區(qū)間的穿越稱為負穿越，計為N－=1；而從(－∞,－1)區(qū)間實軸開始的負穿越稱為半次負穿越，記為N－=1/2。

正穿越：輻相曲線由上向下（輻角增大）穿越(－∞,－1)區(qū)間的穿越稱為正穿越，計為N+=1；而從(－∞,－1)區(qū)間實軸開始的正穿越稱為半次正穿越，計為N+=1/2。2.開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖與相應的對數(shù)坐標圖的對應關系

（1）極坐標圖上的單位圓對應于對數(shù)坐標圖上的零分貝線。（2）極坐標圖上的負實軸對應于對數(shù)坐標圖上的－180°相位線。3.對數(shù)頻率特性圖上的正負穿越圖445極坐標圖與對數(shù)坐標圖的對應關系4.對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)若系統(tǒng)包含積分環(huán)節(jié)，在對數(shù)相頻曲線ω為0+的地方補畫一條從GK(j0+)+ν×90°到GK(j0+)的虛線，計算正負穿越次數(shù)時應將補畫的虛線看成對數(shù)相頻特性曲線的一部分。五、穩(wěn)定裕度1.系統(tǒng)穩(wěn)定性的關系

可以將最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性概括為：

2輻值穩(wěn)定裕度h(Lg)

令輻相曲線穿越－180°相位線所對應的頻率為ωg，這個頻率稱為相角穿越頻率，此頻率所對應的輻值為A(ωg)。相角穿越頻率時的輻頻特性的倒數(shù)稱為輻值穩(wěn)定裕度，簡稱輻值裕度，即3.相位穩(wěn)定裕度γ

令輻相曲線穿越0dB線所對應的頻率為ωc，這個頻率稱為輻值穿越頻率，

六、閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性1用向量法求取閉環(huán)頻率特性系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為2系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率閉環(huán)系統(tǒng)的典型輻頻特性如圖4-49所示。

七、頻率特性分析

1.利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能開環(huán)頻率特性的低頻段決定了系統(tǒng)的穩(wěn)性能

2.頻域性能指標與時域性能指標的關系（1）典型二階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標與暫態(tài)性能指標的關系典型二階系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性輻值穿越頻率ωc

相位裕度γ

（2）欠阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)頻域性能指標與時域暫態(tài)性能指標的關系欠阻尼二階系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為（3）高階系統(tǒng)的頻域指標與時域暫態(tài)性能指標的關系①超調(diào)量Mp%隨諧振峰值Mr的增大而增大。②調(diào)節(jié)時間ts隨諧振峰值Mr的增大而加長，并與ωc成反比。

③諧振峰值Mr與相位裕度γ的近似關系為Mr=1/sinγ④系統(tǒng)的相位裕度γ不僅反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，還影響著系統(tǒng)的暫態(tài)相應速度。

第一節(jié)控制系統(tǒng)校正的概念一、控制系統(tǒng)的設計步驟1擬定性能指標2初步設計3

原理試驗4樣機生產(chǎn)二、校正的概念與校正方案前面已經(jīng)指出，當根據(jù)系統(tǒng)所完成的任務，制定出合理的性能指標后，即可選擇主要的元部件。系統(tǒng)結構如圖51所示第五章時域分析法

1串聯(lián)校正把校正環(huán)節(jié)安置在前向通道里，這種形式稱為串聯(lián)校正。圖52串聯(lián)校正2并聯(lián)校正并聯(lián)校正方案如圖53所示。

3反饋校正校正裝置也可以再構成一個反饋通道，如圖54所示，這樣的校正稱為反饋校正。

4前饋校正復合控制具有不改變系統(tǒng)閉環(huán)極點，同時提高控制精度的特點，因此，可以在原系統(tǒng)中加一條前向通道，構成復合控制，如圖55所示。

三、校正方法確定了校正方案以后，下面的問題就是如何確定校正裝置的結構和參數(shù)。目前主要有兩大類校正方法，分析法與綜合法。

分析法又稱為試探法。這種方法是把校正裝置歸結為易于實現(xiàn)的幾種類型。

綜合法又稱為期望特性法。它的基本思想是按照設計任務所要求的性能指標，構造期望的數(shù)學模型，然后選擇校正裝置的數(shù)學模型，使系統(tǒng)校正后的數(shù)學模型等于期望的數(shù)學模型。

第二節(jié)串聯(lián)校正的分析法一、超前校正1.超前校正及其特性超前校正在前向通道中串接的校正裝置的傳遞函數(shù)為

2.用頻域法確定超前校正參數(shù)（1）設計指標頻域法進行系統(tǒng)校正是一種間接方法，依據(jù)的不是時域指標而是頻域指標。（2）一般設計步驟

①根據(jù)給定的穩(wěn)態(tài)指標，確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K②利用①求得的K，繪制系統(tǒng)的伯德圖。③在伯德圖上量取未校正系統(tǒng)的相位裕量和輻值裕量，并計算為使相位裕量達到給定指標所需補償?shù)某跋嘟铅う?γ－γ0+ε

④取φm=Δφ，并由a=1+sinφm1－sinφm求出a。⑤為使超前校正裝置的最大超前相角出現(xiàn)在校正后系統(tǒng)的截止頻率ω′c上，即ωm=ω′c，取未校正系統(tǒng)輻值為－10lgadb時的頻率作為校正后系統(tǒng)的截止頻率ω′c。⑥由ωm=1aT計算參數(shù)T，并寫出超前校正的傳遞函數(shù)Gc(s)=1+aTs1+Ts。⑦校驗指標。繪制系統(tǒng)校正后的伯德圖，檢驗是否滿足給定的性能指標。二、滯后校正1滯后校正及其特性滯后校正就是在前向通道中串接校正裝置來校正控制系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為

2用頻率法確定滯后校正參數(shù)（1）基本思路我們?nèi)匀挥懻撚脺笮Ｕb置校正暫態(tài)特性已滿足要求，但穩(wěn)態(tài)性能不滿足要求的系統(tǒng)。（2）一般步驟①按穩(wěn)態(tài)性能指標要求的開環(huán)放大系數(shù)繪制未校正系統(tǒng)的伯德圖。

②在原系統(tǒng)的伯德圖上找出相角為－(180°－γ－ε)的頻率作為校正后系統(tǒng)的截止頻率ω′c，③在原系統(tǒng)的伯德圖上量取L0(ω′c)［或由20lgG0(jωc)求?。莸姆重愔担⒘?0lgG0(jωc)=20lg1a，由此確定參數(shù)a（a<1）。④取1aT=(15~110)ω′c，并由a求參數(shù)T。⑤繪制校正后系統(tǒng)的伯德圖，校驗各項性能指標，若不滿足，可重新選擇ω′c或1aT的值。

3滯后校正裝置（1）無源滯后校正網(wǎng)絡①滯后校正是采用運算放大器的有源滯后校正網(wǎng)絡的一種實現(xiàn)，Gc(s)=－R2+R31sCR3+1sCR1=－R2+R3R1R2R3R2+R3Cs+1R3Cs+1②PI控制器是采用運算放大器的有源滯后校正網(wǎng)絡的另一種實現(xiàn)，三、滯后—超前校正1滯后—超前校正的基本思想

2滯后—超前校正網(wǎng)絡最直接的思想是用一個超前校正網(wǎng)絡改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，再用一個滯后校正網(wǎng)絡提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性能

第三節(jié)串聯(lián)校正的綜合法一、綜合法的基本方法考察如圖5-27所示串聯(lián)校正系統(tǒng)。

綜合法的基本方法是按照設計任務所要求的性能指標，構造具有期望的控制性能的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，然后確定校正裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)，Gc(s)=G(s)G0(s)二、按最佳二階系統(tǒng)校正在如圖528（a）所示典型二階模型中，適當選擇參數(shù)K0，使其對數(shù)輻頻特性如圖528（b）所示

三、按典型三階系統(tǒng)校正1典型三階模型上述典型二階系統(tǒng)是工程上常用的一類統(tǒng)，但它只是一階無差系統(tǒng)，抗干擾性能也較差。下面介紹另一種期望模型——典型三階模型。2具有“最佳頻比”的典型三階模型3具有最大相角裕度的典型三階模型

第一節(jié)離散控制系統(tǒng)的基本概念一、采樣過程如圖61所示計算機控制系統(tǒng)，被控對象是在連續(xù)信號作用下工作的，其控制信號、輸出信號c(t)及其反饋信號、參考輸入信號r(t)等均為連續(xù)信號，而計算機的輸入、輸出信號是采樣的數(shù)字信號。第六章離散控制系統(tǒng)分析

實際采樣裝置是多種多樣的，但無論具體實現(xiàn)如何，其基本功能可以用一個開關表示，通常稱為采樣開關。連續(xù)信號f(t)加在采樣開關一端，采樣開關以一定規(guī)律開閉，另一端便得到采樣信號f*(t)。采樣過程如圖62所示。

二、采樣定理采樣定理：若采樣器的采樣頻率ωs大于或等于其輸入連續(xù)信號f(t)的頻譜中最高頻率ωmax的兩倍，即ωs≥2ωmax，則能夠從采樣信號f(t)中完全復現(xiàn)f(t)。三、信號的復現(xiàn)與保持根據(jù)前面分析可知，連續(xù)信號經(jīng)采樣后變成脈沖序列，其頻譜中除原信號的頻譜外，還有無限多個在采樣過程中產(chǎn)生的高頻頻譜。因此，為了從采樣信號復現(xiàn)出原連續(xù)信號，而又不使上述高頻分量進入系統(tǒng)，應在采樣開關后面串聯(lián)一個信號復現(xiàn)濾波器。

濾去高頻分量，而無損失地保留原信號頻譜。能使采樣信號不失真地復現(xiàn)為原連續(xù)信號的低通濾波器應具有理想的矩形頻率特性。即其圖形如圖64所示，且式中ωs滿足采樣定理，即ωs>2ωmax。ωmax為原連續(xù)信號頻譜的最高頻率。經(jīng)過這樣的濾波器濾波之后，信號的頻譜變?yōu)?/p>

第二節(jié)z變換1定義

Z變換實質(zhì)上是拉氏變換的一種擴展，也稱作采樣拉氏變換。在離散系統(tǒng)中，連續(xù)函數(shù)信號f(t)經(jīng)過采樣開關，變成采樣信號f*(t)，由式對上式進行拉氏變換

此式可以看出，任何采樣信號的拉氏變換中，都含有超越函數(shù)e－kTs，因此，若仍用拉氏變換處理離散系統(tǒng)的問題，就會給運算帶來很多困難，為此，引入新變量z，令則將F*(s)記作F(z)，則式（621）可以改寫為這樣就變成了以復變量z為自變量的函數(shù)。稱此函數(shù)為f*(t)的z變換。記作

2.z變換的性質(zhì)與拉氏變換的性質(zhì)相