24.2.2直線與圓的位置關(guān)系（第二課時）課件 2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上

24.2.2直線與圓的位置關(guān)系（第二課時）1.直線和圓有哪些位置關(guān)系？

復(fù)習(xí)回顧半徑（2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到直線的距離等于圓的______.（1）定義法：直線與圓只有一個公共點.直線與圓相交直線與圓相切直線與圓相離

d<rd=

rd>

r2.如何判斷一條直線是圓的切線?砂輪上打磨工件時飛出的火星直線與圓相切的實例下雨天當(dāng)你快速轉(zhuǎn)動雨傘時飛出的水珠探究切線的判定定理思考：（1）圓心O到直線l的距離d和圓的半徑r有什么數(shù)量關(guān)系?

（2）直線l和⊙O有什么位置關(guān)系？

（3）你有什么發(fā)現(xiàn)？問題1：已知在⊙O中，經(jīng)過半徑OA的外端點A作直線l⊥OAＯAld=r相切（1）直線l經(jīng)過半徑OA的外端點A；（2）直線l垂直于半徑OA；

則直線l與⊙O相切.切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.符號語言∵OA為⊙O的半徑，l⊥OA于A，∴l(xiāng)為⊙O的切線.ＯAl探究切線的判定定理1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;l2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切;lrd3.位置關(guān)系法：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.AlO圓的切線的判定方法例1

已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.分析：由于AB過⊙O上的點C，所以連接OC，OBAC只要證明AB⊥OC即可.例1

已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.證明：連接OC(如圖).

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.

∴

AB⊥OC.

∵

OC是⊙O的半徑，

∴直線

AB是⊙O的切線.OBAC注意：解決直線與圓相切的問題時，如果已知直線與圓有公共點，則連接過該點的半徑，只需證明直線垂直于該半徑即可，即“連半徑，證垂直”.探究切線的性質(zhì)定理問題2：如圖，如果直線l是⊙O

的切線，點A為切點，那么OA與l垂直嗎？AlO已知：直線l是⊙O

的切線，點A為切點，連接OA.求證：l⊥OA.證法：反證法.

假設(shè)OA與直線l

不垂直，過點O作OM⊥l

，垂足為M，根據(jù)垂線段最短，得OM<OA，即圓心O到直線l的距離OM小于半徑OA，M在⊙O內(nèi).

lOA

所以直線l與⊙O相交，這與直線l

是⊙O的切線矛盾.所以假設(shè)不成立，即l⊥OA.探究切線的性質(zhì)定理M切線的性質(zhì)定理

圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．符號語言∵直線l是⊙O

的切線，A是切點，∴直線l⊥OA.AlO探究切線的性質(zhì)定理例2

已知：如圖，大圓O的弦AB與小圓O相切于點C.

求證：點C是AB的中點.OBAC

證明：連接OC(如圖)

∵大圓O的弦AB與小圓O相切于點C，

∴OC⊥

AB.

∵

OA＝OB，

∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.

∴

點C是AB的中點.注意：已知直線與圓相切，有切點，常用輔助線添加方法：見切點，連半徑，得垂直.

例3

如圖,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC中點，

AB與⊙O相切于E.

求證：AC

是⊙O的切線．分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了，而OE是⊙O的半徑，因此只需要證明OF=OE.OCBEAF證明：連接OE

，OA，

過O作OF⊥AC于F.∵⊙O與AB相切于E

，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，

O是BC中點．∴AO平分∠BAC，又OE⊥AB，OF⊥AC.∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF=OE，

OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線．FBOCEA注意：解決直線與圓相切的問題時，如果直線與圓的公共點未知，則過圓心作直線的垂線，只需證明這條垂線段等于半徑，即“作垂直，證半徑”.切線的判定方法定義法數(shù)量關(guān)系法位置關(guān)系法1個公共點，則相切d=r，則相切經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線的性質(zhì)證切線時常用輔助線添加方法：①有公共點，連半徑，證垂直；②無公共點，作垂直，證半徑.有1個公共點d=r性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑常用輔助線添加方法：見切點，連半徑，得垂直.課堂小結(jié)1.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，

PE⊥AC于E.

判斷PE與⊙O的