2024-2025學(xué)年廣西河池市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西河池市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知直線，則與的距離為（）A．1 B．2 C． D．3．若橢圓焦點(diǎn)在軸上且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．4．已知兩個(gè)向量，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．85．已知直線平分圓的周長(zhǎng)，則（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，E為棱的中點(diǎn)，則到平面的夾角余弦值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，并且，則的面積等于（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共1小題）9．已知直線，，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為 B．當(dāng)時(shí)，C．若，則 D．直線始終過定點(diǎn)三、單選題（本大題共1小題）10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，是上的中點(diǎn)，以下說法正確的是（）

A．的面積是定值 B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值為 D．平面的一個(gè)法向量是四、多選題（本大題共1小題）11．已知橢圓，上分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A．存在4個(gè)點(diǎn)M，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值 D．的取值范圍為五、填空題（本大題共3小題）12．已知直線l過點(diǎn)，傾斜角為，則直線l的縱截距為．13．已知圓與直線相切，則．14．雙曲線的離心率為．六、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)分別為．(1)求邊的中線所在直線的方程；(2)求邊的垂直平分線所在直線的方程．16．已知橢圓C：，M為橢圓上一點(diǎn)，，分別為它的左右焦點(diǎn)，M到，距離之和為4，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)以及三角形AOB面積．17．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，且，，，為中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的正弦值．18．已知圓，圓．(1)證明兩圓相交，并求兩圓公共弦長(zhǎng)；(2)已知過點(diǎn)0,1的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率．19．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為2．(1)求拋物線的方程；(2)已知是雙曲線左右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．證明：．

答案1．【正確答案】C【詳解】解：由焦半徑公式得：．故選：C．2．【正確答案】C【詳解】由題意得，與的距離，故選：C3．【正確答案】B【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上且橢圓經(jīng)過點(diǎn)0,2，所以，又，則，所以橢圓方程為，故選：B.4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋?，解得，所?故選：A.5．【正確答案】A【詳解】由，可得圓心為，因?yàn)橹本€平分圓的周長(zhǎng)，所以直線過圓的圓心，則，解得．故選：A6．【正確答案】D【詳解】已知拋物線的準(zhǔn)線為，所以雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：D．7．【正確答案】B【詳解】底面ABCD為等腰梯形，，如圖，在底面ABCD中，過點(diǎn)D作，垂足為H，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)到平面的夾角為，則，可得，所以到平面的夾角余弦值為.故選：B．8．【正確答案】B【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性以及，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)可知，，，三點(diǎn)共線，連接，，，，，則四邊形為矩形，所以，，

由雙曲線可得，，則，所以，所以，又，所以，解得，所以.故選：B.9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線，斜率，則傾斜角為，故A正確；對(duì)于B，等價(jià)于，解得，故B正確；對(duì)于C，若，則且，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，所以直線恒過，故D正確.故選：ABD.10．【正確答案】C【詳解】對(duì)A：在上且，到AC的距離等于到AC的距離，則為定值1，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)榻⒉煌目臻g直角坐標(biāo)系，與同向的單位向量的表示方法會(huì)不同，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；同理，D選項(xiàng)也不對(duì).如圖所示建系，，

對(duì)C：，，故C選項(xiàng)正確；故選：C11．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A中，由橢圓，可得，由，以為圓心，為直徑的圓，與橢圓C有4個(gè)交點(diǎn)，所以存在4個(gè)點(diǎn)M，使得，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B中，設(shè)，則，且，可得，則為定值，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于C中，由橢圓的定義，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D中，由點(diǎn)N在橢圓外，設(shè)直線與橢圓相交于，如圖所示，則，因?yàn)?，且，可知，即，?dāng)與重合時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD．12．【正確答案】1【詳解】由題意知，斜率為，則直線方程為，令即，直線1的縱截距為1．故1．13．【正確答案】【詳解】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為，依題意，.故答案為.14．【正確答案】2或【詳解】當(dāng)，,所以．當(dāng)，故2或．15．【正確答案】(1)(2)．【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，所以，邊的中線過點(diǎn)兩點(diǎn)，所以，所以所在直線方程為，即；（2）因?yàn)榈男甭剩缘拇怪逼椒志€的斜率，所以的垂直平分線所在直線的方程為，即．16．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，則，由離心率，得，得，所以橢圓C的方程為.（2）由消去得，解得，則弦長(zhǎng)；原點(diǎn)O到直線l：距離為：，所以三角形AOB面積：17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)與交點(diǎn)為，連接，則，所以平面，所以，，三條直線兩兩互相垂直，以，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，則，，，，，E0,0,1，，，設(shè)平面EAD的法向量為，，可取，又，則點(diǎn)C到平面EAD的距離：；（2），，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，可取，所以，所以平面PBC與平面EAD夾角的余弦值為，所以平面PBC與平面EAD夾角的正弦值為.18．【正確答案】(1)證明見解析，(2)或．【詳解】（1）如圖：圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，由，所以兩圓相交，兩圓方程作差得．即公共弦所在直線的方程為．圓的圓心到公共弦所在直線的距離為：，所以公共弦長(zhǎng)為.（2）由題可知，設(shè)Ax1,①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與交點(diǎn)在y軸上，顯然不滿足題意.②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為：，將代入，得，整理得，，，由