2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．過點(diǎn)，斜率為2的直線方程為（

）A． B．C． D．2．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M(jìn)行某項(xiàng)圍棋比賽，勝者可獲得48000元獎(jiǎng)金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進(jìn)行三局，甲兩勝一負(fù)，由于突發(fā)因素?zé)o法進(jìn)行后面比賽，如何分配獎(jiǎng)金最合理？（

）A．甲24000元，乙24000元 B．甲32000元，乙16000元C．甲40000元，乙8000元 D．甲36000元，乙12000元5．已知直線，則直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．6．已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．“太極圖”因其形狀如對(duì)稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）

A． B． C． D．8．已知圓和，若動(dòng)圓與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為，則的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．經(jīng)過點(diǎn)，且在軸，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C．兩平行直線之間的距離為D．已知直線，則“”的充要條件是“或”10．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在上，則（

）A．兩個(gè)圓的公切線有2條B．兩個(gè)圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在該圓上C．PQ的取值范圍為D．兩個(gè)圓的公共弦所在直線的方程為11．如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)在曲線上B．點(diǎn)在上，則C．點(diǎn)在橢圓上，若，則D．過作軸的垂線交于兩點(diǎn)，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上且焦距為4，則的值為.13．唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為.14．已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，且，則的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在上.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，三棱錐的體積為，試求的值.16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過和點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線被圓截得弦長為，求實(shí)數(shù)的值17．2024年11月13日，赤峰朝聚眼科醫(yī)院醫(yī)生和護(hù)士來到赤峰四中對(duì)全部學(xué)生進(jìn)行視力普查和視力保護(hù)宣傳.為配合此次活動(dòng)，我校組織學(xué)生開展了題為“保護(hù)雙眼，看清世界”的護(hù)眼知識(shí)競賽.現(xiàn)抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問題：(1)求頻率分布直方圖中的值.若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；(2)用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的中位數(shù)（用分?jǐn)?shù)表示）；(3)若甲?乙兩位同學(xué)獲得參加第二輪的復(fù)賽資格，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲?乙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率.18．如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面且為中點(diǎn).(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值19．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)，過點(diǎn)做兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，且為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.

答案1．【正確答案】A【詳解】根據(jù)點(diǎn)斜式方程得直線方程為，化簡得.故選：A.2．【正確答案】C【詳解】根據(jù)題意有，所以.故選：C.3．【正確答案】B【詳解】雙曲線的漸近線方程為，依題意，，所以雙曲線的離心率.故選：B4．【正確答案】D【詳解】乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，所以甲乙兩人按照分配獎(jiǎng)金才比較合理，所以甲元，乙元，故選：D.5．【正確答案】C【詳解】直線，由，解得，所以直線恒過定點(diǎn).故選：C6．【正確答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，得點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，因此，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B7．【正確答案】C【詳解】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，斜率最小，設(shè)，則，解得或（舍去），即的最小值為.故選：C.

8．【正確答案】D【詳解】圓和的圓心、半徑分別為，由，得點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)動(dòng)圓半徑為，依題意，，，則，因此P點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，即，而圓內(nèi)切于，切點(diǎn)在P點(diǎn)的軌跡上，此點(diǎn)可視為極限位置的點(diǎn)，所以橢圓方程為.故選：D9．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，直線的斜率，故傾斜角為，故A正確；對(duì)于B，直線經(jīng)過，且在軸和軸上的截距均為，互為相反數(shù)，但該直線并不是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩直線的方程分別是和，故距離，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，“或”成立，但中的系數(shù)均為零，直線不存在，不可能有“”，所以原條件不可能為充要條件，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．【正確答案】BC【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對(duì)于A，由，得圓外離，這兩個(gè)圓有4條公切線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的方程為上，因此直線為兩圓的公共對(duì)稱軸，B正確；對(duì)于C，，，則的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，由圓外離，得圓不存在公共弦，D錯(cuò)誤.故選：BC11．【正確答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)“雙紐線”定義得到，再計(jì)算即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)“雙紐線”定義和橢圓定義即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，再解方程即可判斷D正確.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，由定義知，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，點(diǎn)在上，則，化簡得，所以，，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，橢圓上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，又，所以，故，所以，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，又，所以，化簡得，故，所以，故1，所以，故D正確，故選ACD.12．【正確答案】8【詳解】由題意知，且，則，所以，解得.故8.13．【正確答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即，所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故

14．【正確答案】/0.25【詳解】由，且，得為等邊三角形，點(diǎn)在線段的中垂線，即軸上，令橢圓半焦距為，則，而點(diǎn)，且直線的斜率為，因此，所以的離心率為.故15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于，連接，∵為矩形，∴為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）由題設(shè)平面，平面，故，，則，，∴的面積為.又因?yàn)槠矫?，且，則棱錐的體積為，因?yàn)槿忮F的體積為，所以棱錐的體積為，∴到平面的距離滿足，即.∵平面，平面，∴平面平面，過在平面內(nèi)作，垂足為，則平面，而平面，于是.∵，∴，則.16．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的垂直平分線的方程為，由，解得，因此圓的圓心，半徑，所以圓的方程為.（2）由直線被曲線截得弦長為，得圓心到直線的距離因此，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.17．【正確答案】(1)，2人；(2)；(3)．【詳解】（1）由，解得，成績不高于50分的人數(shù)為：，在內(nèi)的人數(shù)為，所以不高于50分的抽?。ㄈ耍?（2）由圖知，學(xué)生成績?cè)趦?nèi)的頻率為0.4，在內(nèi)的頻率為0.3，則學(xué)生成績中位數(shù)，因此，解得，所以中位數(shù)為.（3）記“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)”為事件A，則，所以至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，由，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，過作，由，得，，而，平面，則，，以為原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由，，得，，，，，中點(diǎn)，則，，因此，即，所以.（2）由（1）知，，，，設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的