25學年八年級數(shù)學上學期期末考點大串講（人教版）專題03軸對稱（考點清單5個考點清單+8種題型解讀）（原卷版）

專題03軸對稱（考點清單，5個考點清單+8種題型解讀）【清單01】軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.要求歸納：成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系要點歸納:軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點歸納：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.【清單02】作軸對稱圖形1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.【清單03】等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點歸納：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝．（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.要點歸納：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理．2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.要點歸納：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.【清單04】含30°角的直角三角形的性質(zhì)（重點）（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．【清單05】最短路徑問題（重點）1.垂直線段最短問題動點所在的直線已知型方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。2.將軍飲馬問題方法技巧：定點關(guān)于定直線對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短求最值．①兩定一動②一定兩動③兩定兩動3.“造橋選址”問題A方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．AMMNN【考點題型一】軸對稱與軸對稱圖形1．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）下面的圖形是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，與關(guān)于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點D，，下列結(jié)論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④3．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，以所在直線為對稱軸作，，則．4．（22-23八年級上·寧夏石嘴山·期末）如圖，點在內(nèi)，點、分別是點關(guān)于、的對稱點，且與、分別相交于點、，若的周長為20，求的長．【考點題型二】線段的垂直平分線5．（24-25八年級上·全國·期末）下列條件中，不能判定直線是線段（M，N不在上）的垂直平分線的是（）A．， B．，C． D．，平分6．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，的邊的垂直平分線交于點D，連接，若，，則．7．（23-24八年級上·陜西安康·期末）如圖，在中，點D是的中點，連接，垂直平分，垂足為E，F(xiàn)是的中點，連接，求證：是的垂直平分線．

8．（23-24八年級上·湖南郴州·期末）如圖所示，在中，，為的中點，且，已知的周長為，且，求、的長．【考點題型三】等腰三角形的性質(zhì)與判定9．（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，過點作于點，過點作于點，連接，過點作，交于點．與相交于點，若點是的中點，則下列結(jié)論中，①；②；③；④．正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（21-22八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，，，的平分線相交于點，過作交于點，交于點，則的周長等于．11．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，中，，，的垂直平分線交于點E，交于點D，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，求長．12．（20-21八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，點為的中點，邊的垂直平分線交，，于點，，，連接．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【考點題型四】綜合應用13．（24-25八年級上·全國·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為邊上的點，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點D為外一點，，、的延長線交于點E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．14．（23-24八年級上·福建廈門·期末）如圖，在等邊三角形中，是延長線上一點，連接，且，點關(guān)于的對稱點為，連接，分別交于點，，(1)依題意補全圖形．(2)改變的大小，在變化過程中，的大小是否發(fā)生變化？若有變化，請寫出的變化范圍；若不變，請求出的大??；(3)試判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【考點題型五】與邊或周長有關(guān)的問題15．（23-24八年級上·浙江金華·期末）已知等腰一邊長為3，另一邊長是化簡的結(jié)果，則該三角形的周長是（

）A．15 B．21 C．15或21 D．15或1216．（22-23八年級上·湖南常德·期末）一個等腰三角形一邊長為，另一邊長為，則這個等腰三角形的周長為（

）A． B． C．或 D．17．（23-24八年級上·湖南永州·期末）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為5，則它的第三邊的長為．18．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形．(1)若腰長比底邊長短，求它的三邊長；(2)能圍成有一邊的長是的等腰三角形嗎﹖若能，請求出它的另兩邊，若不能，請說明理由．【考點題型六】與角有關(guān)的問題19．（22-23八年級上·河北石家莊·期末）等腰三角形的兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形底角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或20．（23-24八年級上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一個內(nèi)角為另一個內(nèi)角的2倍，那么該等腰三角形的頂角等于（

）A．或 B． C．或 D．或21．（22-23八年級上·廣東汕頭·期末）一個等腰三角形的兩個內(nèi)角的和為，則它的頂角度數(shù)為．22．（21-22八年級上·黑龍江牡丹江·期末）在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，點P在△ABC的三邊上運動，當△PAC成為等腰三角形時，其頂角的度數(shù)是多少度呢？請畫出圖形，在相應圖形下方直接寫出答案．23．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）是等腰腰上的高，且，則等腰底角的度數(shù)是多少？（畫出符合題意的圖形，并直接寫出結(jié)果）【考點題型七】與高有關(guān)的問題24．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或25．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點、點在線段的垂直平分線上，且，則的度數(shù)為．26．（22-23八年級上·湖北荊門·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中線將三角形的周長分成15和9兩部分，求這個等腰三角形的腰長及底邊長．（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，求這個等腰三角形的底角的度數(shù)．【考點題型八】綜合創(chuàng)新問題27．（22-23八年級上·湖北荊門·期末）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC邊上的點，BD＝CE，AD與BE相交于點P，AP＝4，Q是射線PE上的動點．(1)求證：：(2)若△APQ為直角三角形，求PQ的值；(3)當△APQ為鈍角三角形時，直接寫出PQ的取值范圍．28．（21-22八年級上·吉林長春·階段練習）有一邊長為的正方形和等腰直角，，．點B，C，Q，當C，Q兩點重合時，t秒后正方形與等腰直角重合部分的面積為，解答下列問題：(1)當Q在線段上時，；當Q在線段延長線上時，（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當秒時，求S的值．(3)當重合部分為四邊形時，請用含t的代數(shù)式表示S，并注明t的取值范圍．29．（23-24八年級上·吉林延邊·期末）在中，，直線l過點A，且．與關(guān)于直線l對稱，點B的對稱點是點D，與的三邊圍成的圖