高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)習(xí)題

第一部份：消費(fèi)者理論

一、形式化表述分析消費(fèi)者偏好的性質(zhì)

(完備性，傳遞性，持續(xù)性，嚴(yán)格單調(diào)性，嚴(yán)格凸性等等)

二、效用函數(shù)存在性證明請(qǐng)參考教材

三、表述顯示性偏好弱公理及顯示性偏好強(qiáng)公理，并用于分析下面問(wèn)題。

考察一個(gè)對(duì)物品1和物品2有需求的消費(fèi)者，當(dāng)物品價(jià)錢為d=(2,4)時(shí)，其

需求為父=(1,2)o當(dāng)價(jià)錢為p2=(6,3)時(shí)，其需求為x?=(2,1),該消

費(fèi)者是不是知足顯示性偏好弱公理。

若是x?=(,1)時(shí)，該消費(fèi)者是不是知足顯示性偏好弱公理。

解答；p'x,=2*l+4*2=10>p'x2=2*2+4*1=8消費(fèi)束1偏好于消費(fèi)束2

p2x'=6*l+3*2=12<p2x2=6*2+3*1=15消費(fèi)束2偏好于消費(fèi)束1

違背r顯示性偏好弱公理。

若是x?=(,1)時(shí)：

p'x1=2*l+4*2=10>p'x2=2*1.4+4*1=6.8消費(fèi)束1偏好于消費(fèi)束2

p2x'=6*l+3*2=12>p2x2=6*1.4+3*1=11.4消費(fèi)束1在價(jià)錢2的情形下

買不起。符合顯示性偏好弱公理。

四、效用函數(shù)〃(毛,馬)=為，求瓦爾拉斯需求函數(shù)

x

解答：max〃(與，/)=\s.t.pixl+p2x2=狡從效用函數(shù)〃(占，x2)=與可知商

品2對(duì)消費(fèi)者沒(méi)效用，因此最大化效用的結(jié)果是所有的收入都用于購(gòu)買商品1,

對(duì)商品2的需求為0,x2=0,x,=—

Pi

或由maxz/(xnx2)=x]s.t.pxxx+p2x2=w,可取得

max=max——生旦=*,此時(shí)與=0,/=工(源于消費(fèi)束的非負(fù)限制)

P\PiPi

事實(shí)上，這是一個(gè)邊角解,

*2

五、效用函數(shù)〃(a,4)=(/°+/°),，對(duì)其求

一、瓦爾拉斯需求函數(shù)，間接效用函數(shù)；

二、希克斯需求函數(shù)，支出函數(shù)。

答案：

wp.p^wp聲、W

—、/=-p--------『工2=—『―四P|,〃2，W)=---------------------三

%夕-1+〃2”Pg+P2，T(p]看ip2看)7

11

一力_upQ,_1卬的/_、_u

一、九一F，h—~，e(，〃)-[zy

pp-pp-pp—

(P/T+P2AV(P/T+Pj-lV(Pl—1+P?P-1)p

(形式可能不一樣)

六、給出瓦爾拉斯需求函數(shù)、?？怂剐枨蠛瘮?shù)、間接效用函數(shù)、支出函數(shù)形式化

描述，說(shuō)明其性質(zhì)，并證明其中的凹凸性性質(zhì)。請(qǐng)參考教材

七、證明對(duì)偶原理中的x(p,卬)三h\p,v(/?.卬)].例〃,〃)三xp,e(p,M)1請(qǐng)參考教材

八、考慮將瓦爾拉斯預(yù)算集擴(kuò)展為一個(gè)任意消費(fèi)集X：Bpw={xeX：px<w}o

假定{〃,卬>>0}。證明：若是X是一個(gè)凸集，那么^…也是凸集。請(qǐng)參考教材

九、效用函數(shù)〃(占/2)=為/，推導(dǎo)斯拉茨基方程，并分析替代效應(yīng)、收入效應(yīng)

和總效應(yīng)。請(qǐng)參考教材

十、效用函數(shù)〃(芭/2)=(芭°+/夕)夕，求其貨幣氣宇的直接和間接效用函數(shù)。

p-1

pPPp

答案：w(p^x)=(xlX2)(piP^+P2西)

p_P_—_P_P

q,w)=(P[k+pP

〃(夕；p2P-i)+^2P-?)w

、效用函數(shù)〃(巧，工2)=工1工2，當(dāng)p「=2,〃2°=3,w=40,p/=4,^,'=5,

求其等價(jià)轉(zhuǎn)變和補(bǔ)償轉(zhuǎn)變。

答案：〃（p；q,w）=3w,EV=-1),CV=40(l-

q0

十二、分析福利分析在稅收方面的應(yīng)用。請(qǐng)參考教材

十三、〃（耳,工2）=?兀，假定PI=（）.25,〃2=1,w=2,對(duì)商品1開(kāi)征消費(fèi)稅元。

求開(kāi)征消費(fèi)稅的無(wú)謂損失（包括兩種情形）。

解答：max〃（X[,X2）=J區(qū)

?xip]+x2p2=vv

1.求瓦爾拉斯需求函數(shù)

（1）成立拉格朗日函數(shù)

?

L=■Jxlx2+2(w-Pi5〃2*2)

（2）求極值一階條件

5L1.11.(a)

西=/2…-核二n。

(b)

"=0

dx22'--

8L(c)

次=『p內(nèi)―=n。

由（a）和（b）整理得:

（%/王）5二旦與土=?

（仙2）:P2X一P2

（3）瓦爾拉斯需求函數(shù)

別離將羽=%且，芭二々且代入預(yù)算約束（c）,有

P2〃2

w

2Pl-2P2

2.求間接效用函數(shù)

將瓦爾拉斯需求函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)〃（由,%）二J蕊，有

□M，P2，W）=（六產(chǎn)（產(chǎn)產(chǎn)=~F

2P\2Pi24pj

3.求支出函數(shù)

由間接效用函數(shù)，求反函數(shù)卬得：

2/2

w=2p^p^v（p^p2,w）

?〃,〃）=2〃尸〃2%

4.求?？怂剐枨蠛瘮?shù)

法一：將支出函數(shù)

代入瓦爾拉斯需求函數(shù)為=產(chǎn)，取得

u—1/21/2,1/2—1/2

%=PiPiwh2=p2u

法二：依照謝伯特引理，對(duì)支出函數(shù)對(duì)價(jià)錢求導(dǎo)，也可取得?？怂剐枨蠛?/p>

數(shù)。

5.求貨幣氣宇的效用函數(shù)

（1）貨幣氣宇的直接效用函數(shù)

由e（p,〃）=2〃J2P2卜2〃，有

W（p,X）=2〃;72%。,工2）=2pJ2P2也與電

（2）貨幣氣宇的間接效用函數(shù)

〃（p；q,w）=2pJ2pJ2y（夕,%,卬）=pJ2,2“2gJ/2/7/2w

6.下標(biāo)0表示征稅前，下標(biāo)1表示征收消費(fèi)稅后。

p；=0.25,p；=1,

p\=0.25+0.25,p\=1

嗎=%=w=2

等價(jià)轉(zhuǎn)變分析：

u。=v(p,0,w)=2(p/)1(pJ嚴(yán)=2(0.25^1)'-=2

u——M")=2⑹)[(*嚴(yán)=2(0.5)H嚴(yán)=近

依照征稅前的價(jià)錢計(jì)算的，消費(fèi)者對(duì)征收消費(fèi)稅前后所取得效用的轉(zhuǎn)變：

Ev=e(p°,ul)-e(p\u])-e(p°,儲(chǔ))■卬

=〃(p°;，,卬)■卬

=(p；y(p?>(0；尸仿；尸卬一w

=(0.25>(1>(0,5尸(1尸x2-2=-0.5858

商品稅與收入稅對(duì)消費(fèi)者的福利之差為：

(-T)-EV(/70;/?',vv)=-th(p?-Ey(p。;plw)

,,/21,/2,-1/2,/2

=-0.25x(p1)-(p2)H+0.5858=-0.25x(0.5)(l)V2+0.5858=0.0858

說(shuō)明商品稅對(duì)消費(fèi)者的福利阻礙更差。

補(bǔ)償轉(zhuǎn)變分析：

依照征稅后的價(jià)錢計(jì)算的，消費(fèi)者對(duì)征收消費(fèi)稅前后所取得效用的轉(zhuǎn)變：

Cv==w-e(p1〃°)

=卬)

=W-(P；—尸(或尸w

=2-(0.5>(1)"(0.25尸(1尸x2=-0.8284

商品稅與收入稅對(duì)消費(fèi)者的福利之差為：

-T-CvCp1;p°,w)=-th(p\u°)-Cv(p';p°,w)

=—O.25x(p：)T/2(〃[)U2〃°+o8284=-0.25x(0.5)-I/2(1),/2x2+0.8284=-0.7074+0.8284

說(shuō)明商品稅對(duì)消費(fèi)者的福利阻礙更差。

2.D.3B考慮將瓦爾拉斯預(yù)算集擴(kuò)展為一個(gè)任意消費(fèi)集

=[工GX”4310假定(？，卬)》0。

證明如果X是一個(gè)凸集，則BPtW也是凸集。

B設(shè)XWB…X'GB^,2G[0,1].

令x“=/lx+(l-/l)x'，因?yàn)閄是一個(gè)凸集，因此x%X.

故p、?x"二2(p?x)+(1-2)(p-x)2w+(l-2)w=w

因此，x"wBp”.

2?E.5b假定i(p,3)是一個(gè)對(duì)w的一次齊次需求函數(shù)，并且

滿足瓦爾拉斯定律和零次齊次性。而且假定交叉價(jià)格效應(yīng)為零，即只要

k￥l,就南=0。證明這將意味著對(duì)于所有/,均有

陽(yáng)(力,皿)=仇，式中々＞0是一個(gè)與(力，儂)無(wú)關(guān)的常數(shù)。

B因?yàn)閤(p,w)對(duì)w是一次齊次的,因此對(duì)任意a〉0有x(p,aw)=ax(p,w).

因此，X,(p,w)=X,(p,l)w.

因?yàn)楫?dāng)kWl時(shí)，dxt(p,l)/dpk=d(p1(p)/dpk=0

因此X7(p,1)只是關(guān)于p,的函數(shù)，即可記為X/(p,w);X/(P/).

又因?yàn)閤(p,\v)知足零次齊次性，因此x,(p/)必然是門的-1次方。

因此,存在藥〉0時(shí)，使3(p/)=a,/P,.

依照瓦爾拉斯定律，￡/P/(a//P/)w=R￡/a/=w.

因此有尸1是個(gè)常數(shù).

2,F.3B下而是有關(guān)某消費(fèi)者購(gòu)買的部分信息。該消費(fèi)者只消費(fèi)

兩種商品。

第1年第2年

數(shù)量?jī)r(jià)格數(shù)量?jī)r(jià)格

商品1100100120100

商品2100100?80

商品2在第2年的消費(fèi)量屬于哪一范圍時(shí)，你將斷定：

(a)他的行為是不一致的(即與弱公理相矛盾)？

(b)消費(fèi)者在第1年的消費(fèi)束顯示出優(yōu)于第2年的消費(fèi)束？

(c)消費(fèi)者在第2年的消費(fèi)束顯示出優(yōu)于第1年的消費(fèi)束？

(d)沒(méi)有充分的信息來(lái)斷定(a),(b),和/或(c)是否成立？

(e)對(duì)于這個(gè)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，商品1(在某一價(jià)格上)是劣等品嗎?假

定弱公理得到了滿足。

“)對(duì)于這個(gè)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，商品2(在某?價(jià)格上)是劣等品？假定

弱公理得到了滿足。

(a)假設(shè)100-120+100j<100-100+100-100100-100+80-100^100-120+80y

即，y￡[75,80]時(shí)，他的行為與弱公理矛盾.

(b)假設(shè)100-120+100yW100-100+100-100且

100400+80-100>100-120+80y

即，y<75時(shí)，消費(fèi)者在第1年的消費(fèi)束顯示出優(yōu)于第2年的消費(fèi)束.

(c)假設(shè)100-120+100y>100-100+100-100且100-100+80-100W

100-120+80y

即，y>80時(shí),消費(fèi)者在第2年的消費(fèi)束顯示出優(yōu)于第1年的消費(fèi)束.

(注:b,c假定弱公理成立)

(d)不管y取何值，都有充分的信息來(lái)判定a,b,c中有一個(gè)成立

(e)當(dāng)y<75時(shí)，商品1是劣等品.

100-120+100y^100-100+100-100且100-100+80-100>100-120+80y

因此第2年的實(shí)際收入水平低于第1年的實(shí)際收入水平，同時(shí)商品1的相對(duì)價(jià)錢

上升.可是,因?yàn)閥<75<100,商品2的需求量下降,這意味著商品1的收入效應(yīng)是

負(fù)的.故商品1(在某一價(jià)錢上)是劣等品.

(f)當(dāng)80<y<100時(shí),商品2是劣等品.

100420+100y>100400+100400且100400+80400^100-120+80y

因此第2年的實(shí)際收入水平高于第1年的實(shí)際收入水平，同時(shí)商品2

的相對(duì)價(jià)錢下降.可是,因?yàn)閥<100,商品2的需求量下降,這意味著

商品2的收入效應(yīng)是負(fù)的.故商品2：在某一價(jià)錢卜.)是劣等品.

3.D.6B考慮一個(gè)有三種商品的情形，在此情形中，消費(fèi)者的效

用函數(shù)為u(x)=(X1-61尸(龍2-辦2尸<了3-^3)y-

(a)為什么你能不失一般性地假定a+夕+y=1?在后面的問(wèn)題

中，我們做此假定。

(b)寫出UMP的一階條件，推導(dǎo)消費(fèi)者的瓦爾拉斯需求和間接效

用函數(shù)。這一需求系統(tǒng)被稱為線性支出系統(tǒng)，它是由斯通(1954)提出

的.

Az

B(a)令)(x)=u(x)i/3R)=(x「b,)"(X2-b2)(X3-b3),

其中a=a1(a+p+y),/?=/7/(a++/),/=//(?+/7+/)

因?yàn)楹瘮?shù)Uf是單調(diào)變換,

因此，?+#+/=1,w(?)與因此代表相同的效用水平.

因此咱們能夠不失一樣性的假定a+〃+y=l.

(b)對(duì)己給出的效用函數(shù)進(jìn)行另一種形式的單調(diào)變換：

Inu(x)-aIn(x)-b1)+In(x2-b,)+/In(x3-b3).

依照UMP的一階條件得出瓦爾拉斯需求函數(shù)：

x(p,w)=(bf,b2,b3)+(w-p-b)(?/P),/?/p2,y/p3)

其中p-b=P[〃+p2b2+pQ

將此需求函數(shù)代入u(?)，取得間接效用函數(shù)：v(p,w)=(w-p-b)(a/p}Y

3.G.30考慮習(xí)題3.D.6所給出的(線性支出系統(tǒng))效用函數(shù)。

(a)推導(dǎo)?？怂剐枨蠛瘮?shù)及支出函數(shù)。驗(yàn)證命題3,E.2和3.E.3所

列出的名項(xiàng)性質(zhì)。

(b)證明支出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即為(a)中所導(dǎo)出的?？怂剐枨蠛瘮?shù)。

(c)驗(yàn)證斯拉茨基方程成立口

(d)驗(yàn)證：自替代項(xiàng)是負(fù)的，且補(bǔ)償交叉價(jià)格效應(yīng)是對(duì)稱的。

(e)證明？5。，切)是半負(fù)定的,且秩為2。

(此題(a)中驗(yàn)證和不用作。)

B(a)假設(shè)a+〃+/=l.關(guān)于效用函數(shù)：

lnu(x)=aln(x)-b))+^ln(x2-b2)+/ln(x3-b3).

依照EMP一階條件得：

h(p,u)=(b”b2,bsHug/af他⑶”)/行(a/p"/p2，P3)

將此函數(shù)代入p-h(p,u),取得支出函數(shù):

e(p,u)=p?b+u(p1/a)"他/4)"(化/7》.其中，P*b=+p2b2+p3b3.

(b)對(duì)(a)中求出的支出函數(shù)求導(dǎo)在(p,〃)/3p/,通過(guò)與h(p,u)比較,可取得支出函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)即為(a)中所求出的希克斯需求函數(shù)。

(c)依照(b)可得，Dph(p,u)=Dpe(p,u).

將a中的支出函數(shù)對(duì)p求二階導(dǎo)數(shù)，取得

Mpj濟(jì)。丫出/洛

-a(l-a)/p：aRP\Pzay/p】〃3

-2(i)/p；

afifP\P2方/p2P3

ay/PJ)3ByIp2P3-r(l-7)/

在中，咱們?nèi)〉脁(p,w)=(b?,b

b3)+(w-p-b)(a/p1,p!p2i"〃3)

于是，Dw，x(p,w)=(a/P],4/〃2,y/〃3)

a/p「00a//%

一

Dpx(p,w)="(w-p-b)0PIPi0PIPi(3，b2,b3)

00rfPy.

依照以上結(jié)果，咱們可驗(yàn)證斯拉茨基方程成立.

(d)依照Dph(p,u)=D；c(p,u)和D；e(p,u)即得。

(e)依照S(p,〃)=Dph(p,u)=D^e(p,u),

咱們可得出D；e(p,u)是半負(fù)定的，而且秩為2。

3.G.?B(F.M?費(fèi)希爾)在一個(gè)三種商品的經(jīng)濟(jì)中(商品表示為

立1,H2,與；價(jià)格表示為，一個(gè)財(cái)富水平為W>0的消費(fèi)者

對(duì)商品1和商品2的需求函數(shù)為：

N[=100-52+/+療

P3p3/>3

工2=a十+y烏卜3詈

/>3P3P3

式中的希臘字母為若零常數(shù)。

(a)說(shuō)明如何計(jì)算對(duì)商品3的需求(但不必真正去計(jì)算)。

(b)對(duì)商品不和商品X2的需求是齊次的嗎？

(C)計(jì)算由效用最大化所蘊(yùn)含的對(duì)a，dy和s的數(shù)值的限制。

(d)給定你在(c)中的結(jié)果，針對(duì)一個(gè)固定水平的13,在叫，工2平

而上畫出消費(fèi)者的無(wú)差異曲線c

(e)你在(d)中的答案對(duì)于消費(fèi)者效用函數(shù)以打，工2心3)的形式

而言意味著什么？

(a)依照瓦爾拉斯定律，可取得：x3=(w-x1p,-x2p2)/p3

(b)是齊次的。關(guān)于任意2>0,有:

100-5沏1/沏3+以〃2/即3+沉卬/即3=100-5pj〃3+PpJ〃3+折"/"3，

a

+0入pj即3+以“2/切3+8卬/即3=a+的［/〃3+YP2/〃3+<5>V/〃3.

(C)因?yàn)樗估幕娲仃嚲哂袑?duì)稱性，那么有:

￡/〃3十(b/〃3)(a+例I/〃3+m2/〃3+3W〃3)

=B1〃3+3/凸)0④-5〃1/凸+例2/〃3+3卬/〃3)

因此，代入凸=1,整理得:

2

(1+&$)+網(wǎng)A+92+川卬=(4+1003)—5加?+p6p24-6W

因?yàn)樵摲匠剃P(guān)于所有P/P2和W都成立,那么有,

6二夕+10(防，優(yōu),2=於

得，a=100,P=—5,/=—5

百=W=(100-5〃|/〃3+5〃2/P3+蘇W〃3)

由于斯拉茨基矩陣的對(duì)角線上的所有元素均為非正的，那么取得:

J=0代入“3=1,對(duì)角線上的第一個(gè)元素為：-5+g00-5月+5P2)+b9

若KW0,那么人〉0,就可找到一組(p「p2M值使得上式)0.

故得：因此，=x2=(100-5^//?3+5p2/p3).

(d)因?yàn)殛P(guān)于任意價(jià)錢，》二修，因此消費(fèi)者的無(wú)不同曲線呈L型，拐

點(diǎn)在座標(biāo)軸的對(duì)角線上，如以下圖。

(e)依照d的結(jié)論，關(guān)于固定的芻，商品1和2的偏好可由min卜,/｝表示,

商品1和2的需求也無(wú)收入效應(yīng)。因此取得:

H(xpx2,x3)=min｛芯,々｝+43或是該形式的單調(diào)變換。

3J.7B有三種商品(即L=3),其中第三種商品為本位商品(令

P3=1)。市場(chǎng)需求函數(shù)X(P9W)為

xl(p,w)=a+bp\+cp2

比2(2，w)=d+堂|+gp2

(a)寫出效用最大化所蘊(yùn)含的參數(shù)限制。

(b)估計(jì)當(dāng)價(jià)格由(”[*2)=(1,1)變動(dòng)至(人加2)=(2,2)時(shí)的

等價(jià)變化。證明：若沒(méi)有恰當(dāng)?shù)膶?duì)稱性,就不會(huì)有路徑無(wú)關(guān)性。在本習(xí)題

的其余部分，我們作出對(duì)稱性假定。

(C)令E%,E12和EV分別為當(dāng)價(jià)格從(力，P2)=(1,1)變動(dòng)至

(2,1),(1,2)和(2,2)時(shí)的等價(jià)變化。比較依賴于問(wèn)題參數(shù)的EV和

EV1+EV?。并解釋。

(d)假定(c)中的價(jià)格上升是因稅收引起的。將上述三種實(shí)驗(yàn)中每

種實(shí)驗(yàn)的凈損失分別表示為DW^DW2和DW。比較依賴于問(wèn)題參數(shù)

的DW和DWi+DW2o

(e)假定初始的稅收情形是價(jià)格(力，加)=什，1),政府想通過(guò)商

品稅籌集一個(gè)固定(小)數(shù)額的收入R。令兩種商品的稅率分別為力和

上。請(qǐng)確定當(dāng)最優(yōu)性標(biāo)準(zhǔn)為凈損失最小化時(shí)的最優(yōu)稅率，并把它們表示

為需求參數(shù)的函數(shù)Q

(a)依照瓦爾拉斯定律和零次齊次性，可取得三種商品的需求函數(shù)的概

念域都是｛(〃,卬)￡/?隈/?:夕》0｝。于是咱們能夠從需求函數(shù)中取得一個(gè)3、3

的斯拉茨基矩陣。將該斯拉茨基矩陣的最后一行與最后一列去掉，可取得

一個(gè)2x2的子矩陣，為(1/pJ.

'Leg_

依照瓦爾拉斯定律和齊次性，當(dāng)且僅當(dāng)2x2的子矩陣對(duì)稱時(shí)，3x3

的斯拉茨基矩陣乜對(duì)稱。

一樣，可適當(dāng)且僅當(dāng)2x2的子矩陣為半負(fù)定矩陣時(shí)，3x3的斯拉茨

基矩陣也是半負(fù)定矩陣。

因此，效用最大化所包括的參數(shù)限制為：c二e,bWO,gWO,且bg-c?三

0.

(b)第一，證明前兩種商品相應(yīng)的希克斯需求函數(shù)與效用水平無(wú)關(guān)，

僅是前兩種商品價(jià)錢的函數(shù)，它等于已給出的瓦爾拉斯需求函數(shù)。

MPM二為(p,e(p,〃)),4(P，〃')=X/(P，4P，/))1=1,2

因?yàn)榈??)與收入無(wú)關(guān),X/(p,e(p,u))二為(p,e(p,/))

因此4(p,〃)=%(p,/)。

故，4(〃,〃)與效用水平無(wú)關(guān)，它等于已給出的瓦爾拉斯需求函數(shù)。

假設(shè)價(jià)錢轉(zhuǎn)變是遵循途徑：(1,1)一(2,1)一(2,2),那么等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

J；”(pll,加?+J；/(2,P2，〃加二J3(pUVV^'+JjX2(2,p2，向p2

二(a+(3/2,+c)+(d+2e+(3/2)g)

假設(shè)價(jià)錢轉(zhuǎn)變是遵循途徑：(1,1)-(1,2)-(2,2),那么等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

j:"(p)2,〃加+j2/?2(l,/r,M^2=J1好(],〃2,孫沛

=(〃+(3/2?+2c)+(d+e+(3/2)g)

當(dāng)且僅當(dāng)c=e時(shí)，以上兩種等價(jià)轉(zhuǎn)變相等。

(c)由以上可知：￡V[=j1,卬)加—+(3/2)b+c

222

EV2=jfx(l,p,vt)^9=d+e+(3/2)g=d+c+(3/2)g

EV=(a+(3/2)h+c)+(d+2e+(3/2)g)=a+(3/2)b+3c+

d+(3/2)g

因此，EV-iEV.+EVj^

后匕與￡匕之和不包括由于第二種商品的價(jià)錢上升到2引發(fā)的圖

中需求函數(shù)的移動(dòng)進(jìn)而引發(fā)的等價(jià)轉(zhuǎn)變的效應(yīng)(一樣也可指不包括第

一種商品的價(jià)錢上升到2引發(fā)的圖中需求函數(shù)的移動(dòng)進(jìn)而引發(fā)的等

價(jià)轉(zhuǎn)變的效應(yīng))。從圖中看出，當(dāng)c二e〉0,EV包括ABCD區(qū)域，但

石匕+E匕不包括。

(d)因?yàn)椋?2,1,卬)=a+2b+c,第一種商品的稅收收入與它相等，

因此，DVV,=(a+(3/2)b+c)-(a+2b+c)=~b/2

因?yàn)槠?l,2,w)=d+e+2g,第二種商品的稅收收入與它相等，

因此，DW2=(d+e+(3/2)g)-(d+e+2g)=-g/2

因?yàn)閄(2,2,w)=a+2b+2c,x2(2,2,w)=d+2e+2g,兩種商品的稅收收

入為：

(a+2b+2c)+(d+2e+2g)=a+2b+4c+d+2g

因此，DW=(a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g)-(a+2b+4c+d+2g)=-b/2-c-g/2

故，OW-（。%+。嗎）=-c

(e)問(wèn)題能夠轉(zhuǎn)化為：旅他心)。卬(討2)

,+4J+，2,〃>/，R

其中,。卬(廿2)二戲(討2)一紙(討2)

二41+%」+，2,〃)一6(1‘1,〃)一工著"/(1+41+，2,〃尢

成立拉格朗日函數(shù):4|/,2)=。卬。心)+4(R-77?(rp/2))

對(duì)。求?階導(dǎo)數(shù)：cDW(r,,t2)/dtrZdTR(t[,t2)/dtt=0

=

可是，由于3e(l+八/+dtf〃/(1+4J+G，〃)

dTR(t[耳)/的=%(1+%,1+c，〃)+ELi9%(1+rpl+r2,w)/—

因此6。卬(后，2)/初/二。e(l+4,1+小〃)/樹(shù)/一〃/(1+41+G，〃)

■Z窘(敬0+h1+，2，")/的)4

二-E著(dhk(l+rpl+r2,〃)/dt{)tk

因此一階條件能夠?qū)憺椋?/p>

Z屋](84(l+f],l+[2，〃)/a)〃(1+4)+助/(1+乙J+G'")=。1=1,2

又因?yàn)镽=E；=也(1+4,1+72，〃>/，

那么-4二______勿+以2_______________Ct[+g，2_______

ci+/?(1+2/1)+c(l+2r>)ci+c(l+2/J+g(l+2/2)

(a+bQ+rJ^-c(l+r2))^1+(d+c(l+r1)+g(l+r2))t2=R

第二部份：廠商理論

一、產(chǎn)商的生產(chǎn)函數(shù)/(小，?)=』gX/3,求其要素需求函數(shù)和條件要

素需求函數(shù)

解答：(1)max%=py—＞匕巧一＞乙*2s.t.y=

1/31/3

max/r=pxtx2—wtxt-w2x2

d7TIALA

T=7PX】3X3-W,=0

dx132

加1二1A

-----=_prx,23X.3-2=0

dx23,

x-pi

x

i~2

27%2%

3

X=P

227%2%

11

(2)min(wix}4-w2x2)s.t.=y

ii色

21

X]=w~iw22y,x2=w~iwxiy,

二、產(chǎn)商的生產(chǎn)函數(shù)/（冷斗）=父'2”,求其本錢函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)

解答：將要素需求函數(shù)帶入利潤(rùn)函數(shù)表達(dá)式就取得利潤(rùn)函數(shù)，將條件要素需求函

數(shù)帶入本錢函數(shù)表達(dá)式就取得本錢函數(shù)

2

答案：c(wl,wJ,y)=2wl2w22y^(p9y)=-------

27wyw2

三、產(chǎn)商的生產(chǎn)函數(shù)/（1）用三種方式求其供給函數(shù)（2）假

定生產(chǎn)要素2固定為k,再?gòu)念^求其供給函數(shù)。

解答：（1）方式一：由利潤(rùn)函數(shù)求解供給函數(shù)

方式二：由生產(chǎn)函數(shù)求解供給函數(shù)

方式三：由本錢函數(shù)求解供給函數(shù)（注意：〃=MC是利潤(rùn)最大化條件）

y=

9卬1w

（2）一樣的三種方法》=

四、廠商利潤(rùn)最大化條件的意義及應(yīng)用邊界；廠商本錢最小化條件的意義及應(yīng)用

邊界（新加）

參考書

五、分析生產(chǎn)集的性質(zhì)

參考書

六、論述歐拉方程和克拉克分派定理的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。

參考書

七、證明利潤(rùn)函數(shù)是價(jià)錢的凸函數(shù)。

參考書

八、給出要素需求函數(shù)、條件要素需求函數(shù)、本錢函數(shù)及利潤(rùn)函數(shù)形式化描述，

并說(shuō)明經(jīng)濟(jì)意義。說(shuō)明其性質(zhì)，并證明其中的凹凸性性質(zhì)。

參考書

第三部份不確信性選擇

一、一決策者的效用函數(shù)為“(*)=&,初始財(cái)富160000,5%損失70000,5%損失

120000,問(wèn)其情愿支付的最大保險(xiǎn)金額多大？若是保險(xiǎn)公司不承擔(dān)損失中的

7620,其情愿支付的最大保險(xiǎn)金額又多大？

解答：用確信性等值，(1)

5%V160000-70000+5%J160000—120000+90%J160000=J160000-R

R=11775

(2)

5%V160000-70000+5%V160000-120000+90%7160000=

5%V160000-7620-/?+5%7160000-7620-7?+90%V160000-/?

/e=11004

二、給出簡(jiǎn)單彩票、復(fù)合彩票、貨幣彩票及彩票空間的獨(dú)立性公理的形式化描述,

并說(shuō)明經(jīng)濟(jì)意義。

二*、期望效用函數(shù)的存在性證明

參考書

三、寫出并證明絕對(duì)和相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)不變的效用函數(shù)。

參考書

四、簡(jiǎn)要分析保險(xiǎn)需求理論的大體框架。

參考書

五、簡(jiǎn)要分析資產(chǎn)組合理論的大體框架

參考書

六、假定個(gè)人具有效用函數(shù)(1)計(jì)算當(dāng)財(cái)富水平卬=5時(shí)的絕對(duì)和相

對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)。(2)計(jì)算彩票(1641/2,1/2)的確信性等價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)(3)計(jì)

算彩票(36,16;1/2,1/2)的確信性等價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià),將這一結(jié)果與(2)比較，并

說(shuō)明。

對(duì)同一個(gè)人，不同財(cái)富水平的彩票有不同確信性等價(jià)可能有相同的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

(2)〃(c(w))="1〃(為)+乃2〃(*2)，yjc(w)=—V16+—V4,c(w)=9

22

E(w)=乃[X[+乃2/=-16+—4=10,R(w)=E(w)-c(w)=1

22

(3)c(w)=25,E(w)=26,R(w)=E(w)—c(w)=1°

對(duì)同一個(gè)人，不同財(cái)富水平的彩票有不同確信性等價(jià)可能有相同的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

第四部份：局部、一樣均衡和福利經(jīng)濟(jì)學(xué)

1.有一個(gè)賣方壟斷者，其需求和本錢函數(shù)別離為0=2200-6因和

c=0.5/-91.5如+274的，請(qǐng)確信其在完全價(jià)錢歧視和沒(méi)有p價(jià)錢歧視情形下

的最大利潤(rùn)和對(duì)應(yīng)的邊際價(jià)錢與數(shù)量」(題目有錯(cuò)，請(qǐng)對(duì)應(yīng)書的例題)

解答：(1)完全價(jià)錢歧視

p=MC2200-60q=L5q??183q+2740,q=773,(q=4.7舍去)

%=￡pdq-c(q)=^3(2200-60q)dq-c(77.3)=94793

(2)無(wú)價(jià)錢歧視

MR=MC2200-120q=L5q2-183q+2740q=30,(q=12舍去)

乃=p(30)x30-c(30J=-1350

2.一個(gè)賣方壟斷者為兩個(gè)空間上分離的市場(chǎng)效勞，在這兩個(gè)市場(chǎng)上，能夠采取

兩種價(jià)錢，沒(méi)必要擔(dān)憂市場(chǎng)之間的競(jìng)爭(zhēng)和返銷。賣方壟斷者的需求和生產(chǎn)本錢函

數(shù)為：

〃1=100-2%p2=120-3<f2c=80(%+42)-(4+電尸，請(qǐng)確信

〃|,〃2，/，夕2的值。

解答：由于兩個(gè)市場(chǎng)分離，因此兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)錢、需求量獨(dú)立

Maxn=ptq,+p2q2-c,d九［dq1=0,d冗［bq?=。，可取得

Pi=20,P］=30,%=40,q2=30

3.考慮一種兩個(gè)人、兩種商品、純互換的競(jìng)爭(zhēng)經(jīng)濟(jì)。消費(fèi)者的效用函數(shù)為

q=%1%2+12%1+3的2，=。2闖22+的21+9?這。消費(fèi)者1的初始擁有量為8

單位0和30單位。2；消費(fèi)者2每種商品各擁有10單位。決定這兩個(gè)消費(fèi)者的

逾額需求函數(shù)和這種經(jīng)濟(jì)的均衡價(jià)錢比率0

答案：立=2,Eu=5fEl2=-10fE2l=-5fEn=10

P2

4.考慮一種兩個(gè)人、兩種商品、有紙幣純互換的競(jìng)爭(zhēng)經(jīng)濟(jì)。消費(fèi)者的效用函數(shù)

為■=%必2味力=02闖22°'。消費(fèi)者1的初始擁有量初始擁有量為30單位。1、

5單位02和43單位貨幣；消費(fèi)者2初始擁有量別離為20、10和2。每一個(gè)消費(fèi)

者都想持有等于起初始商品擁有量?jī)r(jià)值的五分之一的貨幣存量。決定0和Q2

的均衡貨幣價(jià)錢。說(shuō)明若是消費(fèi)者一、2的貨幣存量別離增加到129和6,那么

均衡價(jià)錢應(yīng)為原先的三倍。

解答：第一不考慮貨幣存量，按第三題的做法求出立=1，接著再?gòu)呢泿攀袌?chǎng)

P25

均衡求出均衡貨幣價(jià)錢，pi=3,p?=50證明"若是消費(fèi)者一、2的貨幣存量別

離增加到129和6,那么均衡價(jià)錢應(yīng)為原先的三倍”，再?gòu)呢泿攀袌?chǎng)均衡求出均

衡貨幣價(jià)錢或從貨幣均衡方程表達(dá)式直接證明即可。

5.考慮具有以下結(jié)構(gòu)的行業(yè)。50個(gè)以競(jìng)爭(zhēng)方式行動(dòng)的廠商，具有相同的本錢函

數(shù)

c(y)=y2/2,一個(gè)具有零邊際本錢的壟斷者。產(chǎn)品的需求曲線由下式給出

()什么是壟斷者的利潤(rùn)最大化產(chǎn)量？()什么是

D(p)=1000-50po12

壟斷者的利潤(rùn)最大化價(jià)錢？(3)在此價(jià)錢下，該競(jìng)爭(zhēng)部門供給多少？(答案修

改了)

解答：競(jìng)爭(zhēng)廠商的供給：p=MC=c'(y)=y,

競(jìng)爭(zhēng)廠商的總供給：y:=50y=50p

由市場(chǎng)均衡：D(p)=S(p),1000-50p=yc+ym

壟斷者的產(chǎn)量：yin=H300-100p