人教版八年級數(shù)學(xué)上冊整式的乘法與因式分解《乘法公式：平方差公式》示范 教學(xué)課件

平方差公式復(fù)習(xí)引入新知探究思考：邊長為a的正方形紙片，剪去邊長為b（b<a）的正方形，剩余紙片的面積為多少？baaba2?b2剩余紙片的面積為新知探究思考：還有別的計(jì)算方法嗎？baababa-ba2?b2剩余紙片的面積為新知探究思考：還有別的計(jì)算方法嗎？baab剩余紙片的面積為baab12(a+b)(a-b)12(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)新知探究平方差公式(a

+b)(a?

b)

=a2

?

b2.兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩數(shù)的平方差.公式變形：1.(a–b)(a+b)=a2

–

b2；2.(b+a)(–b+a)=a2

–

b2.由于剩余紙片面積相等，于是有：新知探究平方差公式解讀平方差公式注意：這里的兩數(shù)可以是兩個(gè)單項(xiàng)式，也可以是兩個(gè)多項(xiàng)式等．(a

+b)(a

-

b)=a2-

b2相同為

a

相反為

b順序可以不同，只關(guān)注相同的符號可以合理加括號，只關(guān)注相反的符號新知探究思考：判斷下列式子是否可用平方差公式？(1)(-a+b)(a+b)(2)(-a+b)(a-b)

(3)(a+b)(a-c)(4)(2+a)(a-2)

(5)(6)

(1-x)(-x-1)(7)(-4k3+3y2)(-4k3-3y2)符號都是相反字母不對應(yīng)新知探究積累：常見的平方差公式及其變形

(l)(－a+b)(a+b)=_________.(2)(a－b)(b+a)=_________.(3)(－a－b)(－a+b)=________.(4)(a－b)(－a－b)=_________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a2關(guān)注字母（或多項(xiàng)式）的符號與順序無關(guān)！常見的公式和變形要熟記！典例精析例1下面各式的計(jì)算對不對？如果不對，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？（1）；（2）；（3）；（4）．

兩個(gè)字母符號相同，

不能運(yùn)用公式公式運(yùn)用錯(cuò)誤符號識別錯(cuò)誤新知探究公式再熟悉：

aba2－b21x－3a12－x2(－3)2－a2a1a2－120.3x1(0.3x)2－12(a+b)(a-b)(1+x)(1-

x)(-3+a)(-3-

a)(0.3x-

1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)典例精析例2(1)(a+3b)(a–3b)；=4a2–9；=4x4–y2.原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2；=(2a)2–32原式=(–2x2)2–y2原式=(a)2–(3b)2(2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).計(jì)算：(4)(－7m＋8n)(－8n－7m)．原式＝(－7m)2－(8n)2

＝49m2－64n2.新知探究應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：

(1)

左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，

另一項(xiàng)互為相反數(shù)；

(2)

右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；

(3)

公式中的

a

和

b

可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．歸納總結(jié)新知探究①位置變化②符號變化③系數(shù)變化④指數(shù)變化⑤增因式變化(x+y)(x-y)(-x-y)(-x+y)=(x2-y2)(x2-y2)⑥增項(xiàng)變化⑦連用公式變化(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4典例精析例3運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(a+3b)(a－3b);(2)(3+2a)(－3+2a);(3)51×49;(4)(3x+4)(3x－4)－(2x+3)(2x－3).(1)原式=a2－9b2；

(2)原式=4a2－9；(3)原式=(50+1)(50-1)=502-12=2499；

(4)原式=(3x)2－42－[(2x)2－32]=5x2－7.解：

典例精析例4計(jì)算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;

(2)(2x－5)(2x+5)–2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4;(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.典例精析例5解方程或不等式:（1）(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1)（2）求(x+5)(x+2)-(x+2)(x-2)<28的正整數(shù)解.解:(1)4x2-1+3(x2-4)=7x2-6x-14x2-1+3x2-12=7x2-6x-16x=12x=2(2)x2+7x+10-x2+4<287x+14<28x<2因?yàn)閤為正整數(shù)，所以不等式的解取1.典例精析例6王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價(jià)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了．你認(rèn)為李大媽吃虧了嗎？為什么？解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．典例精析例7若（a+b+1)(a+b-1)=63,則a+b=——解：(a+b)2-1=63(a+b)2=64

a+b=±8整體法典例精析例8先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中

x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當(dāng)

x＝1，y＝2時(shí)，典例精析例9已知

x≠1，計(jì)算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4……(1)觀察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________

(n為正整數(shù))；(2)根據(jù)你的猜想計(jì)算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______；②2＋22＋23＋…＋2n＝__________(n為正整數(shù))；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；1－xn+1－632n＋1－2x100－1(3)通過以上規(guī)律請你進(jìn)行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝_______；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；a2－b2

a3－b3

歸納總結(jié)平方差公式注意兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差1.符號表示：(a+b)(a－b)=a2－b22.抓住“一同一反”這一特征，只有兩個(gè)二項(xiàng)式的積才有可能應(yīng)用平方差公式；不能直接應(yīng)用公式的，要經(jīng)過變形才可以應(yīng)用內(nèi)容當(dāng)堂檢測1.計(jì)算(2x+1)(2x–1)等于(

)A．4x2–1B．2x2–1C．4x–1D．4x2+1A2.兩個(gè)正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．103．計(jì)算：118×122＝________．143964.下列運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C當(dāng)堂檢測6.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，則A的值是______．解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)=(28－1)÷(2－1)=28－1．28－15.(x－y)(x+y)(x2+y2)；解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；當(dāng)堂檢測7.利用平方差公式計(jì)算：（1）(a－2)(a＋2)(a2＋4)；

解：原式

=(a2－4)(a2＋4)=a4－16.(2)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).解：原式

=(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)=(x4－y4)(x4＋y4)=x8－y8.當(dāng)堂檢測

8.計(jì)算:(1)20232－2022×2024;(2)(y+2)(y－2)–(y－1)(y+5).解：(y+2)(y－2)－(y－1)(y+5)=y2－22－(y2+4y－5)=y2－4－y2－4y+5=－4y+1