廣東省南海中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

廣東省南海中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響．下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．2．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．3．為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A． B． C． D．4．設(shè)拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．35．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．26．某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種7．閱讀下側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應(yīng)填的數(shù)字為A．4 B．5 C．6 D．78．定義在上的奇函數(shù)滿足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．29．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是()A． B． C． D．10．給出下列四個命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設(shè)集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．11．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的值域為_________．14．已知向量滿足，且，則_________．15．設(shè)集合，，則____________.16．函數(shù)的定義域是___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓E：（）的離心率為，且短軸的一個端點B與兩焦點A，C組成的三角形面積為.（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若點P為橢圓E上的一點，過點P作橢圓E的切線交圓O：于不同的兩點M，N（其中M在N的右側(cè)），求四邊形面積的最大值.18．（12分）金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生．新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學(xué)生會從在校學(xué)生中隨機抽取了160名學(xué)生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根據(jù)上表說明，能否有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為，寫出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82819．（12分）已知函數(shù)（1）若，不等式的解集；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線、交于、兩點，是曲線上的動點，求面積的最大值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點；（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，兩點，求證：；（3）若，且不等式對一切正實數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．22．（10分）超級病菌是一種耐藥性細菌，產(chǎn)生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次，假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（i）試運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個等腰三角形，頂角為，設(shè)三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于，故選：A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，模長的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯題.4、A【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點到準(zhǔn)線的距離，也就是到焦點的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準(zhǔn)線的距離，故為到焦點的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點睛：拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點的距離來求解.5、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計算,難度容易.6、B【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時，E排在第四位，結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【詳解】六項不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F，如果任務(wù)A排在第一位時，E排在第二位，剩下四個位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個空位中插入B、C，此時共有排列方法：；如果任務(wù)A排在第二位時，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有，可能都在A、E的右側(cè)，排列方法有；如果任務(wù)A排在第三位時，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側(cè)；所以不同的執(zhí)行方案共有種．【點睛】本題考查了排列組合問題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．7、B【解析】考點：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i＜5時退出，故選B．8、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【點睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

①利用真假表來判斷，②考慮內(nèi)角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個是假命題，故①錯誤；當(dāng)內(nèi)角為時，不是象限角，故②錯誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因為，所以，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點睛】本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識，是一道基礎(chǔ)題.11、D【解析】

先把變形為，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出，得到其坐標(biāo)可得答案.【詳解】解：由，得，所以，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第四象限故選：D【點睛】此題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象．故選A．考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用換元法，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域，得到答案．【詳解】由題意，可得，令，，即，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，，故函數(shù)的值域為：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預(yù)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由數(shù)量積的運算律求得，再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論．【詳解】由題意，∴，即，∴．故答案為：．【點睛】本題考查求向量的夾角，掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題關(guān)鍵．15、【解析】

先解不等式,再求交集的定義求解即可.【詳解】由題,因為,解得,即,則,故答案為:【點睛】本題考查集合的交集運算,考查解一元二次不等式.16、【解析】

由于偶次根式中被開方數(shù)非負，對數(shù)的真數(shù)要大于零，然后解不等式組可得答案.【詳解】解：由題意得，，解得，所以，故答案為：【點睛】此題考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）結(jié)合已知可得，求出a，b的值，即可得橢圓方程；（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用判別式等于0可得，聯(lián)立直線方程與圓的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得，利用弦長公式及點到直線的距離公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.【詳解】解：（Ⅰ）可得，結(jié)合，解得，，，得橢圓方程；（Ⅱ）易知直線的斜率k存在，設(shè)：，由，得，由，得，∵，設(shè)點O到直線：的距離為d，，，由，得，，，∴∴，∴而，，易知，∴，則，四邊形的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”.∴四邊形面積的最大值為4.【點睛】本題考查了由求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計算能力，綜合性比較強，屬于難題.18、（1）有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）詳見解析.【解析】

（1）計算得到，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù)，由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式計算可得期望.【詳解】（1）∵的觀測值，有的把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)．（2）根據(jù)分層抽樣方法得：男生有人，女生有人，選取的人中，男生有人，女生有人．則的可能取值有，，，，，的分布列為：．【點睛】本題考查獨立性檢驗、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解；關(guān)鍵是能夠明確隨機變量服從于超幾何分布，進而利用超幾何分布概率公式求得隨機變量每個取值所對應(yīng)的概率.19、（1）（2）【解析】

（1）依題意可得，再用零點分段法分類討論可得；（2）依題意可得對恒成立，根據(jù)絕對值的幾何意義將絕對值去掉，分別求出解集，則兩解集的并集為，得到不等式即可解得；【詳解】解：（1）若，，則，即，當(dāng)時，原不等式等價于，解得當(dāng)時，原不等式等價于，解得，所以；當(dāng)時，原不等式等價于，解得；綜上，原不等式的解集為；（2）即，得或，由解得，由解得，要使得的解集為，則解得，故的取值范圍是.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．20、（1），；（2）.【解析】

（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，進而可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求出點到直線的最大距離，以及直線截圓所得弦長，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程得，.所以，曲線的普通方程為，將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）曲線是圓心為，半徑為為圓，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的最大距離為，，因此，的面積為最大值為.【點睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值的計算，考查計算能力，屬于中等題.21、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】

（1）令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進而求解；（2）轉(zhuǎn)化思想，要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)進而求證；（3）不等式對一切正實數(shù)恒成立，，設(shè)，分類討論進而求解．【詳解】解：（