(完整版)初等數論教案

PAGEPAGE5初等數論教案一、數論發(fā)展史

數論是研究整數性質的一門很古老的數學分支，其初等部分是以整數的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分數、素數（即整數）分布以及數論函數等內容，統(tǒng)稱初等數論（ElementaryNumberTheory）。初等數論的大部分內容早在古希臘歐幾里德的《幾何原本》中就已出現。歐幾里得證明了素數有無窮多個，他還給出求兩個自然數的最大公約數的方法，即所謂歐幾里得算法。我國古代在數論方面亦有杰出之貢獻，現在一般數論書中的“中國剩余定理”正是我國古代《孫子算經》中的下卷第26題，我國稱之為“孫子定理”。近代初等數論的發(fā)展得益于費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算術探究》是數論的劃時代杰作。

“數學是科學之王，數論是數學之王”。高斯由于自20世紀以來引進了抽象數學和高等分析的巧妙工具，數論得到進一步的發(fā)展，從而開闊了新的研究領域，出現了代數數論、解析數論、幾何數論等新分支。而且近年來初等數論在計算器科學、組合數學、密碼學、代數編碼、計算方法等領域內更得到了廣泛的應用，無疑同時間促進著數論的發(fā)展。二幾個著名數論難題初等數論是研究整數性質的一門學科，歷史上遺留下來沒有解決的大多數數論難題其問題本身容易搞懂，容易引起人的興趣，但是解決它們卻非常困難。其中，非常著名的問題有：哥德巴赫猜想；費爾馬大定理；孿生素數問題；完全數問題等。1、哥德巴赫猜想：1742年,由德國中學教師哥德巴赫在教學中首先發(fā)現的。1742年6月7日，哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉,正式提出了以下的猜想：一個大于6的偶數可以表示為不同的兩個質數之和。陳景潤在1966年證明了“哥德巴赫猜想”的“一個大偶數可以表示為一個素數和一個不超過兩個素數的乘積之和”〔所謂的1+2〕，是篩法的光輝頂點，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好結果。2、費爾馬大定理：費馬是十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業(yè)的律師，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱。在三百七十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數學家戴奧芬多斯的數學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理。經過8年的努力，英國數學家安德魯·懷爾斯終于在1995年完成了該定理的證明。3、孿生素數問題存在無窮多個素數p,使得p+2也是素數。究竟誰最早明確提出這一猜想已無法考證，但是1849年法國數學AlphonsedePolignac提出猜想：對于任何偶數2k,存在無窮多組以2k為間隔的素數。對于k=1，這就是孿生素數猜想，因此人們有時把AlphonsedePolignac作為孿生素數猜想的提出者。不同的k對應的素數對的命名也很有趣，k=1我們已經知道叫做孿生素數；k=2(即間隔為4)的素數對被稱為cousinprime；而k=3(即間隔為6)的素數對竟然被稱為sexyprime(不過別想歪了，之所以稱為sexyprime其實是因為sex正好是拉丁文中的6。)4、最完美的數——完全數問題完美數又稱為完全數,最初是由畢達哥拉斯的信徒發(fā)現的,他們注意到,數6有一個特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.下一個具有同樣性質的數是28,28=1+2+4+7+14.接著是496和8128.他們稱這類數為完美數.歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:注意以上談到的完全數都是偶完全數,至今仍然不知道有沒有奇完全數。三、我國古代數學的偉大成就1、周髀算經公元前100多年，漢朝人撰，是一部既談天體又談數學的天文歷算著作，主要討論蓋天說，提出了著名的“勾三股四弦五”這個勾股定理的一個特例。2、孫子算經約成書于四、五世紀，作者生平和編寫年代都不清楚?，F在傳本的《孫子算經》共三卷。卷上敘述算籌記數的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分數算法和籌算開平方法。卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來傳到日本，變成“鶴龜算”。具有重大意義的是卷下第26題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？《孫子算經》不但提供了答案，而且還給出了解法。南宋大數學家秦九韶則進一步開創(chuàng)了對一次同余式理論的研究工作，推廣“物不知數”的問題。德國數學家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算術探究》中明確地寫出了上述定理。1852年，英國基督教士偉烈亞士將《孫子算經》中物不知數問題的解法傳到歐洲，1874年馬蒂生指出孫子的解法符合高斯的定理，從而在西方的數學史里將這一個定理稱為“中國剩余定理”。3、算數書1983年在湖北省江陵縣張家山，出土了一批西漢初年，即呂后至文帝初年的竹簡，共千余支。經初步整理，其中有律令、《脈書》、《引書》、歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻，還有一部數學著作，據寫在一支竹簡背面的字跡辨認，這部竹簡算書的書名叫《算數書》?！端銛禃肥侵袊F已發(fā)現的最古的一部算書，大約比現有傳本的《九章算術》還要早近二百年，而且《九章算術》是傳世抄本或刊書，《算數書》則是出土的竹筒算書，屬于更可珍貴的第一手資料，所以《算數書》引起了國內外學者的廣泛關注，目前正在被深入研究之中。4、數術記遺《數術記遺》相傳是漢末徐岳所作，亦有數學史家認為本書是北周甄鸞自著。《數術記遺》把大數的名稱按不同的涵義排列三個不同的數列，另一部份是關于一個幻方的清楚的說明，它成為數論中這一發(fā)現的最古的文字記載之一，書中至少提到了四種算盤，因此它是談到算盤的最古老的書籍。5、九章算術根據研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。最后成書最遲在東漢前期。九章算術將書中的所有數學問題分為九大類，就是“九章”。三國時期的劉徽為《九章》作注，加上自己心得體會，使其便于了解，可以流傳下來。唐代的李淳風又重新做注(656年)，作為《算數十經》之一，版刻印刷，作為通用教材?！毒耪滤阈g》的出現，標志著我國古代數學體系的正式確立，當中有以下的一些特點：1.是一個應用數學體系，全書表述為應用問題集的形式；2.以算法為主要內容，全書以問、答、術構成，“術”是主要需闡述的內容；3.以算籌為工具。《九章算術》取得了多方面的數學成就，包括：分數運算、比例問題、雙設法、一些面積、體積計算、一次方程組解法、負數概念的引入及負數加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等?！毒耪滤阈g》的思想方法對我國古代數學產生了巨大的影響。自隋唐之際，《九章算術》已傳入朝鮮、日本，現在更被譯成多種文字。6、海島算經《海島算經》由三國劉徽所著，最初是附于他所注的《九章算術》（263）之后，唐初開始單行，體例亦是以應用問題集的形式。全書共9題，全是利用測量來計算高深廣遠的問題，首題測算海島的高、遠，故得名?！逗u算經》是中國最早的一部測量數學事著，亦為地圖學提供了數學基礎。7、算經十書唐代國子監(jiān)內設立算學館，置博士、助教指導學生學習數學，規(guī)定《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算經》十部算經為課本，用以進行數學教育和考試，后世通稱為算經十書．算經十書是中國漢唐千余年間陸續(xù)出現的十部數學著作．北宋時期（1084年），曾將一部算經刊刻發(fā)行，這是世界上最早的印刷本數學書．（此時《綴術》已經失傳，實際刊刻的只有九種）。8、測圓海鏡《測圓海鏡》由中國金、元時期數學家李冶所著，成書于1248年。全書共有12卷，170問。這是中國古代論述容圓的一部專箸，也是天元術的代表作?！稖y圓海鏡》所討論的問題大都是已知勾股形而求其內切圓、旁切圓等的直徑一類的問題。在《測圓海鏡》問世之前，我國雖有文字代表未知數用以列方程和多項式的工作，但是沒有留下很有系統(tǒng)的記載。李冶在《測圓海鏡》中系統(tǒng)而概栝地總結了天元術，使文詞代數開始演變成符號代數。所謂天元術，就是設“天元一”為未知數，根據問題的已知條件，列出兩個相等的多項式，經相減后得出一個高次方式程，稱為天元開方式，這與現代設x為未知數列方程一樣。歐洲的數學家，到了16世紀以后才完全作到這一點。數論是以嚴格和簡潔著稱，內容既豐富又深刻。我將會介紹數論中最基本的概念和理論，希望大家能對這門學問產生興趣，并且對中小學時代學習過的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍數、輾轉相除法等，有較深入的了解。第一章整數的整除性

第一節(jié)整除的概念一、基本概念1、自然數、整數2、正整數、負整數3、奇數、偶數關于奇數和偶數性質：1.奇數+奇數=偶數；奇數+偶數=奇數；偶數+偶數=偶數；2.兩個數之和是奇（偶）數，則這兩個數的奇偶性相反（同）。3.若干個整數之和為奇數，則這些數中必有奇數，且奇數的個數為奇數個；若干個整數之和為偶數，則這些數中若有奇數，奇數的個數必為偶數個。關于奇數和偶數性質：4.奇數×奇數=奇數；奇數×偶數=偶數；偶數×偶數=偶數；5.若干個整數之積為奇數，則這些數必為奇數；若干個整數之積為偶數，則這些數中至少有一個是偶數。6.若a是整數，則|a|與a有相同的奇偶性。7.若a，b是整數，則a+b與a-b奇偶性相同。例1在1,2,3，L，1998,1999這1999個數的前面任意添加一個正號或負號，問它們的代數和是奇數還是偶數？例2設n為奇數，是1,2，L，n的任意一個排列，證明必是偶數。例3將正方形ABCD分割成個相等的小方格（n是正整數），把相對的頂點A,C染成紅色，B,D染成藍色，其他交點任意染成紅藍兩色中的一種顏色，證明：恰有三個頂點同顏色的小方格的數目必是偶數。例4設正整數d不等于2,5,13，證明集合中可以找到兩個數a，b，使得ab-1不是完全平方數。一個性質：整數+整數=整數整數-整數=整數整數*整數=整數二、整除1、定義：設a，b是整數，b≠0。如果存在一個整數q使得等式：a=bq成立，則稱b能整除a或a能被b整除，記b∣a；如果這樣的q不存在，則稱b不能整除a，記為ba。注：顯然每個非零整數a都有約數±1，±a，稱這四個數為a的平凡約數，a的另外的約數稱為非平凡約數。素數：定義設整數n≠0，±1.如果除了顯然因數±1，±n以外，n沒有其他因數，那么，n叫做素數（或質數或不可約數），否則，n叫做合數.規(guī)定：若沒有特殊說明，素數總是指正整數，通常寫成p或p1，p2，…，pn.例整數2，3，5，7都是素數，而整數4，6，8，10，21都是合數.2、整除的性質設a，b，c是整數（1）a∣a（2）如果a∣b，b∣c，則a∣c（3）如果a∣b，a∣c,則對任意整數m，n有a∣mb+cn.（4）如果a∣c，則對任何整數b，a∣bc.（5）若（a，b）=1，且a∣bc，則a∣c（6）若（a，b）=1，且a∣c，b∣c則ab∣c（7）若（a，b）=1，且ab∣c，則a∣c，b∣c（8）若在等式中，除某一項外，其余各項都能被c整除，則這一項也能被c整除。常用結論：（1）設p為素數，若p∣ba，則p∣a或p∣b.（2）p|a或(p，a)=1.p?Tp?a例6證明：121，n?Z。（3）素數判定法則：設n是一個正整數，如果對所有的素數p≤，都有pn，則n一定是素數.（4）任何大于1的整數a都至少有一個素約數。推論任何大于1的合數a必有一個不超過的素約數。10以內的素數是2,3,5,7，用它們除100以內大于10的數，刪去所有能被它們整除的數，剩下的(含2,3,5,7在內)就是100以內的所有素數．最后剩下2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89和97.這25個數就是100以內的全部素數．再用這25個素數除1002＝10000以內大于100的數，刪去所有能被它們整除的數，可以得到10000以內的所有素數．重復這個做法可以得到任意給定的正整數以內的所有