2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.2演繹推理練習(xí)新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1§2.1.2演繹推理[限時50分鐘，滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求證：a<b.證明：eq\x(\a\al(∵∠A＝30°，∠B＝60°，,∴∠A<∠B.))∴a<b.畫框格部分是演繹推理的A．大前提 B．小前提C．結(jié)論 D．三段論解析本題應(yīng)用了三段論．大前提是大角對大邊，小前提是∠A<∠B.故選B.答案B2．下面幾種推理是演繹推理的是A．全等三角形的對應(yīng)角相等，假如△ABC≌△A′B′C′，則A＝A′B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人數(shù)均超過50人C．由平面內(nèi)三角形的性質(zhì)，推想空間中四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此猜想出{an}的通項公式解析B項是歸納推理，C項是類比推理，D項是歸納推理．答案A3．用三段論證明命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2>0”，A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．是正確的解析這個三段論推理的大前提是“任何實數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實數(shù)”，結(jié)論是“a2>0”．明顯這是個錯誤的推理，究其緣由，是大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，但是結(jié)論是錯誤的．答案A4“因為對數(shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)(大前提)，又y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x是對數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x是增函數(shù)(結(jié)論)．”下列說法正確的是A．大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 B．小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤C．推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 D．大前提和小前提都錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤解析對于對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a＞1時為增函數(shù)，而當(dāng)0＜a＜1時為減函數(shù)，所以大前提錯誤．答案A5．某西方國家流傳這樣的一個政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”．結(jié)論明顯是錯誤的，這是因為A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤解析不符合“三段論”的形式，正確的“三段論”推理形式應(yīng)為：“鵝吃白菜，參議員先生是鵝，所以參議員先生也吃白菜”．答案C6．“1＜a＜2”是“對隨意的正數(shù)x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析當(dāng)“對隨意的正數(shù)x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”成立時，a≥x－2x2對x∈R＋恒成立，而x－2x2＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,8)≤eq\f(1,8)，∴a≥eq\f(1,8).∵(1，2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))，∴1＜a＜2是“對隨意的正數(shù)x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”的充分不必要條件．答案A二、填空題(每小題5分，共15分)7．已知推理：“因為△ABC的三邊長依次為3，4，5，所以△ABC是直角三角形”．若將其復(fù)原成完整的三段論，則大前提是________．解析大前提：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三邊長依次為3，4，5，滿意32＋42＝52；結(jié)論：△ABC是直角三角形．答案一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形8．如圖，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD＞∠BCD.證明：在△ABC中，因為CD⊥AB，AC＞BC，①所以AD＞BD，②于是∠ACD＞∠BCD.③則在上面證明過程中錯誤的是________．(只填序號)解析由AD＞BD，得到∠ACD＞∠BCD的推理的大前提應(yīng)是“在同一三角形中，大邊對大角”，小前提是“AD＞BD”，而AD與BD不在同一三角形中，故③錯誤．答案③9．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，且f(1)＝2，則eq\f(f（2）,f（1）)＋eq\f(f（4）,f（3）)＋…＋eq\f(f（2018）,f（2017）)＝________．解析利用三段論．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，(大前提)令b＝1，則eq\f(f（a＋1）,f（a）)＝f(1)＝2，(小前提)∴eq\f(f（2）,f（1）)＝eq\f(f（4）,f（3）)＝…＝eq\f(f（2018）,f（2017）)＝2，(結(jié)論)∴原式＝＝2018.答案2018三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)推斷下列幾個推理是否正確？為什么？(1)“因為過不共線的三點(diǎn)有且僅有一個平面(大前提)，而A，B，C為空間三點(diǎn)(小前提)，所以過A，B，C三點(diǎn)只能確定一個平面(結(jié)論)．”(2)“因為金屬銅、鐵、鋁能夠?qū)щ?大前提)，而金是金屬(小前提)，所以金能導(dǎo)電(結(jié)論)．”解析(1)不正確．小前提錯誤．因為若三點(diǎn)共線，則可確定多數(shù)平面，只有不共線的三點(diǎn)才能確定一個平面．(2)不正確．推理形式錯誤．因為演繹推理是從一般到特別的推理，銅、鐵、鋁僅是金屬的代表，是特別事例，從特別到特別的推理不是演繹推理．11．(12分)已知a，b，c都是正數(shù)，求證：eq\f(a3,bc)＋eq\f(b3,ca)＋eq\f(c3,ab)≥a＋b＋c.證明由于a，b，c都是正數(shù)，所以只需證a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2.因為a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，三式相加，得a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.①又因為a2b2＋b2c2≥2eq\r(a2b4c2)＝2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc，三式相加，得a2b2＋b2c2＋a2c2≥a2bc＋ab2c＋abc2.②由①②，得a4＋b4＋c4≥a2bc＋ab2c＋abc2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號．所以eq\f(a3,bc)＋eq\f(b3,ca)＋eq\f(c3,ab)≥a＋b＋c.12．(13分)如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2)，△ADB是等邊三角形．(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，求CD；(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．解析(1)取AB中點(diǎn)E，連接DE，CE.∵△ADB為等邊三角形，∴DE⊥AB.又∵平面ADB⊥平面ABC，且平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EC.由已知可得DE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，EC＝1.∴在Rt△DEC中，CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝2.(2)當(dāng)△AD