專(zhuān)題04 圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專(zhuān)題04圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的常考知識(shí)點(diǎn)，近年來(lái)，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對(duì)四點(diǎn)共圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問(wèn)題），通常能簡(jiǎn)化運(yùn)算或證明的步驟，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。本文主要介紹四點(diǎn)共圓的四種重要模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型（圓的定義） 2模型2.定邊對(duì)雙直角共圓模型 10模型3.定邊對(duì)定角共圓模型 25模型4.對(duì)角互補(bǔ)共圓模型 37 47【知識(shí)儲(chǔ)備】四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱(chēng)這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱(chēng)為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓模型是一種解題思想，但任何題目里都不會(huì)告訴你，親愛(ài)的同學(xué)，請(qǐng)用四點(diǎn)共圓思想來(lái)解題吧。那么，我們頭腦里，就要快速迭代平常積累的一些模型。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：（1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)\t"/item/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86/_blank"三角形的頂角相等；（2）\t"/item/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86/_blank"圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（3）圓內(nèi)接四邊形的\t"/item/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86/_blank"外角等于\t"/item/%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86/_blank"內(nèi)對(duì)角。模型1.定點(diǎn)定長(zhǎng)共圓模型（圓的定義）若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合。條件：如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。證明：∵OA=OB=OC=OD∴根據(jù)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合為圓，確定A、B、C、D四點(diǎn)共圓。例1．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，為等邊的外心，四邊形為正方形．現(xiàn)有以下結(jié)論:是的外心；是的外心；；設(shè)，則；若點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定位置時(shí)，的周長(zhǎng)都有最小值，，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤【答案】A【分析】本題命題思路是以等邊外心為背景，進(jìn)而得到，，，四點(diǎn)共圓，從而對(duì)角互補(bǔ)，利用旋轉(zhuǎn)，可以轉(zhuǎn)化四邊形為一個(gè)規(guī)則的等邊三角形，最后利用軸對(duì)稱(chēng)性可解決周長(zhǎng)最小值的問(wèn)題．【詳解】解：連接，；∵為的外心；∴；∵正方形；∴；∴；∴是的外心；故正確．

對(duì)于，連接，；∵；∴不是的外心；故錯(cuò)誤．對(duì)于，連接；∴；∴，，，三點(diǎn)共圓；∴；∵即；故正確．對(duì)于，∵，∴，，，四點(diǎn)共圓，如圖所示，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∵，∴，即∵，∴，∴，，三點(diǎn)共線(xiàn)；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴是等邊三角形；∵；過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為；∴；∵；在中，；∴；∴；∵；∴；故正確．

對(duì)于，如下圖所示；作EM和EN關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)段；∴，；∴；當(dāng)，，，四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，周長(zhǎng)最小；即連接，∴，連接；∴是等腰三角形；∵，；∴；∵；∴；∴三角形是以為頂角的等腰三角形；過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，∵；∴；在中；∴；∴；即；故錯(cuò)誤；綜上所述，①③④正確；故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)及其外心的性質(zhì)，圓周角定理，四點(diǎn)共圓及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，利用軸對(duì)稱(chēng)解決周長(zhǎng)最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，見(jiàn)外心連頂點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，判定外心只需確頂點(diǎn)是都到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，四邊形對(duì)角互補(bǔ)要旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化定型求面積，求周長(zhǎng)最小值利用軸對(duì)稱(chēng)變換是關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化兩點(diǎn)間距離最短即可，最后牢記特殊三角形的邊長(zhǎng)之比非常重要，例如等腰三角形三邊之比為．變式1、（2024?連云港九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)O為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC＝40°，則∠ADC的度數(shù)是．【分析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】由題意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圓O，如圖所示，∴四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案為：140°．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．變式2．（2023·湖北·三模）問(wèn)題背景：如圖1，等腰中，，作于點(diǎn)D，則D為的中點(diǎn)，，于是；遷移應(yīng)用：如圖2，和都是等腰三角形，，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，連接．①求證：；②請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線(xiàn)，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，．證明是等邊三角形；【答案】遷移應(yīng)用：①詳見(jiàn)解析；②結(jié)論：；拓展延伸：詳見(jiàn)解析；【分析】遷移應(yīng)用：①如圖2中，只要證明，即可根據(jù)解決問(wèn)題；②結(jié)論：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解決問(wèn)題；拓展延伸：如圖3中，作于，連接．由，，推出、、、四點(diǎn)共圓，推出，推出，推出是等邊三角形；【詳解】遷移應(yīng)用：①證明：如圖2∵，∴，在和中，，∴，②解：結(jié)論：．理由：如圖中，作于．∵，∴，在中，，∵，，∴，∴；拓展延伸：證明：如圖3中，連接，∵四邊形是菱形，，∴是等邊三角形，∴，∵E、C關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∴A、D、E、C四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴是等邊三角形；【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助圓解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．模型2.定邊對(duì)雙直角共圓模型定邊對(duì)雙直角模型：一定邊所對(duì)的角為兩個(gè)直角，分同側(cè)型和異側(cè)型兩種情況進(jìn)行討論。同側(cè)型異側(cè)型1）定邊對(duì)雙直角模型（同側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。2）定邊對(duì)雙直角模型（異側(cè)型）條件：若平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。注意：由于同側(cè)型與異側(cè)型證明相同，故下面證明一次即可。證明：取AD的中點(diǎn)為E，連結(jié)BE，CE?！撸珺E=CE=AD=AE=ED，∴根據(jù)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)點(diǎn)的集合為圓，確定A、B、C、D四點(diǎn)共圓。例1．（2023·四川成都·三模）如圖，已知四邊形是矩形，，點(diǎn)E是線(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以、為邊向線(xiàn)段的下方作正方形、正方形，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足是J，連接，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段的最大值是．【答案】【分析】本題由矩形的性質(zhì)和,得到四點(diǎn)共圓，推出為直徑時(shí)最大，分析動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)最大時(shí)，即時(shí)，最大，利用勾股定理求出直徑的最大值后即可求出答案．本題考查了圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，還有矩形及正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，解題關(guān)鍵是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用及對(duì)動(dòng)點(diǎn)的分析．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴,∴四點(diǎn)共圓，如圖所示，當(dāng)為直徑時(shí)最大，連接，當(dāng)最大時(shí)，即時(shí)，最大，，此時(shí)的最大值為，故答案為：．例2．（2023·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，然后證明出，進(jìn)而得到，然后利用直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】如圖所示，∵∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，

∵∴∵∴∴∵，∴∴∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了四點(diǎn)共圓，同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．變式1．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，垂足為，點(diǎn)在上．

(1)【動(dòng)手操作】如圖②，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，畫(huà)出射線(xiàn)，并將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中的度數(shù)為_(kāi)______度；(2)【問(wèn)題探究】根據(jù)（1）所畫(huà)圖形，探究線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點(diǎn)在射線(xiàn)上移動(dòng)，將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，探究線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；135(2)；理由見(jiàn)解析(3)或；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)圖即可；先求出，根據(jù)，求出；（2）根據(jù)，，證明、P、B、E四點(diǎn)共圓，得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出之間的數(shù)量關(guān)系即可．【詳解】（1）解：如圖所示：∵，∴，

∵，∴，∴；故答案為：135．（2）解：；理由如下：連接，如圖所示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∵，∴、P、B、E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí)，連接，延長(zhǎng)，作于點(diǎn)F，如圖所示：

根據(jù)解析（2）可知，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∵為等腰直角三角形，∴，即；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接，作于點(diǎn)F，如圖所示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∵，∴、B、P、E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，即；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理，四點(diǎn)共圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形和相關(guān)的輔助線(xiàn)，數(shù)形結(jié)合，并注意分類(lèi)討論．變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)O為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上且CE＝1.5，連接OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥OE交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接FE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，則＝．【答案】【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理分別求出OM、ON，根據(jù)勾股定理求出OE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FN，得到FC的長(zhǎng)，證明△GFC∽△GOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算得到答案．【詳解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3，∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，∴，即，解得，F(xiàn)N=9，∴FC=FN+NC=12，∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四點(diǎn)共圓，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．模型3.定邊對(duì)定角共圓模型定邊對(duì)定角模型：一定邊同側(cè)所對(duì)的角為兩個(gè)相等（為定值）。圖1圖2條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓。條件：如圖2，AC、BD交于H，，結(jié)論：四點(diǎn)共圓。證明：∵，∴，又∵，?！啵郃、B、C、D四點(diǎn)共圓。例1．（23-24九年級(jí)·福建南平·自主招生）如圖，在四邊形中，且，垂足為，延長(zhǎng)線(xiàn)交于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于．(1)求證：A，，，四點(diǎn)共圓；(2)求證：為定值．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出為中點(diǎn)，求出，證明，得出為等腰三角形，得出，求出，即可證明結(jié)論；（2）先證明，再根據(jù)，證明，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

，為等腰三角形，，又∵，∴為中點(diǎn)，∴垂直平分，，∴，，又，為等腰三角形，，∴，∴A，，，四點(diǎn)共圓；（若共底邊的兩個(gè)三角形的頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四點(diǎn)共圓）（2）證明：由（1）知：A，，，四點(diǎn)共圓，（同弧所對(duì)的圓周角相等）又，為等腰三角形，∴，又（公共角），，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判定，數(shù)形結(jié)合．例2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問(wèn)題：如圖1，在線(xiàn)段AC同側(cè)有兩點(diǎn)B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）∴點(diǎn)B，D在點(diǎn)A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上(1)上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：(3)如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AD．作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②若AB＝2，AD?AF的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；(2)45°；(3)①見(jiàn)解析②8【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過(guò)三點(diǎn)的圓解答即可；（2）根據(jù)四點(diǎn)共圓、圓周角定理解答；（3）①根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到，，，，進(jìn)而得到，證明結(jié)論；②連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；依據(jù)2：過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，故答案為：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；（2）解：∵，∴點(diǎn)四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴，∵，∴，故答案為：45°；（3）①證明：∵，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)，∴，，∴＝，，∴，∴，∴A，D，B，E四點(diǎn)共圓；②解：的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：如圖4，連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)，∴，∴，∴，∵A，D，B，E四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴A，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，正確理解四點(diǎn)共圓的條件是解題的關(guān)鍵．變式1．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線(xiàn)平分，，且．(1)證明：；(2)若，，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意推出，從而得到、、、四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得出結(jié)論即可；（2）首先根據(jù)已知信息求出，再結(jié)合四點(diǎn)共圓的結(jié)論，在中求解即可．【詳解】（1）證：∵，∴，∵，∴，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴；（2）解：∵，∴，∵，平分，∴，∴在中，，∵，∴，，∵、、、四點(diǎn)共圓，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓的證明、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及解直角三角形等，掌握?qǐng)A當(dāng)中的重要結(jié)論，準(zhǔn)確求解直角三角形是解題關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到△ADE，直線(xiàn)BD、CE相交于點(diǎn)O，連接AO．則下列結(jié)論中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面積的最大值為8，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明即可判斷；②由①的結(jié)論可得，，進(jìn)而得到，即可判斷；③證明為等腰三角形即可判斷；④由題意直線(xiàn)BD、CE相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積最大，通過(guò)勾股定理計(jì)算求出最大值，進(jìn)而進(jìn)行判斷【詳解】①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，即故①正確②設(shè)相交于點(diǎn),如圖：由①，可得，又故②正確③，可知四點(diǎn)共圓，則即故③正確④設(shè)到的距離為，，以為底邊，當(dāng)最大時(shí)候，△AOC面積的才最大，由③可知是等腰三角，,當(dāng)點(diǎn)到的距離最大時(shí)即當(dāng)時(shí)，最大即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，過(guò)作于點(diǎn)，如圖，由②可知由③可知,；由①可知在中，，；在中，,在中，故④不正確綜上所述：①②③正確，共計(jì)3個(gè)故選C【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形相似的性質(zhì)與判定，同弧所對(duì)的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，正確的作輔助線(xiàn)和熟練的幾何基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．模型4.對(duì)角互補(bǔ)共圓模型圖1圖2條件：如圖1，平面上A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．條件：如圖2，BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P，，結(jié)論：A、B、C、D四點(diǎn)共圓.證明：∵，∴，又∵，。∴，∵，∴∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓。例1．（23-24九年級(jí)上·云南昆明·期中）綜合與實(shí)踐：“善思”小組開(kāi)展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問(wèn)題：如圖1所示，在線(xiàn)段同側(cè)有兩點(diǎn)，，連接，，，，如果，那么，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

探究展示：如圖2所示，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的，在劣弧上取一點(diǎn)（不與，重合），連接，，則，（依據(jù)，，點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上，（依據(jù)點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；反思?xì)w納：（1）上述探究過(guò)程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：______；（從右邊框內(nèi)選一個(gè)選項(xiàng)，直接填序號(hào)）依據(jù)2：______．（從右邊框內(nèi)選一個(gè)選項(xiàng)，直接填序號(hào)）①圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；②對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓；③過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；④經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓的圓心在這兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；（2）如圖3所示，在四邊形中，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】（1）①，③（2）【分析】（1）根據(jù)探究展示過(guò)程和圓的性質(zhì)，確定圓的條件填空即可；（2）作過(guò)，，的，在劣弧上取點(diǎn)，連接，，由，可得，故，有，，，共圓，即在過(guò)，，的上，即知，，，，共圓，從而．【詳解】解：（1）由探究展示過(guò)程可知，的依據(jù)是：①圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上的依據(jù)是：③過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓；故答案為：①，③；（2）作過(guò)，，的，在劣弧上取點(diǎn)，連接，，如圖：

，，，，，，，共圓，即在過(guò)，，的上，在過(guò)，，的上，，，，，共圓，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓，解題的關(guān)鍵是讀懂閱讀材料，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)并能靈活運(yùn)用．變式1．（23-24九年級(jí)上·福建廈門(mén)·期中）如圖，，，點(diǎn)在內(nèi)部且，則的最大值是

【答案】【分析】此題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的性質(zhì)．連接、，在上取一點(diǎn)，使得，根據(jù)題意可得、、、四點(diǎn)共圓，再證明得到，故可得到當(dāng)最大時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，則＋最大，根據(jù)解直角三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)，故可求解．【詳解】如圖，連接、，在上取一點(diǎn)，使得，

，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，四邊形的周長(zhǎng)為，，當(dāng)最大時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，則最大，當(dāng)是的外接圓的直徑時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)在中點(diǎn)處，，最大值，最大為，故答案為：．變式2．（2023·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)．(1)畫(huà)出．(2)直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，證明：A，，，四點(diǎn)共圓．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作，且，過(guò)點(diǎn)A作，且，連接即可得到；（2）根據(jù)題意可得，證明，推算出，得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得到A，，，四點(diǎn)共圓．【詳解】（1）解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作，且，過(guò)點(diǎn)A作，且，連接即可得到；（2）證明：如下圖所示由題意可知逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到邊，，則，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．1．（2024·江蘇宿遷·九年級(jí)校考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過(guò)C作交PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得A、B、C、P四點(diǎn)共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關(guān)，當(dāng)PC最大時(shí)CQ即取最大值．【詳解】解：∵在中，，，，∴A、B、C、P四點(diǎn)共圓，AB為圓的直徑，AB=∵∴∴△ABC∽△PQC∴，，即∴當(dāng)PC取得最大值時(shí)，CQ即為最大值∴當(dāng)PC=AB=5時(shí)，CQ取得最大值為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等確定四點(diǎn)共圓，利用相似三角形性質(zhì)得到線(xiàn)段間等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2023春·江西撫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，在上，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓周角定理即可直接判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)C；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可判選項(xiàng)斷B和選項(xiàng)D．【詳解】解：如圖，連接．根據(jù)圓周角定理可知．∵，∴，故A正確，不符合題意；∵，∴，故B錯(cuò)誤，符合題意；根據(jù)圓周角定理可知，故C正確，不符合題意；∵，∴，故D正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半是解題關(guān)鍵．3．（2022·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與恰好完全重合，連接EF交DC于點(diǎn)P，連接AC交EF于點(diǎn)Q，連接BQ，若，則．【答案】【分析】通過(guò)∠DFQ=∠DAQ=45°證明A、F、Q、D四點(diǎn)共圓，得到∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，利用等角對(duì)等邊證明BQ=DQ=FQ=EQ，并求出，通過(guò)有兩個(gè)角分別相等的三角形相似證明，得到，將BQ代入DE、FQ中即可求出．【詳解】連接PQ，∵繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與完全重合，∴DF=DE，∠EDF=90°，，∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE，∵四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線(xiàn)，∴∠DAQ=∠BAQ=45°，∴∠DFQ=∠DAQ=45°，∴∠DFQ、∠DAQ是同一個(gè)圓內(nèi)弦DQ所對(duì)的圓周角，即點(diǎn)A、F、Q、D在同一個(gè)圓上（四點(diǎn)共圓），∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°，∴FQ=DQ=EQ，∵A、B、C、D是正方形頂點(diǎn)，∴AC、BD互相垂直平分，∵點(diǎn)Q在對(duì)角線(xiàn)AC上，∴BQ=DQ，∴BQ=DQ=FQ=EQ，∵∠AQF=∠ADF，∠ADF=∠CDE，∴∠AQF=∠CDE，∵∠FAQ=∠PED=45°，∴，∴，∴，∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了相似三角形、全等三角形、圓、正方形等知識(shí)，通過(guò)靈活運(yùn)用四點(diǎn)共圓得到等弦對(duì)等角來(lái)證明相關(guān)角相等是解題的巧妙方法．4．（2024·山東?？肌ざ＃┤鐖D放置的兩個(gè)正方形，大正方形邊長(zhǎng)為，小正方形邊長(zhǎng)為()，在邊上，且，連接，，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，給出以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤四點(diǎn)共圓，其中正確的序號(hào)為．【答案】①③④⑤【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAM+∠DAM=90°，∠NAD+∠AND=90°，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠NAD=∠BAM，從而判斷①；證出∽，列出比例式即可判斷②；利用SAS即可證出③；先證出四邊形AMFN是正方形，然后根據(jù)勾股定理即可判斷④；證出∠AMP+∠ADP=180°，即可判斷⑤．【詳解】①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴∠BAM+∠DAM=90°，∠NAD+∠AND=90°，∵將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至，∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，∴∠DAM=∠AND，故①正確；②∵四邊形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴∽，∴，∵大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b（a＞b），BM=b，∴EF=b，CM=a﹣b，ME=（a﹣b）+b=a，∴，∴CP=；故②錯(cuò)誤；③∵將繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至，∴GN=ME，∵AB=a，ME=a，∴AB=ME=NG，在與中，∵AB=NG=a，∠B=∠NGF=90°，GF=BM=b，∴≌；故③正確；④∵將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至，∴AM=AN，∵將繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至，∴NF=MF，∵≌，∴AM=NF，∴四邊形AMFN是菱形，∵∠BAM=∠NAD，∴∠BAM+∠DAM=∠NAD+∠DAN=90°，∴∠NAM=90°，∴四邊形AMFN是正方形，∵在Rt中，a2+b2=AM2，∴S四邊形AMFN=AM2=a2+b2；故④正確；⑤∵四邊形AMFN是正方形，∴∠AMP=90°，∵∠ADP=90°，∴∠AMP+∠ADP=180°，∴A，M，P，D四點(diǎn)共圓，故⑤正確．綜上：正確的結(jié)論有①③④⑤．故答案為：①③④⑤．【點(diǎn)睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)及判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的判定，掌握正方形的性質(zhì)及判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的判定定理是解決此題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，中，，直線(xiàn)與交于，當(dāng)繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，到直線(xiàn)距離的最大值是．【答案】/【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)角度以及勾股定理求解最大值．【詳解】解：如圖旋轉(zhuǎn)，連接以為直徑作，以為半徑作過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交于點(diǎn)在和中∴點(diǎn)共圓，點(diǎn)共圓，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，的半徑為∴又∵，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，到直線(xiàn)距離的最大，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，∴四邊形是矩形，

是圓心，設(shè)解得：（舍去）∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題。熟練運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)以及勾股定理解直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．6．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，，若，，則的最大值為．【答案】/【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，可知、、、四點(diǎn)共圓，令其圓心為，連接、、過(guò)作，交于，交圓于，過(guò)、分別作圓的切線(xiàn)，交于，連接交于，連接、，利用的直角三角形求得，由，與圓相切，可得（SSS），利用其性質(zhì)證得，計(jì)算出，，由，知，可得四邊形為平行四邊形，則，由三角形三邊關(guān)系可知：（當(dāng)、、在同一直線(xiàn)上時(shí)去等號(hào)），即可求得的最大值．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得是為等邊三角形，則，∵，，∴、、、四點(diǎn)共圓，令其圓心為，連接、、∴，則，過(guò)作，交于，交圓于，過(guò)、分別作圓得切線(xiàn)，交于，連接交于，連接、，∵，，∴，，∴，，∵，與圓相切，∴，∴（SSS）∴，∴，，，又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，由三角形三邊關(guān)系可知：（當(dāng)、、在同一直線(xiàn)上時(shí)去等號(hào)）∴的最大值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了四點(diǎn)共圓，垂徑定理，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，解直角三角形，平行四邊形的判定及三角形的三邊關(guān)系，構(gòu)造輔助線(xiàn)，利用圓的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線(xiàn)段長(zhǎng)度及角度，構(gòu)造三角形三邊關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．7．（2024·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則4PD+2PC的最小值為．【答案】【分析】取一點(diǎn)，連接OP，PT，TD，首先利用四點(diǎn)共圓證明，再利用相似三角形的性質(zhì)證明，推出，根據(jù)，過(guò)點(diǎn)D作交OC于點(diǎn)E，即可求出DT的最小值，即可得．【詳解】解：如圖所示，取一點(diǎn)，連接OP，PT，TD，∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，以O(shè)為圓心，OA為半徑作，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)Q，連接QB，QA，∵，，∴，∴A，P，B，Q四點(diǎn)共圓，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)D作交OC于點(diǎn)E，∵D的坐標(biāo)為（5，3），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0），TE=4，∴∵，∴，∴的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓，相似三角形，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．8．（2023·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，E為直線(xiàn)AB上方的一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足CE＝CB，連接AE，以A為直角頂點(diǎn)，AE為腰，在直線(xiàn)AB上方作等腰直角三角形ADE，連接CD，當(dāng)CD最大時(shí)，下列結(jié)論：①D、A、C、E四點(diǎn)共圓；②3∠AEC＝∠DEA；③DC平分∠ADE；④2AD2＝DC2＋AC2，其中正確的是．【答案】①③④【分析】將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AH，連接CH，DC，證明△DAH≌△EAC，得到當(dāng)D，C，H共線(xiàn)時(shí)，DC最大，再根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)即可依次判斷．【詳解】如圖1，將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AH，連接CH，DC∵∠DAE=∠HAC=90°∴∠DAH=∠EAC∵DA=EA，HA=CA∴△DAH≌△EAC（SAS）∴DH=CE=定值，∵CD≤DH+CH，CH是定值，∴如圖2中，當(dāng)D，C，H共線(xiàn)時(shí)，DC最大∵AC=AH，∠HAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°∴△ACH、△DAE是等腰直角三角形∴∠AHC=∠ADE=45°∴∠AHD=∠ACE=135°∴∠ADE+∠ACE=180°∴①D、A、C、E四點(diǎn)共圓，正確；∵點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴CB=AC=CE，∵∠ACE=135°∴∠AEC==22.5°∵∠DEA=45°，∴2∠AEC＝∠DEA，②錯(cuò)誤；∵∠AEC=∠ADH=22.5°∴∠HDE=45°-∠ADH=22.5°=∠ADH∴DC平分∠ADE，③正確；∵△DAE是等腰直角三角形∴DE=∴2AD2＝DE2∵∠ACE=135°，∠ACH=45°∴∠DCE=135°-45°=90°∴△CDE是直角三角形∴DE2=DC2+CE2∵2AD2＝DE2，AC=CE∴2AD2＝DC2＋AC2，④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AH，找到CD最短的情況，再進(jìn)行求解．9．（2023·廣東梅州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=4，AB=BC=BD=6，則∠ACD的正弦值是．【答案】【分析】根據(jù)AB=BC=BD=6，可得點(diǎn)A、D、C在以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上，如圖，延長(zhǎng)AB交圓B于點(diǎn)E，根據(jù)AB∥CD，可得∠CDB=∠ABD，∠DCB=∠CBE，再由BD=BC，可得AD=CE=4，然后根據(jù)AE是圓B的直徑，可得∠ACE=90°，最后在Rt△ACE中，即可求解．【詳解】解：∵AB=BC=BD=6，∴點(diǎn)A、D、C在以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上，如圖，延長(zhǎng)AB交圓B于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∠DCB=∠CBE，∵BD=BC，∴∠CDB=∠BCD，∴∠ABD=∠CBE，∴AD=CE=4，∵AE是圓B的直徑，∴∠ACE=90°，在Rt△ACE中，AE=2AB=12，∴，∵∠ACD=∠CAE，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解直接三角形，平行線(xiàn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，根據(jù)得到點(diǎn)A、D、C在以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓上是解題的關(guān)鍵．10．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期末）問(wèn)題提出（1）如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小穎同學(xué)認(rèn)為：連接，取的中點(diǎn)，連接、來(lái)證明，請(qǐng)你按照小穎的思路完成證明；問(wèn)題解決（2）如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）連接，取的中點(diǎn)，連接、．證明，可得結(jié)論；（2）利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求得，由，證明四點(diǎn)共圓，求得，推出是等腰直角三角形，據(jù)此計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖①中，連接，取的中點(diǎn)，連接、．，，，，，，，，四點(diǎn)共圓；（2）解：∵在正方形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，，∴，∵，∴，由（1）知，四點(diǎn)共圓，∴，∴是等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．11．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E．設(shè)AB＝1．（1）求證：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；（2）分別求△ABC和△ABD的面積；（3）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求OE︰OF的比值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△ABC的面積為，△ABD的面積為；（3）【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案．(2)根據(jù)已知條件可計(jì)算出AC、BC、AD、BD的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到,，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，解直角三角形得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖，連接OD、OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；（2）解：△ABC的面積為；△ABD的面積為（3）解：是等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)∵DF∥BC∵∴△DEF∽△CEB，∴又得．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)(兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例)，三角形的面積的計(jì)算(三角形面積=底底邊上的高)，解直角三角形，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．12．（23-24九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）在學(xué)習(xí)《圓》這章時(shí)，我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的推論：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；事實(shí)上，它的逆命題：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，也是一個(gè)真命題．在圖形旋轉(zhuǎn)的綜合問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，那么，我們就可以借助“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓”，然后借助圓的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，例如：已知：如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接，將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接，并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)點(diǎn)在如圖所示的位置時(shí)，①找出圖中與全等的三角形，并說(shuō)明理由；②求的度數(shù)；③利用題干中的結(jié)論，證明：四點(diǎn)共圓；(2)連接，點(diǎn)在內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】(1)①，理由見(jiàn)解析；②；③見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①由證明；②由可得，通過(guò)導(dǎo)角可得，即可求出的度數(shù)；③由對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，可證四點(diǎn)共圓；（2）由勾股定理可求的長(zhǎng)，由圓周角定理可得，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求的長(zhǎng)，的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：①，理由如下：是等腰直角三角形，，，將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，，，，，在和中，，；②，，，，；③證明：，，，四點(diǎn)共圓；（2）解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，是等腰直角三角形，，，，【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共圓，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．13．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）【問(wèn)題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連接，取的中點(diǎn)O，連接，請(qǐng)你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過(guò)程；【問(wèn)題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形對(duì)角線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____；（2）如圖③，過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，連接，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】問(wèn)題情境：證明見(jiàn)解析；問(wèn)題解決：（1）；（2）．【分析】【問(wèn)題情境】：連接，取的中點(diǎn)O，連接，由直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)可得出，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓；【問(wèn)題解決】：（1）由正方形的性質(zhì)可求出，結(jié)合勾股定理可得，由【問(wèn)題情境】結(jié)論可知，A、D、E、P四點(diǎn)共圓，結(jié)合圓周角定理可推出，從而得出為等腰直角三角形．再根據(jù)其性質(zhì)和勾股定理即可求解；（2）由【問(wèn)題情境】結(jié)論可知，A、D、E、P四點(diǎn)共圓，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)，連接，由題意可得出四邊形為矩形，即得出，說(shuō)明要求的最小值，即求的最小值即可．由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例易證點(diǎn)G為的中點(diǎn)，即為的中位線(xiàn)，得出．進(jìn)而可求出，結(jié)合勾股定理可求出，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，即的最小值為．【詳解】【問(wèn)題情境】：證明：如圖，連接，取的中點(diǎn)O，連接，∵，O為的中點(diǎn)，∴，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓；【問(wèn)題解決】：解：（1）∵四邊形為正方形，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，，∴，∴，由【問(wèn)題情境】結(jié)論可知，A、D、E、P四點(diǎn)共圓，如圖，∴．∵為正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴．∵，∴為等腰直角三角形．設(shè)，則，∵，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴線(xiàn)段．故答案為：；（2）由【問(wèn)題情境】結(jié)論可知，A、D、E、P四點(diǎn)共圓，如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)，連接，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴要求的最小值，即求的最小值，由（1）知，，∴．∵，且點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴為的中位線(xiàn)，∴．∵，∴四邊形為矩形，∴，∴．在中，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得，，∴，∴的最小值為，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查四點(diǎn)共圓、正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，屬于圓的綜合題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．14．（2024·廣東東莞·三模）綜合探究小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上（即四點(diǎn)共圓）時(shí)，就可以通過(guò)添加輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)單，于是開(kāi)始和同學(xué)一起探究四點(diǎn)共圓的條件．小明同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．因此，他想探究它的逆命題是否成立，以下是小明同學(xué)的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整．(1)【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的逆命題為：________________________________________，如果該逆命題成立，則可以作為判定四點(diǎn)共圓的一個(gè)依據(jù)．(2)【驗(yàn)證】如圖1，在四邊形中，，請(qǐng)?jiān)趫D1中作出過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的，并直接判斷點(diǎn)D與的位置關(guān)系．（要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫(xiě)作法）(3)【證明】已知：如圖1，在四邊形ABCD中，，求證：點(diǎn)四點(diǎn)共圓．證明：過(guò)三點(diǎn)作，假設(shè)點(diǎn)D不在上，則它有可能在圓內(nèi)（如圖2），也有可能在圓外（如圖3）．假設(shè)點(diǎn)D在內(nèi)時(shí)，如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連結(jié)AE，是的外角，，四邊形ABCE是的內(nèi)接四邊形，，又，．這與相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)D不可能在內(nèi)．請(qǐng)仿照以上證明，用反證法證明“假設(shè)點(diǎn)D在外”（如圖3）的情形【答案】(1)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形能內(nèi)接于圓．（或：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形）(2)圖見(jiàn)解析，點(diǎn)D在上(3)詳見(jiàn)解析【分析】本題考查了反證法，命題與定理及線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及有關(guān)圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)逆命題與原命題是條件、結(jié)論互換解答．（2）根據(jù)作過(guò)不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)的圓作法作圖，先確定圓心再確定半徑；（3）根據(jù)反證法的步驟進(jìn)行證明．【詳解】（1）解：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形能內(nèi)接于圓．（或：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形）．（2）解：如圖1，為所求．點(diǎn)D在上．（3）證明：假設(shè)點(diǎn)D在外時(shí)，如圖3，CD交于點(diǎn)E，連結(jié)，是的外角，．四邊形是的內(nèi)接四邊形，又，．這與相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)D不可能在外．15．（2024·遼寧葫蘆島·一模）射線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD交于點(diǎn)E，∠AED＝60°，點(diǎn)F在直線(xiàn)CD上運(yùn)動(dòng)，連接AF，線(xiàn)段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，連接FG，EG，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)H．(1)如圖1，點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線(xiàn)AB的同側(cè)時(shí)，EG與GH的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，點(diǎn)F和點(diǎn)G在射線(xiàn)AB的兩側(cè)時(shí)，線(xiàn)段EF，AE，GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線(xiàn)AB的同側(cè)，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出HG的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析；(3)或【分析】（1）先證明是等邊三角形得，再證明點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，得，從而計(jì)算得到，最后在直角三角形GEH中，求出即可得到答案；（2）在射線(xiàn)ED上截取，連接AN，如圖3，先證是等邊三角形，得，，再證，從而得到，進(jìn)而得，從而求得結(jié)論；（3）分兩種情況討論求解GH的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線(xiàn)AB的右側(cè)時(shí)，在射線(xiàn)ED上取一點(diǎn)M，使得EM=EG，連接MG，如圖4；當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線(xiàn)AB的左側(cè)時(shí)，在線(xiàn)段GE上取一點(diǎn)N，使得NE=EF，如圖5，通過(guò)構(gòu)造三角形全等，利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：線(xiàn)段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，，，是等邊三角形，，，∠AED＝60°，，點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，，，，，，故答案為：；（2）解：在射線(xiàn)ED上截取，連接AN，如圖3，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴∴，∴，，∵∴，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線(xiàn)AB的右側(cè)時(shí)，在射線(xiàn)ED上取一點(diǎn)M，使得EM=EG，連接MG，如圖4，線(xiàn)段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，，，是等邊三角形，，，∠AED＝60°，，點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，，，EM=EG，是等邊三角形，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線(xiàn)AB的左側(cè)時(shí)，在線(xiàn)段GE上取一點(diǎn)N，使得NE=EF，如圖5，，點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，，，，NE=EF，是等邊三角形，NE=EF=NF=1，，，，，，，，，，綜上所述，GH的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.16．（23-24九年級(jí)上·上海寶山·期末）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到AP的位置，分別過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)、．(1)求證：；(2)聯(lián)結(jié)，如果，求的正切值；(3)聯(lián)結(jié)，如果，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)30【分析】（1）作CG⊥CE，交FD延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn)，可根據(jù)題意得出四邊形FECG為矩形，再結(jié)合矩形和正方形的性質(zhì)推出△BCE≌△DCG，從而得到CE=CG，即四邊形FECG為正方形，即可證得結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)之上，聯(lián)結(jié)CF，首先通過(guò)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角定理推出△CEF和△DFP均為等腰直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)推出PF和EF之間的關(guān)系，從而表示出BE的長(zhǎng)度，即可求出∠BCE的正切值，再根據(jù)余角的關(guān)系證明∠ABP=∠BCE，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及前面兩個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程推斷出A、C、D、F四點(diǎn)共圓，即可得到在變化過(guò)程中，∠AFC始終為90°，從而在Rt△ACF中運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求解角度即可得出結(jié)論．【詳解】（1）：如圖所示，作CG⊥CE，交FD延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn)，∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，∴四邊形FECG為矩形，∠G=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，BC=DC，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG，即：∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG(AAS)，∴CE=CG，∴四邊形FECG為正方形，∴CE=EF；（2）解：如圖所示，聯(lián)結(jié)CF，由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，則△CEF為等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠PAD=n°，AP=AD，∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，∵AP=AB，∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，∵DF⊥AB，∴∠DFP=90°，∴△DFP也為等腰直角三角形，PF=DF，∴△DFP∽△CEF，∵，∴，設(shè)PF=DF=x，則FE=CE=3x，由（1）知四邊形C