專題04 三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.高分線模型 2模型2.雙垂直模型 6模型3.子母型雙垂直模型（射影模型） 8 11模型1.高分線模型三角形的高：-從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它所對(duì)的邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.高分線模型：過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的高與角平分線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對(duì)值的一半。1）條件：如圖1，在中，，分別是的高和角平分線，結(jié)論：．2）條件：如圖2，F(xiàn)為的角平分線AE的延長線上的一點(diǎn)，于D，結(jié)論：．

圖1圖21）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；2）證明：如圖，過作于，由（2）可知：，，，，，，，，．例1．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·階段練習(xí)）如圖，AD，分別是的角平分線和高線，且，，則．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識(shí)圖找出各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：，，，是的角平分線，，是的高線，，．故答案為：．例2．（23-24八年級(jí)上·重慶·期中）已知：如圖①所示，在中，為的高，為平分線交于點(diǎn)E，．(1)求的度數(shù)；(2)與之間有何數(shù)量關(guān)系？(3)若將題中的條件“”改為“”（如圖②），其他條件不變，則與之間又有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】本題主要考查三角形中角與角之間的關(guān)系，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用．（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求得，最后根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解，（2）根據(jù)（1）即可得出與、之間的關(guān)系，（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)依次推理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴又∵為的平分線，∴∵為的高，∴，，∴；（2）解：由圖知；（3）解：理由如下：由三角形內(nèi)角和知，∵為的平分線，∴∵為的高，∴又∵，∴∴．例3．（23-24八年級(jí)上·廣東·?？计谥校┮阎涸谥校?，平分交于點(diǎn)．

(1)如圖①，于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(2)如圖①，于點(diǎn)，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；(3)如圖②，在中，于點(diǎn)，是上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，請(qǐng)你運(yùn)用（2）中的結(jié)論求出的度數(shù)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)在的延長線上（如圖③），其他條件不變，則的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？說明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)的度數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，理由見解析【分析】（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再結(jié)合角平分線的定義可知，然后由“直角三角形兩銳角互余”可得，進(jìn)而可得，即可獲得答案；（2）結(jié)合（1）可得結(jié)論；（3）結(jié)合，易得，再證明，由“兩直線平行，同位角相等”可得，即可獲得答案；（4）證明，由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得，即可獲得答案．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，；（2）由（1）可知，，∴當(dāng)時(shí)，∴；（3）∵，而，∴，∵，，∴，∴；（4）的度數(shù)大小不發(fā)生改變．理由如下：∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形兩銳角互余、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、垂直的定義等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．模型2.雙垂直模型雙垂直模型的定義是一個(gè)三角形中有兩條高，則圖中會(huì)產(chǎn)生多個(gè)直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之間的關(guān)系。條件：如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高，結(jié)論：①∠ABD=∠ACE；②∠A=∠BOE=∠COD；③。證明：∵BD，CE是兩條高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。∵BD，CE是△ABC的兩條高，∴，∴。例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個(gè)銳角互余可求得的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．例2．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，，是它的兩條高，直線交于點(diǎn)F，．【答案】或【分析】分兩種情況：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，用三角形內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖，

∵，是它的兩條高，∴；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖，∵，是它的高，∴，∵是的高，∴，綜上所述：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的定義、四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和為360度及分類討論是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·安徽宿州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可．【詳解】∵，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題．根據(jù)三角形的面積公式得出是解題關(guān)鍵．模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）子母型雙垂直模型的定義是一個(gè)直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關(guān)系。條件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高線，結(jié)論：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

證明：∵∠ACB=90°，CD是高線，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∵∠ACB=90°，CD是高線，∴，∴。例1．（2023·廣東廣州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于D，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)，即可求證．【詳解】證：∵，∴又∵，∴又∵，∴∴【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì)．例2．（2024八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，為邊上的高．(1)求斜邊的長；(2)求的長．【答案】(1)10(2)4.8【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理可求解；（2）由面積法可求解．【詳解】（1）在中，，∴；（2）∵，∴，∴．例3．（23-24八年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖①，在中，，是邊上的高．（1）求證：；（2）如圖②，的角平分線交于點(diǎn)．求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線分別與，相交于點(diǎn)、點(diǎn)，如圖③，若，，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD=9.6．【分析】（1）據(jù)三角形高的定義及直角三角形兩銳角互余的關(guān)系即可得結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義及直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得∠AFE=∠CED，根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)即可得結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AH⊥EF，根據(jù)勾股定理可求出HG的長，進(jìn)而可得AG的長，利用面積法即可得答案．【詳解】（1）∵，∴，是邊上的高，∴，∴．∴，∴．（2）∵CF是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（3）由（2）可知：∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∵AG平分∠BAD，AG分別與，相交于點(diǎn)、點(diǎn)，∴AH⊥EF，∵CH=8，CG=10，∴GH==6，∵AH=6，∴AG=AH+GH=12，∴S△AGC=AG·CH=CG·AD，即12×8=10AD，解得：AD=9.6．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，直角三角形兩銳角互余；等腰三角形底邊的中線、底邊上的高及頂角的角平分線“三線合一”；直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．1．（2023·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再利用三角形面積求出BD即可．【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理，∵，∴S△ABC=，即，解得：．故選擇D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，那么，然后利用分別表示，，，最后利用三角形內(nèi)角和定理建立方程解決問題．【詳解】解：∵中，，∴設(shè)，那么，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時(shí)也利用了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角形內(nèi)角和定理．3．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，在中，，，，垂足分別為點(diǎn)D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，．下列結(jié)論：①；②；③；④．你認(rèn)為正確的有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角．①根據(jù)，若，則，而，很明顯不成立；②③可以通過證明得到；④延長交于點(diǎn)L，則，所以．【詳解】解：假設(shè)成立，∵，∴，∵，矛盾，∴不成立，故①錯(cuò)誤．∵，，∴，在和中，∴∴故②正確．∵，∴故③正確．延長交于點(diǎn)L，

∵，，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選：B．4．（23-24八年級(jí)下·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，在中，和的平分線，相交于點(diǎn)O，交于E，交于F，過點(diǎn)O作于D，下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得，得到，是解決問題的關(guān)鍵．由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解與的關(guān)系，進(jìn)而判斷①；在上取一點(diǎn)N，使，證得，得到，再證得，得到，進(jìn)而判斷②正確；作于H，于M，根據(jù)三角形的面積可證得③錯(cuò)誤．【詳解】解：∵和的平分線相交于點(diǎn)O，∴，，∴，故①正確．∵，∴，∵，分別是和的平分線，∴，∴，∴，∴，如圖，在上取一點(diǎn)N，使，∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴，，∴∵∴∴∴，故②正確．作于H，于M，∵和的平分線，相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在的平分線上，∴，∵，∴．故③錯(cuò)誤．故選：A．5．（2023下·重慶涪陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鈍角中，為鈍角，為邊上的高，為的平分線，則與、之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個(gè)規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)依次推理即可得出結(jié)論．【詳解】解：由三角形內(nèi)角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，∵AE為∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）．∵AD為BC邊上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)及三角形的高的定義，解答的關(guān)鍵是找到已知角和所求角之間的聯(lián)系．6．（2023下·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線與相交于，以下結(jié)論正確的有（

）

①；②；③；④；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】解：由高的定義，得，①正確；由中線得，兩三角形等底同高，于是,②正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余及外角知識(shí)，得，結(jié)合角平分線定義可判斷③正確；如圖，過點(diǎn)E作，垂足為H，I，根據(jù)角平分線性質(zhì)，得，可證得．④正確．【詳解】解：∵是高，∴．∴，①正確；∵是中線，∴．令中邊上的高為h，∴,②正確；∵∴.∵是角平分線，∴．∴，③正確；如圖，過點(diǎn)E作，垂足為H，I，∵是角平分線，∴．

．④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形角平分線，中線，高的定義，直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·重慶江北·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，分別是高和角平分線，點(diǎn)在的延長線上，交于，交于，下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)同角的余角相等即可判定A；根據(jù)角平分線的定義可得，由三角形外角的性質(zhì)可得，然后運(yùn)用角的和差即可判定B；先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得,再結(jié)合可判定C；先說明，然后根據(jù)等量代換即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故A正確；

∵、分別是高和角平分線，∴，∵，∴，∴，∴；故B正確；∵，∴，∵，∴，由A得：，∴，故C錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∵，∴，故D正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、垂直的定義、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，在腰上取一點(diǎn)D，，垂足為E，另一腰上的高交于點(diǎn)G，垂足為F，若，則的長為．【答案】6【分析】過點(diǎn)G作交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，根據(jù)等腰三角形各角之間的關(guān)系得出，再由垂直及等量代換得出，利用等角對(duì)等邊確定，，再由全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)G作交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，如圖所示：∵，，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，，在與中，，∴∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟練運(yùn)用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2024·重慶·三模）如圖，中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，已知，，則的面積為．【答案】【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)證明，得到，再根據(jù)的面積解答即可求解，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∴，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴的面積，故答案為：．10．（23-24八年級(jí)上·安徽六安·期中）如圖，在中，，兩條高交于點(diǎn)O，連接，則．【答案】/42度【分析】本題考查了三角形的三條高交于一點(diǎn)，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握三角形的三條高交于一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．如圖，延長交于，則為邊上的高，即，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于，∵兩條高交于點(diǎn)O，∴為邊上的高，即，∴，故答案為：．11．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則．

【答案】50或25/25或50【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當(dāng)為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴∵平分∴當(dāng)為直角三角形時(shí)，有以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1，∵，∴；

②當(dāng)時(shí)，如圖2，∴，∵，∴，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：50或25．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此題的關(guān)鍵．12．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．

(1)如果，求的度數(shù)；(2)試說明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)；（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得，，根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，即可得證．【詳解】（1）解：，，，平分交于，，；（2）證明：，，，，，平分交于，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（23-24七年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，在中，平分，為線段上的一個(gè)點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)若，，求的度數(shù)．(2)猜想與、的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于是解答此題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)，進(jìn)一步求得的度數(shù)；（2）根據(jù)第（1）小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系．【詳解】（1）解：，，，平分，，，；（2）如圖，設(shè)，，平分，，，，，，，，，，．14．（23-24八年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，求證：∠ACD=∠B；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判斷△ADE的形狀？并說明理由？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，點(diǎn)C，B，E在同一直線上，若AB⊥BD，AB=BD，則CE與AC，DE有什么等量關(guān)系，并證明．【答案】（1）證明見解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ACD+∠A=∠B+∠DCB=90°，再解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ADE+∠A=∠A+∠B=90°，再解答即可；（3）由AB⊥BD可得∠DBE+∠ABC=90°，進(jìn)而可證明∠A=∠DBE，利用AAS可證明△ABC≌△BDE，即可證明BC=DE，AC=BE，從而可證明CE=AC+DE.【詳解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠ACD=∠B.（2）△ADE是直角三角形，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ADE=∠B，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，即△ADE得直角三角形.（3）CE=AC+DE，證明如下：∵點(diǎn)C、B、E在同一直線上，AB⊥BD，∴∠DBE+∠ABC=90°，∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE∵∠C=∠E=90°，AB=BD，∠A=∠DBE，∴△ABC≌△BDE，∴BC=DE，AC=BE，∴CE=CB+BE=DE+AC.【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出兩銳角互余是解題關(guān)鍵.15．（23-24七年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）已知在中，于點(diǎn)D．(1)如圖1，若的平分線交于點(diǎn)E，，，則的度數(shù)為______．(2)如圖2，點(diǎn)M、N分別在線段、上，將折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕分別為和，點(diǎn)G、F均在直線上，若，試說明．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查三角形綜合題，涉及翻折變換，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義，三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可解決問題，（2）由折疊可知和，由得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出，從而得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，，∵平分，∴，∴．（2）解：由折疊可知，．∵，∴，∵，∴，即，∴，∴．16．（22-23八年級(jí)上·廣西桂林·期中）如圖，中，，，平分，于D，，交于F，求：(1)的度數(shù)；(2)當(dāng)平分時(shí)，，若，，，請(qǐng)用含m，n，a的代數(shù)式表示的長．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用．（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，則可以求解，然后在中，利用內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù)；（2）設(shè)，則，代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：，，，平分，，，，，，，，；（2）解：設(shè)，則，∵，且，，，∴，∴，∴，即．17．（2024·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┰谥校?，D，E分別是邊和延長線上的點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①判斷是否平分，并說明理由；②F為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)F作，垂足為G．若，，直接用含，的式子表示出的度數(shù)．

【答案】(1)(2)①平分，理由見解析；②或【分析】（1）如圖1，由，，得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解；（2）如圖2，①根據(jù)，，，可得，從而證明結(jié)論成立；②解：如圖2，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在AD上時(shí)，由角平分線定義及三角形的內(nèi)角和定理可得，從而利用三角形外角性質(zhì)得，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及補(bǔ)角即可求解；當(dāng)點(diǎn)在AD的延長線上時(shí)，先證明，再利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵，，∴．∵是的外角，∴，∴．（2）（2）①平分，理由如下：∵，，，，∴，∴AD平分；②解：如圖2，

分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在AD上時(shí)．∵AD平分，∴．∴，∵，∴，∴．當(dāng)點(diǎn)在AD的延長線上時(shí)．∵，，∴，∴．綜上所述，的大小為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余以及平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理及其外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點(diǎn)．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請(qǐng)你用其中的兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號(hào)）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)①②；③；見解答(2)【分析】（1）條件：①②，結(jié)論：③，由角平分線的性質(zhì)可得，由和，得出，利用三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論和三角形外角性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）條件：①②，結(jié)論：③，證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的高．條件：①③，結(jié)論：②，證明：∵是的高，∴，∴，∵，，，∴，∴是的角平分線；條件：②③，結(jié)論：①，證明：∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，∴，∵，，∴；故答案為：①②；③；證明：見解答；（2）∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，掌握角分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（2023·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校┮?guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．(1)如圖1，在中，，，請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”；(2)如圖2，在中，為的平分線，，．求證：為的“等角分割線”；(3)在中，若，是的“等角分割線”，請(qǐng)求出所有可能的的度數(shù)．【答案】(1)與；與；與（任意寫出兩對(duì)“等角三角形”即可）(2)見解析(3)的度數(shù)為或或或【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)“等角三角形”的定義即可得；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，從而可得，根據(jù)等腰三角形的判定可得是等腰三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，從而可得與是“等角三角形”，然后根據(jù)等角分割線的