專題03 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.“8”字模型 2模型2.“A”字模型 7模型3.三角板拼接模型 10 14模型1.“8”字模型“8”字模型通常是由兩條相交直線和它們所夾的兩條線段（或延長線）組成的，形狀類似于數(shù)字“8”。?圖1圖21）8字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D；在?ABO中，AB＜AO+BO；在?COD中，CD＜CO+DO；∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。2）8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②①+②得2∠P=∠B+∠D，則，即2∠P=∠B+∠D例1．（2023·重慶·八年級期中）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，求的度數(shù)．

【答案】【分析】連結(jié)，令與交于點，由三角形內(nèi)角和得，從而所求角的和轉(zhuǎn)化為求五邊形的內(nèi)角和問題解決．【詳解】連結(jié)，如圖，設(shè)與交于點，

∵，，又∵，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和定理，通過轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·山東德州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可證明；（2）①根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解．②根據(jù)，可得，，再由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：在中，，在中，，∵，∴；（2）解：①∵和的平分線和相交于點P，∴，∵①，②，由，得：，即，∵，∴；②∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴），故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關(guān)角平分線的計算，解題的關(guān)鍵是靈活運用“8字形”求解．例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．【答案】(1)；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，，，兩式相加即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)證即可得出結(jié)論；（3）在上取一點，使，連接交于點，證，即，同理證，然后同理（1）得，變形不等式即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，即；（2）證明：平分，，在和中，，，；（3）證明：在上取一點，使，連接交于點，是的角平分線，，在和中，，，，同理可證，，，，即，，．【點睛】本題考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．例5．（2023春·廣東深圳·七年級部?？计谥校┨骄款}(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個角的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，若，的角平分線，交于點，則與，的數(shù)量關(guān)系為______；(3)如圖3，，分別平分，，當(dāng)時，試求的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；(4)如圖4，如果，，當(dāng)時，則的度數(shù)為______．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2，設(shè)，，根據(jù)外角的性質(zhì)得：，，所以，最后由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；(3)如圖3，延長、交于點，根據(jù)（2）的結(jié)論，并將，代入可得結(jié)論；（4）如圖4，同理計算可得結(jié)論．【詳解】（1）在中，，在中，，∵，∴故答案為：（2）設(shè)，，∵，分別平分，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：（3）由（2）可知：，∵，∴，∴，∴，（4）如圖4，延長、交于點，設(shè)，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴故答案為：【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用方程的思想思考問題．模型2.“A”字模型如圖，B、C分別是∠DAE兩邊上的點，連結(jié)BC，形狀類似于英文字母A，故我們把它稱為“A”字模型。條件：如圖，在?ABC中，∠1、∠2分別為∠3、∠4的外角；結(jié)論：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E證明：①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°。②在?ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在?ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。例1．（2023·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)鄰補角求得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了求鄰補角，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級下·福建泉州·期末）如圖，在中，，若剪去得到四邊形，則．【答案】235°/235度【分析】此題考查了多邊形的內(nèi)角和，先利用三角形內(nèi)角和為計算，然后根據(jù)鄰補角的定義計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．例3．（23-24七年級下·河北石家莊·期末）如圖1，直線與的邊，分別相交于點，（都不與點重合）.

(1)若，①求的度數(shù)；②如圖2，直線與邊，相交得到和，直接寫出的度數(shù).(2)如圖3，，分別平分和，寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖4，在四邊形中，點，分別是線段、線段上的點，，分別平分和，直接寫出與，的關(guān)系.【答案】(1)①；②(2)，理由見解析(3).【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知識點，靈活運用相關(guān)知識是正確解答的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義進行計算即可；②根據(jù)①的結(jié)論即可解答；（2）由（1）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理即可解答；（3）由（2）的結(jié)論可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行解答即可．【詳解】（1）解：①如圖1，∵，∴，∵，∴；②由①方法可得：．（2）解：，理由如下：由（1）可得．∵，分別平分和，∴，∴，∴．（3）解：，理由如下：由圖2可得，，∵，分別平分和，∴，∴，∴．模型3.三角板拼接模型由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，當(dāng)題中含三角板時，先根據(jù)度數(shù)或隱含條件判斷三角形的形狀，標(biāo)注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根據(jù)題干解題。一副三角板可以拼接出的角度為三角板所含角度的和差，且均為15°的整數(shù)倍。常見角度拼接（證明特別簡單，故略過）：例1．（2023春·貴州遵義·八年級校聯(lián)考期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則．

【答案】【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和解答即可．【詳解】解：如圖可知：，，，，，故答案為：．

【點睛】此題考查三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答．例2．（23-24七年級下·四川成都·期末）將一副直角三角板如圖擺放，點A落在邊上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，從而得到，再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故選：D例3．（2023春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點E放在上，移動三角板，當(dāng)點E從點A沿向點B移動的過程中，點E、C、D始終保持在一條直線上．下列結(jié)論：①當(dāng)時，；②逐漸變?。虎廴糁本€與直線交于點M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個．正確的有．（填序號）

【答案】①③④【分析】①由即可判斷；②過點C作，即可判斷；③分別討論當(dāng)直線與線段相交、直線與線段的延長線相交即可判斷；④根據(jù)平行線的判定定理即可進行判斷．【詳解】解：①∵，點E、C、D始終保持在一條直線上∴∵∴故①正確；②如圖1：過點C作

當(dāng)點E從點A移動到點H位置時，的度數(shù)在逐漸增大∴的度數(shù)在逐漸減小當(dāng)點E從點H移動到點B位置時，的度數(shù)在逐漸增大故②錯誤；③當(dāng)直線與線段交于點M，如圖2：∵∴∴當(dāng)直線與線段的延長線交于點M，如圖3：∵∴∴故若直線與直線交于點M，則為定值故③正確；④當(dāng)點E在線段上時，且，則；當(dāng)點E在線段上時，且，則；當(dāng)時，則；∴若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個故④正確；故答案為：①③④【點睛】本題以三角板的運動為背景，考查了平行線的判定、三角形的內(nèi)角和、三角形的外角等知識點．掌握相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)鍵．例4．（23-24七年級下·貴州黔南·期末）如圖1，將一副三角板放在直線上，兩個直角頂點重合在一起，交直線于點C，其中，．(1)如圖2，將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置，此時在的內(nèi)部，與相交于點P，當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)將圖1中的三角板繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，的度數(shù)為___________．（直接寫出結(jié)果即可）【答案】(1)(2)；(3)或．【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，分情況討論，作出圖形是解答此題的關(guān)鍵．（1）利用同角的余角相等，即可得到；（2）證明，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求解；（3）分兩種情況討論，利用平行線的性質(zhì)結(jié)合三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，即；故答案為：；（2）解：由（1）得，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，設(shè)與的交點為，∵，∴，∴，∴；如圖，設(shè)與的交點為，∵，∴，∴；綜上，的度數(shù)為或．故答案為：或．1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴故選：A．【點睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，解題關(guān)鍵在于根據(jù)四邊形內(nèi)角和為和直角三角形的性質(zhì)求解．2．（2024·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角之和求出，，由，求出，再由外角和是即可求出答案．【詳解】解：如圖，，，，，，，，，．

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)定理、多邊形外角和定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點在另一個三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的外角性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：如圖，由題意得：，，

，，．故選：D．【點睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．4．（2023·廣東江門·八年級?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（

）A．540° B．500° C．460° D．420°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平角的定義和四邊形內(nèi)角和可得，同理可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵，，∴∵∴，同理可得：，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟知四邊形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東清遠(yuǎn)·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（

）A．90° B．360° C．180° D．無法確定【答案】C【詳解】如圖，連接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故選：C．6．（2024·安徽·八年級?？计谥校┤鐖D，若，則．

【答案】/250度【分析】按圖先進行標(biāo)注，根據(jù)外角性質(zhì)分別表示出，，，，再根據(jù)，進行求解即可得出最后結(jié)果．【詳解】解：如圖，進行標(biāo)注，

是的一個外角，，是的一個外角，，即，是的一個外角，，，是的一個外角，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，圓周角及鄰補角的應(yīng)用，熟練掌握外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，．【答案】/240度【分析】由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】連接，，∴又，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、對頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．8．（2023·上海七年級課時練習(xí)）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，當(dāng)，且點E在直線的上方時，他發(fā)現(xiàn)若，則三角板有一條邊與斜邊平行．【答案】或或【分析】分三種情形畫出圖形分別建立好幾何模型求解，即可解決問題．【詳解】解：有三種情形：①如圖1中，當(dāng)時．∵，∴，∵，∴．②如圖2中，當(dāng)時，，可得．③如圖3中，當(dāng)時，延長交于M．∵，∴，∴，∴，綜上所述，滿足條件的的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、平行線的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的首先思考問題，屬于中考?？碱}型．9．（2023·廣東·八年級假期作業(yè)）如圖，若，則．【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．10．（2023·廣東揭陽·八年級校考期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是．【答案】270°/270度220°/220度180°+∠A【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°，∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案為：270°；（2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A=180°+40°=220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2=180°+∠A；證明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案為：180°+∠A．【點睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．11．（2024·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，是邊上一點，連接，將沿翻折，使點落在邊上的點處，則的度數(shù)為度．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，求得的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可得：，∴∴故答案為：【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．12．（2024·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AB、CD相交于點O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數(shù)；(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數(shù)．

【答案】（1）47°；（2）43°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等可得出，由平分線的定義可得出、，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出，代入度數(shù)即可得出結(jié)論；（2）由鄰補角互補結(jié)合角平分線可得出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)結(jié)合（1）中即可得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出，代入度數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），，，，，，．平分交于，平分交于，，．，，，．（2），平分交直線于，，，，．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定義、角平分線、三角形的外角性質(zhì)、對頂角以及鄰補角，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理找出；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理找出．本題屬于中檔題，難度不大，但重復(fù)用到三角形內(nèi)角和定義稍顯繁瑣．13．（2023·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期中）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板放置在上（點在內(nèi)），三角板的兩條直角邊、恰好分別經(jīng)過點和點．探究與是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系．(1)特殊探究：若，則_____度，_____度，_____度；(2)類比探索：請?zhí)骄颗c的關(guān)系；(3)類比延伸：如圖②，改變直角三角板的位置，使點在外，三角板的兩條直角邊、仍然分別經(jīng)過點和點，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)；；(2)(3)不成立，，理由見解析【分析】（1）已知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易求的度數(shù)，已知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易求的度數(shù)，進而得到的度數(shù)；（2）由（1）中的度數(shù)，的度數(shù)，相減即可得到與的關(guān)系；（3）由于在中，，在中，，相減即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：；；．（2）與的關(guān)系為：，理由如下：由（1）得：，∵，∴，∴．∴．（3）不成立，存在，理由如下：在中，，在中，∵，∴，∴，∴，∴．∴（2）中的結(jié)論不成立．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和，直角三角形兩銳角互余．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于．注意運用整體法計算，解決問題的關(guān)鍵是求出，的度數(shù)．14．（2023春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，與的角平分線交于點．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系；(3)若與的大小發(fā)生變化，（2）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由，若不成立，寫出成立的式子．【答案】(1)(2)(3)（2）的結(jié)論仍然成立，見解析【分析】（1）頂角相等可得，，利用三角形的內(nèi)角和定理得，，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得，，從而求出的度數(shù)；（2）頂角相等可得，，利用三角形的內(nèi)角和定理得，，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得，，從而求出，，的數(shù)量關(guān)系；（3）的解析可得，時，，的關(guān)系與與的大小無關(guān)，所以，即（2）的結(jié)論仍然成立．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，得，，∵與的角平分線交于點，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴，得，，∵與的角平分線交于點，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴，，∴，得，，∵與的角平分線交于點，∴，∴，此時，，的關(guān)系與與的大小無關(guān)，即（2）的結(jié)論仍然成立．【點睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理和角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為度時，；當(dāng)為度時，．(2)當(dāng)時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．【答案】(1)，(2)不變，理由見解析【分析】（1）如圖，記與的交點為點，與的交點為點，由，可得，再利用角的和差關(guān)系可得答案；如圖，記與的交點為，求解，由角的和差關(guān)系可得答案；（2）如圖3，設(shè)分別交、于點、，在中，可得，結(jié)合，，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，記與的交點為點，與的交點為點，

，

，，

，即，如圖，記與的交點為，，，，，即，（2）當(dāng)，，保持不變，理由如下：如圖3，設(shè)分別交、于點、，在中，，，，，，．【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練的利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．16．（2023·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）將三角尺（，）放置在上（點在內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊、恰好經(jīng)過點和點，我們來研究與是否存在某種數(shù)量關(guān)系．(1)特例探究：若，則________度，________度．(2)類比探究：、、的關(guān)系是___________________．(3)變式探究：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢茫裹c在外，三角尺的兩邊、仍恰好經(jīng)過點和點，探究、、的關(guān)系(只要求直接寫出結(jié)論)：____________________．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，，進而即可求解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，進而得出；（3）設(shè)交于，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等，得出，進而得出，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，故答案為：，；（2）結(jié)論：．證明：，，，．故答案為：；（3）結(jié)論：∠，理由是：設(shè)交于，如圖：，，即，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖中，△AOB的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角，則與為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：．

(1)如圖1，在“對頂三角形”與中，若，則；(2)如圖2，在中，、分別平分和，若，比大，求的度數(shù)．(3)如圖3，、是的角平分線，且和的平分線和相交于點，設(shè)，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用對頂三角形的性質(zhì)求解即可；（2）利用對頂三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形進行分析即可求解；（3）由題意得，再由角平分線的定義可求得：，，從而可求解即可．【詳解】（1）解：在“對頂三角形”與中，則，，故答案為：；（2）在中，，，、分別平分和，，，又，，；（3）在中，，，、是分別平分和，，，，和的平分線和相交于點，，，，，，，．即．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系，并熟記三角形的內(nèi)角和為．18．（23-24七年級下·河南南陽·期末）在學(xué)習(xí)完三角形的內(nèi)角、外角相關(guān)知識后，利用三角形的內(nèi)角和同學(xué)們很容易證明三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角的關(guān)系．于是，愛思考的小紅在想，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？①嘗試探究：如圖1，與分別為的兩個外角，試探究與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？解：數(shù)量關(guān)系：．理由：∵與分別為的兩個外角，∴．∴．∵三角形的內(nèi)角和為，∴．∴．小紅順利地完成了探究過程，并想考一考同學(xué)們，請同學(xué)們利用上述結(jié)論完成下面的問題．②初步應(yīng)用：（1）如圖2，在紙片中剪去，得到四邊形，，則；（2）如圖3，在中，分別平分外角，則與有何數(shù)量關(guān)系？；（直接填答案）；③拓展提升：（3）如圖4，在四邊形中，分別平分外角，則與有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由）?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3），理由見解析【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，外角和定理，角平分線的定義．（1）根據(jù)題意利用外角和定理即可得到本題答案；（2）由嘗試探究得，再利用角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（3）根據(jù)題意延長線段、線段交于點，利用（2）中所得結(jié)論及外角和內(nèi)角和定理即可得到本題答案．【詳解】解：（1）由題意得：在紙片中剪去，∵，，∴，故答案為：；（2），由嘗試探究得，∵分別平分外角，∴，∴，∴故答案為：；（3）數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：如圖，延長線段、線段交于點，，∵通過（2）得，∴，∵，又∵，∴，∴．19．（2022春·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，∠A＝80°，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)260°(2)160°(3)(4)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角進行求解即可；（2）利用翻折的性質(zhì)得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，結(jié)合圖形，由平角及各角之間的關(guān)系進行計算即可‘（3）連接．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之間的數(shù)量關(guān)系得出，再由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（4）設(shè)AB與交于點F，根據(jù)三角形外角得出，，再由折疊的性質(zhì)得出，結(jié)合圖形及各角之間的數(shù)量關(guān)系進行求解即可【詳解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案為：160°；（3）解：連接．如圖所示：∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵，∴，∴，∴．（4）解：如圖，設(shè)AB與交于點F，∵，，由折疊可得，，∴，又∵，，∴，∴．【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．20．