專題28 解直角三角形模型之實際應用模型解讀與提分精練（全國）

專題28解直角三角形模型之實際應用模型解直角三角形是中考的重要內容之一（也可理解為相似三角形的一種特殊情況），直角三角形邊、角關系的知識是解直角三角形的基礎。將實際問題轉化為數學問題是關鍵，通常是通過作高線或垂線轉化為解直角三角形問題，在解直角三角形時要注意三角函數的選取，避免計算復雜。在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應先添加輔助線,構造直角三角形。為了提高解題和得分能力，本專題重點講解解直角三角形的實際應用模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.背靠背模型 2模型2.母子模型 6模型3.擁抱模型 12 17【知識儲備】圖1圖2圖3圖4圖5如圖1，30°-60°-90°三邊比值；如圖2，45°-45°-90°三邊比值如圖3，30°-30°-120°三邊比值；如圖4，30°-45°-105°三邊比值如圖5，45°-60°-75°三邊比值。上面五個結論在于運用勾股定理和方程，當然也可用三角函數。其實三角函數相關題目的輔助線也是類似，即作垂線，把角放在直角三角形中來研究。希望同學能夠自己動手計算并研究記憶這些特殊角度三角形的三邊比值，這些結論在選填題特別好用。模型1.背靠背模型背靠背模型：如圖，若三角形中有已知角時，則通過在三角形內作高CD，構造出兩個直角三角形求解，其中公共邊（高）CD是解題的關鍵。圖1圖2圖3圖4圖5重要等量關系：如圖1，CD為公共邊，則AD+BD=AB；如圖2，CE=DA，CD=EA，則CE+BD=AB；如圖3，CD=EF，CE=DF，則AD+CE+BF=AB；如圖4，DE=BF，BD=EF，則AE+EF=AF；如圖5，BE=CF，CE=BF，則AE+EB=AB。例1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點測得該樓頂部點的仰角為，測得底部點的俯角為，點與樓的水平距離，則這棟樓的高度為m（結果保留根號）．例2．（2024·山東泰安·中考真題）在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點，，，在同一平面內），那么大汶河此河段的寬為米．（參考數據：，，，）例3．（2023·遼寧大連·模擬預測）如圖，是某市在城區(qū)河道上新建成的一座大橋，學校數學興趣小組在一次數學實踐活動中對橋墩的高度進行了測量，測得斜坡長為50米，，在斜坡頂端C處水平地面上以的速度行走半分鐘到達點D，在點D處測得橋墩最高點A的仰角為．(1)水平地面長為米；(2)求橋墩的高（結果保留1位小數）．（參考數據：，，，）例4．（2024·山東青島·中考真題）“滑滑梯”是同學們小時候經常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發(fā)，小亮同學對所在小區(qū)的一處滑梯進行調研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題．方案名稱滑梯安全改造測量工具測角儀、皮尺等方案設計如圖，將滑梯頂端拓寬為，使，并將原來的滑梯改為，（圖中所有點均在同一平面內，點在同一直線上，點在同一直線上）測量數據【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度；【步驟二】在點處用測角儀測得；【步驟三】在點處用測角儀測得．解決問題調整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求的長）（參考數據：）模型2.母子模型圖1圖2圖3圖4母子模型：若三角形中有已知角，通過在三角形外作高BC，構造有公共直角的兩個三角形求解，其中公共邊BC是解題的關鍵。重要等量關系：如圖1，BC為公共邊，AD+DC=AC；如圖2，BC為公共邊，DC-BC=DB；如圖3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如圖4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。圖5圖6圖7圖8圖9如圖5，BE+EC=BC；如圖6，EC-BC=BE；如圖7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如圖8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如圖9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1．（2024·廣東廣州·中考真題）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從點垂直下降到點，再垂直下降到著陸點，從點測得地面點的俯角為，米，米．(1)求的長；(2)若模擬裝置從點以每秒2米的速度勻速下降到點，求模擬裝置從點下降到點的時間．（參考數據：，，）例2．（2024·湖南長沙·模擬預測）某校研究性學習小組測量學校旗桿的高度，如圖在教學樓一樓C處測得旗桿頂部的仰角為，在教學樓五樓D處測得旗桿頂部的仰角為，旗桿底部與教學樓一樓在同一水平線上，已知米，求旗桿的高度．

例3．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數學興趣小組用無人機測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行到達點N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點在同一平面內），則潮汐塔的高度為（

）（結果精確到．參考數據：）A． B． C． D．例4．（2024·山西大同·模擬預測）在新農村建設中，某村依托當地區(qū)位條件，資源特色和市場需求，圍繞體驗性、參與性和互動性，打造一批休閑農業(yè)類旅游景點，如圖是景區(qū)五個景點A，B，C，D，E的平面示意圖，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏東方向上，E在A的東北方向上，C，D相距，E在的中點處．則景點B，A之間的距離是．（結果保留根號）

例5．（2024·江西南昌·模擬預測）如圖1，是南昌八一起義紀念塔，象征著革命的勝利．某校數學社團的同學們欲測量塔的高度．如圖2，他們在第一層看臺上架設測角儀，從處測得塔的最高點的仰角為，測出，臺階可抽象為線段，，臺階的坡角為，測角儀的高度為，塔身可抽象成線段．(1)求測角儀與塔身的水平距離；(2)求塔身的高度．（結果精確到）（參考數據：，，，）例6.（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖1，徐州云龍山是國家5A級景區(qū)，它既有自然風光，又有人文景觀．小明沿圖2所示的路線圖登頂云龍山，他從山腳A出發(fā)；沿AB行走166米到達點B，再沿到山頂點C．已知山高CD為142米，從點A看點B的仰角為，從點B看點C的仰角為．求小明從山腳點A到達山頂點C共走了多少米？（結果精確到1米）．（參考數據：，，）模型3.擁抱模型擁抱模型：如圖，分別解兩個直角三角形，其中公共邊BC是解題的關鍵。圖1圖2圖3圖4重要等量關系：如圖1，BC為公共邊；如圖2，BF+FC+CE=BE；如圖3，BC+CE=BE；如圖4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2024·四川·?？家荒＃┤鐖D，電視塔是西安市的標志性建筑之一，學習測量后，小強想測量其高度如圖，他先在電視塔附近一樓房的底端點處觀測電視塔頂點處的仰角是，然后爬到該樓房頂端點處觀測電視塔底部處的俯角恰好是，已知樓房高為米，根據以上觀測數據，請你求出電視塔的高度（結果精確到米）（參考數據：，，，）例2．（23-24九年級上·福建漳州·期末）某校數學興趣小組測量校園內旗桿的高度，活動記錄如下：活動任務：測量旗桿的高度【步驟一】設計測量方案小組成員討論后，畫出兩種測量方案的圖形，如圖1，圖2．【步驟二】準備測量工具：筷子，皮尺和測傾器，如圖3．皮尺的功能是直接測此任意可達到的兩點間的距離；測傾器（由度盤，鉛錘和支桿組成）的功能是測量目標物的仰角或俯角【步驟三】實地測量并記錄數據方案一：利用鏡子的反射（測量時，所使用的平面鏡的大小和厚度均忽略不計，根據光的反射定律，反射角等于入射角，法線，），如圖1，小明利用鏡子和皮尺測出了旗桿的高度，其測量和求解過程如下：測量過程：小明將鏡子放在距離旗桿底部的點C處，然后看若鏡子沿直線來回移動，直至看到旗桿頂端B在鏡子中的像與點C重合，此時小明站在點D處，測得，小明的眼睛離地面的高度．求解過程：由測量知，，，．法線，，①______，．，即．②______（）．故旗桿的高度為③______．方案二：如圖2，小亮在測點D處安置測傾器，測得旗桿頂端B的仰角．量出測點D到旗桿的距離，量出測傾器的高度．(1)補全小明求解過程中①②③所缺的內容；(2)請你根據方案二求出旗桿的高度（結果精確到）．（參考數據：，，）例3．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．1．（2024·四川雅安·中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米2．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（

）（參考數據：，，）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，一小孩在蕩秋千，秋千的纖繩長為2米，當小孩在最低位置時，秋千底部距離地面米，當小孩達到最大高度時，秋千底部距離地面米，那么小孩從最低位置達到最高位置秋千底部所經過的路徑長為（

）．A．2米 B．π米 C．米 D．米4．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，甲船從A處向正北方向的C島航行，同時，乙船在C島正東方向80海里的D處向正東方向航行，此時甲船觀察到乙船在北偏東45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B處觀察到乙船在北偏東70°方向的E處，則乙船向正東方向航行了海里．（精確到1海里，參考數據：，，）5．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面的點P處，測得教學樓底端點A的俯角為，再將無人機沿教學樓方向水平飛行至點Q處，測得教學樓頂端點B的俯角為，則教學樓的高度約為m．（精確到，參考數據：，，）

6．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為米．7．（2024·內蒙古通遼·中考真題）在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度．如圖，從C點測得楊樹底端B點的仰角是，長6米，在距離C點4米處的點測得楊樹頂端A點的仰角為，求楊樹的高度（精確到米，，，在同一平面內，點C，D在同一水平線上．參考數據：．8．（2024·河北·中考真題）中國的探月工程激發(fā)了同學們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離，仰角為；淇淇向前走了后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面的距離，點P到的距離，的延長線交于點E．（注：圖中所有點均在同一平面）(1)求的大小及的值；(2)求的長及的值．9．（2024·四川樂山·中考真題）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索的長度；(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．10．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調節(jié)支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當活動桿處于水平狀態(tài)時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；(2)如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．11．（2024·四川廣安·中考真題）風電項目對于調整能源結構和轉變經濟發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風力發(fā)電機，如圖（1）某校實踐活動小組對其中一架風力發(fā)電機的塔桿高度進行了測量，圖（2）為測量示意圖（點，，，均在同一平面內，）．已知斜坡長為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測得風力發(fā)電機塔桿頂端點的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風力發(fā)電機塔桿的高度．（結果精確到個位；參考數據：，，，）

12．（2024·重慶·中考真題）如圖，，，，分別是某公園四個景點，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數據：，，）。(1)求的長度（結果精確到千米）；(2)甲、乙兩人從景點出發(fā)去景點，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？

13．（2024·四川達州·中考真題）“三匯彩婷會”是達州市渠縣三匯鎮(zhèn)獨有的傳統(tǒng)民俗文化活動、起源于漢代、融數學，力學，鍛造，綁扎，運載于一體，如圖1，在一次展演活動中，某數學綜合與實踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學站在處．借助測角儀觀察，發(fā)現中軸上的點的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學在觀測點處借助無人機技術進行測量，測得平行于水平線，中軸上的點的仰角，點、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學的眼睛到地面的距離米，請根據以上數據，求中軸上的長度．（結果精確到米，參考數據，）

14．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發(fā)，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）(1)求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．15．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請你根據以上信息解決下列問題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區(qū)，請計算說明．（參考數據：）16．（2024·內蒙古·中考真題）實驗是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應固定在距試管口的三分之一處．現將左側的實驗裝置圖抽象成右側示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結果用含非特殊角的三角函數表示）(2)實驗時，導氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點F，且于點N（點C，D，N，F在一條直線上），經測得：，求線段的長度．（結果用含非特殊角的三角函數表示）17．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發(fā)電系統(tǒng)運行時，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會對太陽輻射的接收產生直接影響．某地區(qū)工作人員對日平均太陽輻射量（單位：）和太陽能板與水平地面的夾角進行統(tǒng)計，繪制了如圖2所示的散點圖，已知該散點圖可用二次函數刻畫．(1)求關于的函數表達式；(2)該地區(qū)太陽能板與水平地面的夾角為多少度時，日平均太陽輻射量最大？(3)圖3是該地區(qū)太陽能板安裝后的示意圖（此時，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），為太陽能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點，．在延長線上選取一點，在兩點間選取一點，測得，在兩點處分別用測角儀測得太陽能板頂端的仰角為，，該測角儀支架的高為1m．求支撐桿的長．（精確到m，參考數據：，）18．（2024·