專題12 三角形中的重要模型之面積模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專題12三角形中的重要模型之面積模型三角形的面積問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個(gè)非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三角形中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.等積變換基礎(chǔ)模型 1模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型 9模型3.燕尾（定理）模型 13模型4.鳥頭定理（共角定理）模型 18模型5.金字塔與沙漏模型 23 27模型1.等積變換基礎(chǔ)模型模型1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；如圖1，當(dāng)//，則；反之，如果，則可知直線//。圖1圖2圖3模型2）兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比。如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD，CF⊥AD時(shí)，則S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。證明：模型1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD、過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD。∵//，∴AE=BF?！?；；∴。反之同理可證。模型2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC?！撸?；∴S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD、過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD?！?；；∴S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。例1．（24-25八年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)D是邊上的點(diǎn)，且，則與的面積之比為（）A． B． C． D．例2．（23-24八年級(jí)下·河北滄州·期中）如圖，，分別是的邊AB，CD上的點(diǎn)，與DE相交于點(diǎn)，與CE相交于點(diǎn)，若的面積為，的面積為，的面積為，則陰影部是的面積為．例3．（2024·上海浦東新·一模）如圖，在中為中點(diǎn)，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則．例4．（23-24七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【探究】如圖1，是中邊上的中線，與的面積相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，【應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)A、B、C分別是、、的中點(diǎn)，且，則圖2中陰影部分的面積為；【拓展】（1）如圖3，中，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，連接、、，如果，那么為．（2）如圖4，中，，，點(diǎn)D、E是、邊上的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)F．若的面積為S，則四邊形面積為（用含S的代數(shù)式表示）；四邊形的面積存在最大值，這個(gè)值為．例5．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期中）規(guī)律：如圖1，直線，，為直線上的點(diǎn)，，為直線上的點(diǎn)．如果，，為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到何位置，與的面積始終相等，其理由是___．應(yīng)用：（1）如圖，、、三點(diǎn)在同一條直線上，與都是等邊三角形，連結(jié)，．若，，求的面積．（2）如圖，已知，，，是矩形邊上的點(diǎn)，且，，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)MC交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，若四邊形的面積等于，求四邊形的面積．模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑。通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。1）任意四邊形的蝴蝶定理：如圖1，結(jié)論：①或；②。證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；即故；即。由基礎(chǔ)模型2）知：；即。2）梯形蝴蝶定理：如圖2，結(jié)論：①；②。證明：∵四邊形ABCD為梯形，∴AD//BC，∴易證，∴。同理可證得：。例1．（23-24八年級(jí)上·浙江·階段練習(xí)）如圖，任意四邊形中，和相交于點(diǎn)O，把、、、的面積分別記作、、、，則下列各式成立的是（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年級(jí)上·上海松江·期中）如圖，已知在梯形中，，，如果對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，、、、的面積分別記作、、、，那么下列結(jié)論中，不正確的是（）A． B． C． D．例3．（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，梯形的兩條對(duì)角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為，則梯形的面積為．例4．（2024·山西·?？家荒＃╅喿x與探究請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：凸四邊形的性質(zhì)研究如果把某個(gè)四邊形的任何一邊向兩端延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的圖形，它有一個(gè)非常有趣的性質(zhì):任意凸四邊形被對(duì)角線分成的兩對(duì)對(duì)頂三角形的面積之積相等．例如，在圖1中，凸四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且，，，，的面積分別為，則有，證明過(guò)程如下：任務(wù)：（1）請(qǐng)將材料中的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（2）如圖2，任意凸四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，分別記，，，的面積為，求證；（3）如圖3，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，，則四邊形的面積為____________．

模型3.燕尾（定理）模型條件：如圖，在中，E分別是上的點(diǎn)，在上一點(diǎn)。結(jié)論：S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；故；即S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。例1．（23-24七年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）（數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分．（經(jīng)驗(yàn)發(fā)展）（1）面積比和線段比的聯(lián)系：如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，如圖1，的邊上有一點(diǎn)，請(qǐng)證明：；（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖2，的面積為1，，求的面積；（拓展延伸）（3）如圖3，的邊上有一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，請(qǐng)利用上述結(jié)論，證明：；（遷移應(yīng)用）（4）如圖4，中，M是的三等分點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，若的面積是1，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積：．例2．（23-24七年級(jí)下·寧夏銀川·期末）【問(wèn)題情境】如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．因?yàn)楦呦嗤?，于是．?jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．(1)【深入探究】如圖2，點(diǎn)D在的邊上，點(diǎn)P在上．若是的中線，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．若，則：______．(2)【拓展延伸】如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形的各邊，使得A，B，C，D分別為的中點(diǎn)，依次連接E，F(xiàn)，G，H得四邊形．直接寫出，與之間的等量關(guān)系；_______．例3．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知是ΔABC的邊上一點(diǎn)，連結(jié)，此時(shí)有結(jié)論，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)是邊上的中點(diǎn)時(shí)，的面積的面積（填“>”“<”或“=”）．（2）如圖1，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若、、的面積分別為5，8，10，則的面積是（直接寫出結(jié)論）．（3）如圖2，若點(diǎn)分別是ΔABC的邊上的中點(diǎn)，且，求四邊形的面積．可以用如下方法：連結(jié)，由得，同理：，設(shè)，，則，，由題意得，，可列方程組為：，解得，可得四邊形的面積為20．解答下面問(wèn)題：如圖3，是的三等分點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，與交于，且，請(qǐng)計(jì)算四邊形的面積，并說(shuō)明理由．模型4.鳥頭定理（共角定理）模型共角三角形：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。圖1圖2（等角型）條件：如圖1，在三角形ABC中，D、E分別是AB，AC上的點(diǎn)，結(jié)論：。（互補(bǔ)型）條件：如圖2，已知∠BAC+∠DAE=180°，結(jié)論：。證明：（等角型）如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，C作EG⊥AB于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴。又即。（互補(bǔ)型）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DA交DA延長(zhǎng)線于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴，∵，，∴；例1、如圖，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上的點(diǎn)，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面積是16平方厘米，則ABC的面積為。例2．（2023·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解如果兩個(gè)三角形中有一組對(duì)應(yīng)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個(gè)三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比，例：在圖1中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，則證明：分別過(guò)點(diǎn)E，C作EG⊥AB于點(diǎn)G，CF⊥AB于點(diǎn)F，得到圖2，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴又即任務(wù)：（1）如圖3，已知∠BAC+∠DAE=180°，請(qǐng)你參照材料的證明方法，求證：（2）在（1）的條件下，若則AE=．例3．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？問(wèn)題解決：探究一：（1）看到這個(gè)問(wèn)題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個(gè)式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；著不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．探究二：回到最初的問(wèn)題，若圖1中沒(méi)有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：？方法回顧：兩個(gè)三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當(dāng)兩個(gè)三角形的底成高具有一定的關(guān)系時(shí)，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你解決最初的問(wèn)題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長(zhǎng)線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長(zhǎng)線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．結(jié)論應(yīng)用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)GA到E，連接DE交BA的延長(zhǎng)線于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．模型5.金字塔與沙漏模型金字塔模型沙漏模型條件：如圖所示，DE//BC；結(jié)論：①；②。證明：∵DE//BC；易證：；；；∴；。例1．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D、E分別是邊上的點(diǎn)，且，面積比為，交于點(diǎn)F．則（

）

A． B． C． D．例2．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，D、E分別是的邊、上的點(diǎn)，且，、相交于點(diǎn)0，若的面積與的面積的比為，則等于（

）

A． B． C． D．例3．（2023·福建龍巖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，與相交于點(diǎn)．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·北京海淀·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是等邊三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若圖中陰影部分的面積是6，則四邊形的面積為（

）A．8 B．9 C．10 D．111．（2024·貴州·校考一模）如圖，梯形被對(duì)角線分成4個(gè)小三角形，已知與的面積分別為和．那么梯形的面積是（

）．A．144 B．140 C．160 D．無(wú)法確定2．（24-25八年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）如圖所示，中，點(diǎn)、、分別在三邊上，是的中點(diǎn)，、、交于一點(diǎn)，，，，則的面積是（

）A．25 B．30 C．35 D．403．（22-23七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，四邊形中，E、F、G、H依次是，，，中點(diǎn)，O是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，若四邊形、四邊形、四邊形的面積分別為8、11、13，四邊形面積為（

）A．10 B．11 C．12 D．134．（24-25八年級(jí)上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，若的面積為a，且點(diǎn)A，B，C分別是的中點(diǎn)，則求陰影部分的面積（用含a的式子表示），（

）A． B． C． D．5．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，延長(zhǎng)至E，使，連接，的面積為10，的面積是13，則的值為（）A． B． C．3 D．26．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，若，則的面積是（

）A．4 B．3 C．2 D．17．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)O，則的面積與的面積的比為（

）A．1：2 B． C．1：4 D．8．（23-24八年級(jí)上·天津河?xùn)|·期中）如圖，的兩條中線，相交于點(diǎn)，已知的面積為，的面積為，則四邊形的面積為（

）

A． B．3 C． D．9．（2024·甘肅酒泉·二模）如圖，在平行四邊形中，如果點(diǎn)為CD的中點(diǎn)，與BD相交于點(diǎn)，若已知，那么等于（

）A．4 B．8 C．12 D．1610．（23-24九年級(jí)·重慶·課后作業(yè)）如圖，為半圓O的直徑，弦相交于點(diǎn)P，如果，那么等于（

）A．16∶9 B．3∶4 C．4∶3 D．9∶1611．（22-23七年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，E、F分別是邊上的三等分點(diǎn)，連接分別交于G、H點(diǎn)，若的面積為90，則四邊形的面積為．

12．（2024·上?！ば？家荒＃┤鐖D，梯形中，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)．如果，那么與的面積之比等于．13．如圖1，點(diǎn)D在邊上，我們知道若，則；反之亦然．如圖2，是的中線，點(diǎn)F在邊上，相交于點(diǎn)O，若，則．14．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）已知中，是邊上的中線，點(diǎn)G為重心，，若的面積為12，則的面積是．15．（2024·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）如圖，矩形EFGH內(nèi)接于（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），E，F(xiàn)在上，H，G分別在，上，且于點(diǎn)D，交于點(diǎn)N．(1)求證：(2)若，，設(shè)，則當(dāng)x取何值時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？16．（23-24八年級(jí)下·湖南永州·期末）課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問(wèn)題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用閱讀理解：如圖1，已知直線，直線a，b的距離為h，則三角形的面積為．

(1)【問(wèn)題探究】如圖2，若點(diǎn)C平移到點(diǎn)D，求證：；(2)【深化拓展】如圖3，記、、、，根據(jù)圖形特征，試證明：；(3)【靈活運(yùn)用】如圖4，在平行四邊形中，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)O，已知，且，求四邊形的面積．17．（23-24八年級(jí)下·山東青島·期末）問(wèn)題解決：如圖1，中，為邊上的中線，則______.問(wèn)題探究：（1）如圖2，分別是的中線，與相等嗎？解：中，由問(wèn)題解決的結(jié)論可得，，.∴∴即.（2）圖2中，仿照（1）的方法，試說(shuō)明.（3）如圖3，，，分別是的中線，則______，______，______.問(wèn)題拓展：（1）如圖4，分別為四邊形的邊的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系：______.（2）如圖5，分別為四邊形的邊的中點(diǎn)；請(qǐng)直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系：______.18．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·期中）閱讀理解：兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，我們稱這兩個(gè)三角形是共角三角形，這個(gè)角稱為對(duì)應(yīng)角．根據(jù)上述定義，判斷下列結(jié)論，正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”．（1）三角形一條中線分成的兩個(gè)三角形是共角三角形．（_____）（2）兩個(gè)等腰三角形是共角三角形．（_____）問(wèn)題提出：小明在研究圖的時(shí)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)辄c(diǎn)，分別在和上，所以和是共角三角形，并且還發(fā)現(xiàn)．以下是小明的證明思路，請(qǐng)幫小明完善證明過(guò)程．證明：分別過(guò)點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，得到圖，，又，（_____），．，，即．延伸探究：如圖，已知，請(qǐng)你參照小明的證明方法，求證：．結(jié)論應(yīng)用：（1）如圖，在平行四邊形中，是邊上的點(diǎn)且滿足，延長(zhǎng)到，連接交的延長(zhǎng)線于，若，，，的面積為，則的面積是．（2）如圖，的面積為，延長(zhǎng)的各邊，使，，，，則四邊形的面積為．19．（2023·山東青島·二模）【模型】同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長(zhǎng)度之比．已知，如圖，中，為線段上任意一點(diǎn)，連接，則有：．【模型應(yīng)用】（1）如圖，任意四邊形中，、分別是、邊的中點(diǎn)，連接、，若四邊形的面積為，則___________．（2）如圖，在任意四邊形中，點(diǎn)、分別是邊、上離點(diǎn)和點(diǎn)最近的三等分點(diǎn)，連接、，若四邊形的面積為，則___________．（3）如圖，在任意四邊形中，點(diǎn)、分別是邊、上離點(diǎn)和點(diǎn)最近的等分點(diǎn)，連接、，若四邊形的面積為，則___________．【拓展與應(yīng)用】（4）如圖，若任意的十邊形的面積為，點(diǎn)、、、、、、、分別是、、、、、、、邊上離點(diǎn)、、、、、、、最近的四等分點(diǎn)，連接、、、、、、、，則圖中陰影部分的面積是___________．20．（23-24七年級(jí)下·安徽宿州·期末）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，點(diǎn)D在邊上，與的面積分別記為與，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）閱讀分析：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖2，在中，，，射線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F在上，且，試判斷、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明利用一對(duì)全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得以解決．圖2中的、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為，并說(shuō)明理由．（3）類比探究：如圖3，在四邊形中，，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在射線上，且．①全等的兩個(gè)三角形為，并說(shuō)明理由．②若，的面積為3，直接寫出的面積：．21．（23-24九年級(jí)上·廣西崇左·