專題15 全等三角形模型之角平分線模型解讀與提分精練（全國）

專題15全等三角形模型之角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直） 2模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直） 5模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等） 7 10模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。圖1圖2 圖3條件：如圖1，為的角平分線，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B.結(jié)論：、≌.證明：∵為的角平分線，，，∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL）常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時，還有.）證明：∵，為的角平分線，，∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL）常見模型2（鄰等對補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠AOB的角平分線，AC=BC，過點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.證明：∵OC是∠AOB的角平分線，CD⊥OA、CE⊥OB，∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE；∵，∴，∴，同圖1中的證法易得：≌（HL），∴，∴，例1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，E是邊上一點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，且，連接．若，，則四邊形的面積為．例2．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，的外角，的平分線，相交于點(diǎn)，于，于，下列結(jié)論：（1）；（2）點(diǎn)在的平分線上；（3）；（4）若，則，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例3．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，和分別平分和，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和上．(1)如圖1，過點(diǎn)P，且與垂直，求證：；(2)如圖2，為過點(diǎn)P的任意一條線段，試猜想還成立嗎？請說明理由．

例4．（23-24九年級下·遼寧本溪·階段練習(xí)）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，姜老師給出如下問題：如圖1，平分，M為上一點(diǎn)，N為上一點(diǎn)，連接線段，若．求證：．①如圖2，小文同學(xué)從已知一邊一角構(gòu)造全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化的視角給出如下思路：在上截取，連接，易證，將線段與的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為與的數(shù)量關(guān)系．②如圖3，小雅同學(xué)也是從已知一邊一角構(gòu)造全等的視角進(jìn)行解題給出了另一種思路，過D點(diǎn)向的兩邊分別作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，易證，得到，接下來只需證，可得．請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程【類比分析】（2）姜老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都采用了一邊一角構(gòu)造全等的視角，為了更好的感悟這種視角，姜老師將共頂點(diǎn)的兩個相等的角，變成了不共頂點(diǎn)的兩個相等的角提出了如下問題，請你解答．如圖4，在中，，平分交與點(diǎn)D，在線段上有一點(diǎn)E，連接交與點(diǎn)F，若．求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，垂足為點(diǎn)D，在的延長線上取一點(diǎn)E，使，在線段上截取，點(diǎn)G在線段上，連接，使，若，，，求四邊形的面積．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個全等的直角三角形，進(jìn)而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，這個模型巧妙的把三線合一和角平分線聯(lián)系在一起。但同學(xué)們也需要注意，在解答題中使用時不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全等來得到結(jié)論。（因為正確的結(jié)論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦！）圖1圖2圖3條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三線合一等。證明：∵為的角平分線，∴∠COA=∠COB，∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA），∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三線合一。條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。證明：同圖1的證法，例1．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期末）如圖，中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若平分，，線段的長為（

）A． B． C． D．例2．（2024·廣東深圳·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，是的角平分線，，則的最大值為．

例3．（2024·廣東·九年級期中）如圖，在中，，，（1）如圖1,平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（i）若，求證：垂直平分；（ii）若,求證：．（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，，垂足在的延長線上，試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，為上一點(diǎn)，，，垂足為，與交于點(diǎn)，寫出線段和的數(shù)量關(guān)系．（不要求寫出過程）模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）角平分線構(gòu)造軸對稱模型是利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，利用對稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。圖1圖2條件：如圖1，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。證明：∵為的角平分線，∴∠COA=∠COB，∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。條件：如圖2，BE、CE分別為和的平分線，，在上截取，連結(jié)。結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。證明：∵BE為的平分線，∴∠ABE=∠FBE=，∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB，∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE為的平分線，∴∠FCE=∠DCE=，∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。例1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，是的平分線，延長至點(diǎn)，，試求的度數(shù)．例2．（2022·北京九年級專題練習(xí)）在四邊形中，是邊的中點(diǎn)．（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為______；（直接寫出答案）；（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．例3．（2023·山東煙臺·九年級期末）已知在中，滿足，(1)【問題解決】如圖1，當(dāng)，為的角平分線時，在上取一點(diǎn)使得，連接，求證：．(2)【問題拓展】如圖2，當(dāng)，為的角平分線時，在上取一點(diǎn)使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由．(3)【猜想證明】如圖3，當(dāng)為的外角平分線時，在的延長線上取一點(diǎn)使得，連接，線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．例4．（24-25八年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們在探索利用角平分線來構(gòu)造全等三角形問題．如圖①，在四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，平分，，證明：．討論思考：當(dāng)同學(xué)們討論到題目中尋找線段之間的和差關(guān)系時，大家都踴躍提出了各自的見解，大家集思廣議，提出了一個截長法：如圖②，在上截取，連接CF，先證明，再證明，即有，即．解決問題：小明同學(xué)根據(jù)大家的思路，進(jìn)行了如下的證明，理由如下：如圖②，在上取一點(diǎn)，使，連接CF．∵平分，∴，在和中，∴（）∴，．（1）小明已經(jīng)完成了大家討論的第一步，接下來就由你來利用題干中的條件完成剩下的推理證明吧．拓展探究：已知：如圖③，在中，，、分別為上的點(diǎn)，且交于點(diǎn)．若為的角平分線．（2）；（3）證明：．（4）如圖④，在中，，延長的邊到點(diǎn)，AD平分交延長線于點(diǎn)，若，，則．1．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線平分的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①3．（2024·重慶·校考一模）如圖，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．24．（2024·安徽·一模）如圖，中，AD平分，E是BC中點(diǎn)，，，，則DE的值為（

）A．1 B．2 C． D．5．（2024·綿陽市·?？家荒＃┮阎鐖D，BC=DC，∠B+∠D=180°．連接AC，在AB，AC，AD上分別取點(diǎn)E，P，F(xiàn)，連接PE，PF．若AE=4，AF=6，△APE的面積為4，則△APF的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．86．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P為定角的平分線上的一個定點(diǎn)，且與互補(bǔ)，若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；其中正確的個數(shù)為（）

A．3 B．2 C．1 D．07．（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，和的平分線，相交于點(diǎn)，交于，交于，過點(diǎn)作于，下列幾個結(jié)論：①平分

②

③當(dāng)時，；④若，，則．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）如圖，為的平分線上一點(diǎn)，，但，則與的關(guān)系是．9．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為．

10．（2024·湖南·中考真題）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N．若，，則．11．（2024·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長為．12．（2024·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延長線于點(diǎn)D，試說明：．13．（2024·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（情景呈現(xiàn)）畫，并畫的平分線．（I）把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)上，使三角尺的兩條直角邊分別與的兩邊，垂直，垂足為，（如圖1）．則；若把三角尺繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（如圖2），則________．（選填：“<”、“>”或“=”）（理解應(yīng)用）（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作直線，分別交，于點(diǎn)，，如圖3．①圖中全等三角形有________對．（不添加輔助線）②猜想，，之間的關(guān)系為________．（拓展延伸）（3）如圖4，畫，并畫的平分線，在上任取一點(diǎn)，作，的兩邊分別與，相交于，兩點(diǎn)，與相等嗎？請說明理由．14．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°時，直接寫出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖1，當(dāng)α≠90°時，（1）中結(jié)論是否還成立，說明理由；（3）如圖2，O為AC中點(diǎn)，M為AB上一點(diǎn)，BM＝AD，求的值．15．（23-24九年級上·河南開封·階段練習(xí)）如圖，在中，現(xiàn)在有一足夠大的直角三角板，它的直角頂點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，另兩條直角邊分別交于點(diǎn)E、F．

(1)如圖1，若，求證：四邊形是矩形．(2)若點(diǎn)D在的角平分線上，將直角三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點(diǎn)E、F（如圖2），試證明．（嘗試作輔助線）16．（2024·河南南陽·一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計的問題，請你解答．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1，是的角平分線，，在上截取，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；②如圖2，的角平分線、相交于點(diǎn)P．當(dāng)時，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）【探究遷移】如圖3，在四邊形中，，的平分線與的平分線恰好交于邊上的點(diǎn)P，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，當(dāng)有一個內(nèi)角是時，直接寫出邊的長．17．（2023·山東濟(jì)南·二模）在等腰中，，AM是的角平分線，過點(diǎn)M作，垂足為N，、將繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使的兩邊交直線AB于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，請解答下列問題：(1)當(dāng)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖①的位置時，求證：；(2)當(dāng)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時，請直接寫出線段BE，CF，BM之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在（1）和（2）的條件下，，，分別求CF的長．18．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）【情境建?！浚?）蘇科版教材八年級上冊第60頁，研究了等腰三角形的軸對稱性，我們知道“等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角平分線重合”，簡稱“三線合一”．小明嘗試著逆向思考：若三角形一個角的平分線與這個角對邊上的高重合，則這個三角形是等腰三角形．即如圖1，已知，點(diǎn)D在的邊上，平分，且，求證：．請你幫助小明完成證明；請嘗試直接應(yīng)用“情境建?！敝行∶鞣此汲龅慕Y(jié)論解決下列問題：【理解內(nèi)化】（2）①如圖2，在中，是角平分線，過點(diǎn)B作的垂線交、于點(diǎn)E、F，．求證：；②如圖3，在四