2024-2025學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市高二上冊(cè)第二次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省阜陽(yáng)市高二上學(xué)期第二次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．3．把一個(gè)高9cm的圓錐形容器裝滿水，倒進(jìn)一個(gè)與它底面積相等、高度相等的圓柱形容器中，此時(shí)水的高度是（

）A．4.5cm B．3cm C．27cm D．1cm4．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線，若，則（

）A．6 B． C．6或 D．或35．已知圓上的所有點(diǎn)都在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，H為PC上的點(diǎn)，且，點(diǎn)G在AH上，且．若G，B，P，D四點(diǎn)共面，則（）A． B． C． D．7．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為，，左、右焦點(diǎn)為，，上、下頂點(diǎn)為，.關(guān)于該橢圓，有下列四個(gè)命題：甲：；乙：的周長(zhǎng)為8；丙：離心率為；?。核倪呅蔚拿娣e為.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知是拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向直線作垂線，垂足為，則的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為C．若，則 D．若，，則10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知是動(dòng)點(diǎn)．下列命題正確的是（）A．若，則M的軌跡的長(zhǎng)度等于2B．若，則M的軌跡方程為C．若，則M的軌跡與圓有交點(diǎn)D．若，則的最大值為311．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它的研究對(duì)象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖．若記圖2中第n行白圈的個(gè)數(shù)為，其前n項(xiàng)和為；黑圈的個(gè)數(shù)為，其前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．?dāng)?shù)列滿足，且，則.13．一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)4，5，6，此時(shí)樣本容量為10，方差為.14．已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，高為1，動(dòng)點(diǎn)P在平面內(nèi)且滿足，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角的對(duì)邊分別是，已知.(1)證明.(2)若的面積為1，求.16．已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求．17．如圖，在四棱錐中，平面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求的長(zhǎng)．18．設(shè)直線．點(diǎn)和點(diǎn)分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)已知直線：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且，求直線的方程.(2)求點(diǎn)的軌跡方程；(3)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．19．對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)k，使得對(duì)任意，，都滿足，則稱數(shù)列符合“條件”．(1)試判斷公差為2的等差數(shù)列是否符合“條件”？(2)若首項(xiàng)為1，公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列符合“條件”．①求q的取值范圍；②記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：存在正數(shù)，使得數(shù)列符合“條件”

答案1．【正確答案】D【詳解】，，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義在第四象限.故選：D.2．【正確答案】A【詳解】由題意得，即，則．故選：A．3．【正確答案】B【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面積為，圓柱中水的高度為，則，解得.所以圓柱中水的高度是3.故選：B.4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，解得：?當(dāng)時(shí)，，平行；當(dāng)時(shí)，，可判斷此時(shí)重合，舍去.故選：A5．【正確答案】A【詳解】由，化簡(jiǎn)可得，則該圓圓心為，半徑為3，由題意可得解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.6．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋伤狞c(diǎn)共面，所以．故選：C．7．【正確答案】B【詳解】依題意，作出橢圓的圖象，如圖，若甲為真命題，則；若乙為真命題：則的周長(zhǎng)為，即；若丙為真命題，則離心率為；若丁為真命題，則四邊形的面積為；當(dāng)甲乙都為真時(shí)，有，解得，則，此時(shí)，，則丙和丁都是假命題；所以甲乙不可能同時(shí)為真，且必有一真一假，故丙和丁都為真；若甲、丙和丁為真，則，解得，此時(shí)滿足，且，符合題意；若乙、丙和丁為真，則，解得，此時(shí)，即乙、丙和丁不同時(shí)為真，假設(shè)不成立；綜上，乙命題為假命題.故選：B.8．【正確答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，其中，，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，，解得：，易知直線的斜率不為，不妨設(shè)直線的方程為：，由化簡(jiǎn)整理得：，，解得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)在以為直徑的圓（除原點(diǎn)外）上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)該圓直徑為，的最大值為該圓的直徑，即.故選：B．9．【正確答案】ACD【詳解】由題意，A正確；關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相反，因此點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，B錯(cuò)，若，則，所以，C正確；若且，則，解得，D正確，故選：ACD．10．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以的軌跡為線段，從而的軌跡的長(zhǎng)度等于2，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，由雙曲線的定義，知的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，而選項(xiàng)中的方程中未限制范圍，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，化簡(jiǎn)，得，聯(lián)立，方程組無(wú)解，所以的軌跡與圓沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，化簡(jiǎn)得，所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，等于在軸上的投影的長(zhǎng)度，由圖知其最大值為3，故D正確.故選：AD．11．【正確答案】AD【分析】根據(jù)題意得，再利用裂項(xiàng)相消法可求出，，然后逐個(gè)分析判斷.【詳解】由于每一個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的1白1黑兩個(gè)圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，第n行白圈的個(gè)數(shù)為，黑圈的個(gè)數(shù)為，所以，B錯(cuò)誤，由，得，，，A正確，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，D正確；因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，所以，C錯(cuò)誤.故選AD.【思路導(dǎo)引】若通項(xiàng)公式是分式型，分子是常數(shù)，分母是相鄰兩項(xiàng)的積，則可以考慮用裂項(xiàng)相消法求和.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?所以所以,所以,所以,可得.故答案為.13．【正確答案】【分析】利用平均數(shù)和方差的定義直接求解即可.【詳解】設(shè)這個(gè)樣本容量為7的樣本數(shù)據(jù)分別為則，所以，，所以.當(dāng)加入新數(shù)據(jù)4，5，6后，平均數(shù)，方差.故14．【正確答案】【詳解】設(shè)正方形的中心為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，設(shè)，可得，，所以，，，，因?yàn)椋傻?，可設(shè)，，設(shè)直線與所成角為，由，，則，令，可得，則，則，,可得．故答案為.15．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)和差角公式可得，即可利用正弦定理邊角互化求解，（2）根據(jù)面積公式可得，進(jìn)而可得，由余弦定理即可求解.【詳解】（1）由可得，故，,即,由正弦定理可得，故（2）由可得，故結(jié)合得,故，又,故，故，由余弦定理可得16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為，由，得，則．由成等比數(shù)列，得，則，而是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以，所以．解方程組得所以的通項(xiàng)公式為．（2）由，可得，所以．故是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以．17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理，得到，解得，所以，得到，又，所以，即，又平面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以平面平面.（2）以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?，，，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得到，取，得到，即，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理得到，解得，所以.

18．【正確答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）對(duì)于直線，將其變形為.令，解方程組：將其代入，得到.那么，所以定點(diǎn).已知直線，其斜率，因?yàn)?，兩直線垂直斜率之積為，所以直線的斜率.由點(diǎn)斜式可得直線的方程為，整理得.（2）設(shè)，則，所以從而因?yàn)?，所以，即．則，化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)的軌跡方程為．（3）設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率存在，易得且，則直線的方程為，注意到，化簡(jiǎn)得．點(diǎn)與關(guān)于直線AB對(duì)稱，設(shè)，則由，解得，又，所以，從而，令，得，因此直線過(guò)定點(diǎn)．

19．【正確答案】(1)符合條件；(2)①；②證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）公差為2的等差數(shù)列an，設(shè)，由，所以公差為2的等差數(shù)列an符合條件．（2）①首項(xiàng)為1，公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列an，，對(duì)恒成立，若，則，符合．若，數(shù)列an單調(diào)遞增，不妨設(shè)，，，設(shè)，由（*）式中的m，n任意性得數(shù)列bn不遞