2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上冊(cè)11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共10小題）1．空間直角坐標(biāo)系中，，則（）A． B． C． D．2．已知直線m，n，l，平面，下列正確的是（）A．若，則與異面 B．若，則C．若，則 D．若，則3．在四面體中，點(diǎn)是AB靠近的三等分點(diǎn)，記，則（）A． B．C． D．4．若圓錐的側(cè)面積等于和它等高等底的圓柱的側(cè)面積時(shí)，圓錐軸截面頂角的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．已知直線m，n，平面，那么“”是“”的（）A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件6．在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方向向量，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)到直線的距離是（）A． B． C． D．7．一個(gè)正棱錐，其側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的，這個(gè)正棱錐可能是（）A．正三棱錐 B．正四棱錐 C．正五棱錐 D．正六棱錐8．正三棱錐中，為棱PA的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在棱PB，PC上，三角形周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．9．歇山頂是中國(guó)古代建筑傳統(tǒng)屋頂之一，它有一條正脊、四條垂脊和四條戧脊，將歇山頂近似看成如圖中的多面體，其上部為直三棱柱，，四邊形為矩形，平面平面，且平面，平面，則正脊末端與戧脊末端兩點(diǎn)間距離為（）

A．4 B． C． D．10．如圖，正四面體的棱長(zhǎng)2，過(guò)棱AB上任意一點(diǎn)做與AD，BC都平行的截面，將正四面體分成上下兩部分，記，截面上方部分的體積為，則函數(shù)的圖象大致為（）

B．

C．

D．

二、填空題（本大題共5小題）11．已知，則.12．已知平面，直線，給出三個(gè)語(yǔ)句:①，②，③.從這三個(gè)語(yǔ)句中選取兩個(gè)做條件，剩下一個(gè)做結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，該命題是：若，則.（只需填寫(xiě)序號(hào)）13．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，平面，點(diǎn)在四棱錐表面上，且，則與底面的夾角為；點(diǎn)所形成的軌跡長(zhǎng)度是.14．如圖，在正方體內(nèi)，正方形EFGH中心與正方體中心重合，從前面觀察如圖所示，若棱長(zhǎng)，則正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為.15．如圖，是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），平面于，，，，給出下列四個(gè)結(jié)論:①四棱錐的體積是定值；②設(shè)平面與平面交于，則；③四棱錐的表面積既有最小值又有最大值；④存在點(diǎn)，使得四棱錐的四個(gè)側(cè)面兩兩垂直.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題（本大題共3小題）16．已知空間四點(diǎn).(1)求和的值;(2)若點(diǎn)在平面ABC內(nèi)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.17．如圖，在直四棱柱中，底面為梯形，，其中是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成角的余弦值.18．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面.

(1)若，求證：平面平面PCD；(2)若AD=DC，PB中點(diǎn)為，試問(wèn)在棱CD上是否存在點(diǎn)，使，若存在，指出點(diǎn)位置，若不存在說(shuō)明理由；(3)若與平面PBC成角大小，求DC邊長(zhǎng).四、單選題（本大題共4小題）19．如圖，在直三棱柱中，，則直線與直線所成的角為（）A． B． C． D．20．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，其中分別是棱的中點(diǎn)，則到平面的距離是（

）

A． B． C． D．21．如圖1，在矩形中，，點(diǎn)在AB邊上，且.如圖2，將沿直線DE向上折起至位置，連結(jié).記二面角的大小為，當(dāng)時(shí)，下面四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．存在某個(gè)位置，使B．存在某個(gè)位置，使平面平面C．存在某個(gè)位置，直線與平面所成角為D．存在某個(gè)位置，使平面與平面的交線與平面DEC平行22．光導(dǎo)纖維作為光的傳輸工具，在現(xiàn)代通訊中有著及其重要的作用，光纖由內(nèi)部纖芯和外部包層組成（如圖1），在一定的條件下，光在纖芯中傳輸，傳輸原理是“光的全反射”，即“入射角等于反射角”（如圖2），在圖3中近似的展示了一束光線在一段較長(zhǎng)的圓柱形光纖中的傳輸路徑，其中圓面是與光纖軸垂直的纖芯截面，若與圓所在平面成角的大小為，則光線路徑在垂直于光纖軸的截面上的投影可能（） B． C． D．五、填空題（本大題共6小題）23．直二面角，則;三棱錐外接球的體積是.24．已知正方體的棱長(zhǎng)為為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），為棱上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值是.25．如圖，某一個(gè)自行車(chē)停放時(shí)，車(chē)體由尺寸相同的前后輪和腳撐來(lái)支撐，前后輪的軸中心分別為，，與地面接觸點(diǎn)分別為，，腳撐一端固定在后輪軸中心處，另一端與地面接觸于點(diǎn)，若，兩點(diǎn)間距離為厘米，車(chē)輪外徑（直徑）為厘米，腳撐長(zhǎng)度等于車(chē)輪半徑，，則后車(chē)輪所在平面與地面的夾角（即二面角）的余弦值為.26．將半徑為1的半圓弧等分，從半徑的一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)依次連接各個(gè)分點(diǎn)至半徑的另一個(gè)端點(diǎn)，得到折線，將折線繞半徑MN所在直線旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)體（時(shí)，如圖所示），設(shè)所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③最大值為；④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.27．已知正方體的棱長(zhǎng)分別為中點(diǎn)，從開(kāi)始沿射線DF運(yùn)動(dòng)，做平面，垂足為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面與平面夾角先增大后減小;②B1N最大值為4，并且先增大后減小;③存在N使得；④存在唯一的使得.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.28．蜜蜂分泌蜂蠟筑巢，蜂巢由許多中空的柱狀體連接而成，其中柱狀體的一端為正六邊形開(kāi)口，另一端由三個(gè)全等的菱形拼成類(lèi)似錐形的底部（如圖1），蜜蜂這樣筑巢能夠使得蜂巢空間不變的條件下，所用蜂蠟最少，為了揭開(kāi)蜜蜂筑巢的數(shù)學(xué)秘密，研學(xué)小組利用正六棱柱去研究中空的柱狀體.設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為，高為定值（大于底面邊長(zhǎng)），底面中心分別為（如圖2），現(xiàn)將延長(zhǎng)至，平面PFB，，分別與棱交于，，，得到中空的柱狀體（如圖3）.（1）比大?。核弥锌盏闹鶢铙w的體積原正六棱柱體積；（填“>”，“<”或“=”）（2）當(dāng)中空的柱狀體表面積最小時(shí)，的取值是.

答案1．【正確答案】C【詳解】由可得.故選：C2．【正確答案】D【詳解】若，則與異面或，故A錯(cuò)誤；若，則或，故B錯(cuò)誤；若，當(dāng)時(shí)，可得，若，可能有，故C錯(cuò)誤；若，設(shè)，在內(nèi)作直線，則，又，所以，又，所以，所以，故D正確.故選：D.3．【正確答案】D【詳解】解：點(diǎn)是AB靠近的三等分點(diǎn)，.故選：D.4．【正確答案】D【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)，則圓錐的高為，由圓錐的側(cè)面積等于和它等高等底的圓柱的側(cè)面積，所以可得，所以，解得，設(shè)母線與底面所成的角為，所以，，所以圓錐軸截面頂角的度數(shù)為.故選：D.5．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，由于，可以得到，充分性成立，但不能推出，因?yàn)榭赡茉趦?nèi)，必要性不成立.故選：C6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以取直線的一個(gè)單位方向向量為，由，，可得，所以，，所以.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，由正三角形性質(zhì)可得頂點(diǎn)到三角形中心的距離為，因此正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)要大于，即側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)的倍，易知，因此可能是正三棱錐，即A正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，易知正方形對(duì)角線的一半為，因此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)要大于，即側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)的倍，易知，所以B錯(cuò)誤；以此類(lèi)推可知正五棱錐、正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都大于底面邊長(zhǎng)的倍，即CD不合題意.故選：A8．【正確答案】A【詳解】如圖所示，將正三棱錐的三個(gè)側(cè)面展開(kāi)到同一平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)，故，則的長(zhǎng)即為三角形周長(zhǎng)的最小值，其中，，由勾股定理得.故選：A9．【正確答案】D【詳解】依題意截取歇山頂右半部分作為示意圖，連接，延長(zhǎng)分別交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如下圖所示：

由平面，平面所以可得，且平面，由正三棱柱性質(zhì)可得，且，又可得，利用勾股定理可得，可得.故選：D10．【正確答案】D【詳解】

設(shè)截面分別于交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由于，平面，所以平面，而平面，所以，又平面，平面，平面平面，所以，同理，，，所以，則四邊形為矩形，平面平面，所以，則為的中點(diǎn)，又，則，則，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，則，在中，，又，則，即，則，所以，而正四面體的高，所以，則，當(dāng)x∈0,1時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則在0,1切線斜率增大，在切線斜率減小，故選擇圖象D.故選：D11．【正確答案】【詳解】根據(jù)題意：，因?yàn)椋瑒t，即，則，解得：，則.故答案為.12．【正確答案】②③①【詳解】若①，②可得或，即①②推不出③；若①，③，可能出現(xiàn)的情況，因此①③推不出②；若②，③，可得①，即②③可以推出①.故②③；①13．【正確答案】【詳解】因?yàn)槠矫?，所以為與底面所成的角，又底面為菱形，，，所以，在中，由余弦定理可得，在中，，所以；取的中點(diǎn)，連接交于，連接，由底面為菱形，所以且為的中點(diǎn)，所以，所以平面，平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又，點(diǎn)在四棱錐表面上，所以點(diǎn)所形成的軌跡為線段，由，，所以可得是等邊三角形，所以，易求得，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以，易證，從而可得，所以點(diǎn)所形成的軌跡長(zhǎng)度是.故；.14．【正確答案】【詳解】依題意可得正棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為，高為，在前面觀察圖形（如下圖所示）中可知即為上底面邊長(zhǎng)，，則，作交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，則，所以上底面邊長(zhǎng)為，則下底面正方形的對(duì)角線為，上底面正方形的對(duì)角線為，所以正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為.故15．【正確答案】①②【詳解】對(duì)于①，，①正確；對(duì)于②，，平面，平面，平面，平面平面，平面，，②正確；對(duì)于③，取中點(diǎn)，連接，平面，，，，又四邊形正方形，，，即三點(diǎn)共線；，，平面，又平面，；設(shè)，則，，，；過(guò)作，分別交于點(diǎn)，，，平面，又平面，，同理可得：；，，，又，四棱錐的表面積；的幾何意義表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，，無(wú)最大值，即四棱錐的表面積有最小值，無(wú)最大值，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，則，，；若四棱錐的四個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直，則平面，平面，平面兩兩互相垂直，，方程組無(wú)解，不存在點(diǎn)，使得四棱錐的四個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直，④錯(cuò)誤.故①②.16．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）且，，，..即；（2）由（1）知，又，因?yàn)辄c(diǎn)在平面ABC內(nèi)，共面，所以根據(jù)向量共面的充要條件可知，存在，使，所以，解得.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）平面，證明如下:連結(jié)，設(shè)，由四棱柱，知四邊形為平行四邊形，所以為中點(diǎn)，又是BC的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以又平面平面，所以平面（2）因?yàn)橹彼睦庵云矫鍭DC，又，所以?xún)蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，設(shè)平面法向量，則，即，令，則，所以又平面法向量為，設(shè)平面與平面成角為，則.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)不存在，理由見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以，又，所以又平面PAD所以平面PAD，又平面PCD，所以平面平面PCD.（2）因?yàn)槠矫?，所以AP，AB，AC兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，則設(shè)，，假設(shè)存在滿足，因?yàn)榈葍r(jià)于，解得，所以不存在（3）因?yàn)?，所以?/p>

，設(shè)，其中，又，，設(shè)平面PBC法向量，依題意，即令則，所以，因?yàn)镻D與平面PBC成角大小，所以或，即又，此方程組無(wú)解綜上可得.19．【正確答案】C【詳解】，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，所以，又，所以，因此直線與直線所成的角為.故選：C.20．【正確答案】D【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，到平面的距離是，所以，，令，解得，故為平面的一個(gè)法向量，由點(diǎn)到平面的距離公式得，故D正確.故選：D21．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由A可知平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由A可知平面，在矩形中，，已知直線與平面所成角等于，在中，，，則，可得，易知，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面平面，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，，由圖可知與不平行，則此與假設(shè)矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：D.22．【正確答案】D【詳解】過(guò)作圓于，連接，所以為直線與圓所在平面所成的角，與圓所在平面成角的大小為，則，又圓，所以，，所以，設(shè)，因?yàn)闉辄c(diǎn)處的法線，則由反射定律可知，由，所以，所以，解得，設(shè)，圓的半徑為，所以，，，在中，由余弦定理可得，解得，所以為等邊三角形，所以，所以光線路徑在垂直于光纖軸的截面上的投影可能故選：D.23．【正確答案】【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由可知，可得，又的中點(diǎn)為可得，且又因?yàn)橹倍娼牵矫嫫矫?，所以平面；由平面，所以，由可得，所以，因此，可得；顯然點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等且為1，因此即為三棱錐外接球的球心；即三棱錐外接球的半徑為1，可得其體積為.故，24．【正確答案】【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），為棱上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，且，所以，顯然當(dāng)取最大值且時(shí)，上述解析式的值最小，所以當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為.故答案為.25．【正確答案】【詳解】由題意，在平面內(nèi)作交的延長(zhǎng)線于，在平面內(nèi)作，垂足為，連接，取線段的中點(diǎn)為，連接，作圖如下：因?yàn)椋?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在與中，由題意可知，，，則全等于，所以，在中，由為中點(diǎn)，則，由，則，在中，，則，可得，則，已知，在中，，由圖可得為二面角的平面角，則.故答案為.26．【正確答案】①②④【詳解】由題意可知，所得旋轉(zhuǎn)體由上下兩圓錐與中間若干圓臺(tái)組成.如圖1，取的中點(diǎn)，則，由題意可知，.在中，，則各圓錐與圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，如圖2，連接，同理可得，.設(shè)自上而下各底面圓半徑依次為，則；同理可得，，故所得旋轉(zhuǎn)體的表面積，故④正確；對(duì)①，當(dāng)時(shí)，故①正確；對(duì)②，由，則，由已知，得，則，故，即故②正確；對(duì)③，由，可知，又當(dāng)，則，故無(wú)最大值，即③錯(cuò)誤.故①②④.27．【正確答案】①②【詳解】解：對(duì)于①，取中點(diǎn)，連接，設(shè)，易證共面且平面平面，所以當(dāng)從開(kāi)始沿射線DF運(yùn)動(dòng)時(shí)平面與平面夾角先增大后減小，當(dāng)平面與平面重合時(shí)兩面夾角為直角且最大，故①正確；對(duì)于②，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，設(shè)，，在正方形中，可證明，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋云矫?，所以平面平面過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以垂足在直線上且，當(dāng)從