第10講 幾何法秒解離心率問題（解析版）

一．選擇題（共19小題）1．過雙曲線的右焦點(diǎn)，作圓x2+y2=的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線左支于點(diǎn)M，且E是MF的中點(diǎn)，則雙曲線離心率為()【解答】解：如圖，記右焦點(diǎn)為F’，則O為FF’的中點(diǎn)，:E為PF的中點(diǎn)，:OE為△FF’P的中位線，:PF’=2OE=a，:E為切點(diǎn)，:OE丄PF，:PF’丄PF，2，:9a2+a2=4c2，即10a2=4c2，:離心率故選：B.，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．圓x2+y2=a2+b2與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，且2|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為()【解答】解：可設(shè)A為第一象限的點(diǎn)，且|AF1|=m，|AF2|=n，聯(lián)立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2故選：D.3．如圖，已知橢圓過原點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為橢范圍為():2csinα+2ccosα=2a，’ 故選：B.所以所以則|AF2|AF|cosA，整理可得所以，故選：B.|，則橢圓C的離心率為()|PF過F2作F2N丄PQ，在直角三角形中，|N2，|QN|=22故選：B.6．如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象【解答】解：F1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn)，代入橢圓方程可得可得代入雙曲線方程可得可得：則C1與C2的離心率之和為：2.故選：A.7．設(shè)F2是雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F2的直線交雙曲則雙曲線C的離心率為()【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形MF2PF1為平行四邊形.:|MF1|=|PF2|，MF1//PN.2，:，:雙曲線的離心率.故選：C.8．設(shè)橢圓=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，M為橢圓上一點(diǎn)，且上MF2AA，則橢圓C的離心率為()【解答】解：設(shè)橢圓=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，2-1=解得可得故選：B.9．已知雙曲線=1(a>0,b>0)過C的右焦點(diǎn)F作垂直于漸近線的直線l交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)分別在一、四象限，若則雙曲線C的離心率為( 【解答】解：由題意知：雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)，漸近線方程為，如下圖所示：化簡可得：a2=3b2，即由雙曲線離心率公式可知故選：A.10．設(shè)直線x3y+m=0(m≠0B，若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是() 【解答】解：由雙曲線的方程可知，漸近線為y=±x，分別與x3y+m=0(m≠0):AB中點(diǎn)坐標(biāo)為9b2a2m:a=2b，:c=·b，故選：A.垂線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A．已知QA，點(diǎn)P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，且PF1+PQ>F1F2恒成立，則雙曲線離心率的取值范圍是()22a2)，F(xiàn)2|恒成立，故選：A.存在一點(diǎn)P，使得則橢圓C的離心率的取值范圍為()【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理知聯(lián)立①②得|P :橢圓C的離心率的取值范圍為(2一1,1).故選：C.|PF雙曲線C的左、右兩支各交于一點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()【解答】解：以PF1，PF2為邊，作平行四邊形PF1EF2，如圖所示：|，因?yàn)閷?duì)角線相等的平行線四邊形是矩形，所以PF1丄PF2，|222，2|PF2224a224a2，2，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以1<e<，由題意知，雙曲線的漸近線方程為，又直線l:3x+4y3c=0與雙曲線C的左右兩支各交于一點(diǎn)，所以直線l的斜率大于雙曲線的漸近線x的斜率，21綜上所述故選：D.右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF丄x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過OE的三等分點(diǎn)G（靠近O點(diǎn)則C的離心率為()解：如圖，由MF//OE，所以故選：B.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，|F1F2|=6，P是E右支上一點(diǎn)，PF1與y軸交于點(diǎn)A，ΔPAF2的內(nèi)切圓在邊AF2上的切點(diǎn)為Q，若|AQ|=·3，則E的離心率是()【解答】解：設(shè)ΔPAF2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點(diǎn)為M，在AP上的切點(diǎn)為N， |PM||MF2|故選：C.16．已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)線交C于點(diǎn)M，點(diǎn)M位于第一象限，若△AF2M為等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為():△AF2M為等腰直角三角形，|AF2|=a+c，MF2丄AF2，22a2，故選：B.圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，若AM丄AN，則C的離心率為()【解答】解：由雙曲線的方程可得漸近線的方程為：y=±x，即bx±ay=0，由題意可得A(a,0)，所以A到漸近線的距離 所以故選：B.18．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若上MAN=60O，則雙曲線C的離心率【解答】解：雙曲線的右頂點(diǎn)為A(a,0)，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).故選：A.19．過橢圓的左頂點(diǎn)A作圓x2+y2=c2(2c是橢圓的焦距）兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若上MAN=60O，則該橢圓的離心率為()所以離心率故選：A.二．填空題（共11小題）20．已知F是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，線段PF交以C的實(shí)軸為直徑的圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B是線段PF的三等分點(diǎn)，則C的離心率為【解答】解：如圖：OF=c，OA=a，PF=3AB，M是PF的中點(diǎn)，也是AB的中點(diǎn)，一一m2一m2一2，2故答案為：.Q|，則橢圓的離心率為.【解答】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為F22222，即(2c)2(3k)2=(2a5k)2(8故答案為：.22．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是.點(diǎn)A為橢圓，又四邊形AF1BF2為矩形，:x2+y2=(2c)2=32，② ||AF:C2的離心率是. 故答案為：2.23．已知雙曲線若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是2.由題意可設(shè)故答案為：2.24．已知直線y=kx與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)A，B，F(xiàn)為雙曲線C的左焦點(diǎn)，且滿足|AF|=3|BF|，|OA|=b(O為坐標(biāo)原點(diǎn)則雙曲線C的離心率為 3.【解答】解：設(shè)|BF|=m，則|AF|=3|BF|=3由平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，故答案為：.25．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，直線y=kx與曲線C交于AF2 故答案為：.26．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，A，B是雙曲線的一條漸近線上———→———關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AFBF=0且線段AF的中點(diǎn)M落在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為———→———【解答】解：如圖，由題知AF丄BF，則OA=OB=OF，點(diǎn)M是線段AF的中點(diǎn)，則OM丄AF，故答案為：2.27．設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O、所成的角為60O的直線A1B1和=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是【解答】解：不妨設(shè)雙曲線的方程是B2|及雙曲線的對(duì)稱性知A1，A2，B1，B2關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖，又」?jié)M足條件的直線只有一對(duì)，當(dāng)直線與x軸夾角為30O時(shí)，雙曲線的漸近線與x軸夾角大于30O，雙曲線與直線才能有交點(diǎn)A1，A2，B1，B2，若雙曲線的漸近線與x軸夾角等于30o，則