第16講 弦長(zhǎng)問(wèn)題及長(zhǎng)度和、差、商、積問(wèn)題（原卷版）

一．解答題（共25小題）1．橢圓E:的焦點(diǎn)到直線x—3y=0的距離為，離心率為物線G:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)重合，斜率為k的直線l過(guò)G的焦點(diǎn)與E交于（1）求橢圓E及拋物線G的方程；（2）是否存在常數(shù)λ,使得為常數(shù)？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 2．橢圓E:=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F到直線x—3y=0的距離為，拋物線G:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)F重合，過(guò)F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點(diǎn)，交拋物線于C，D兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓E及拋物線G的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交拋物線于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)常數(shù)為常數(shù)．若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由. 一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)與一個(gè)短軸端點(diǎn)間的距離為10.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）給出定點(diǎn)Q(，0)，對(duì)于橢圓C的任意一條過(guò)Q的弦AB，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.≤|AF|.|BF|≤求直線l的斜率k的取值范圍. 5．已知F1，F(xiàn)2為橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(1,)在橢圓上，且過(guò)點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△AF1B的周長(zhǎng)為4.(Ⅱ)我們知道拋物線有性質(zhì)：“過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F的弦AB滿足|=λ|AF2|.|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.6．已知橢圓C:+=1(a>b>0)，橢圓（1）求橢圓C的方程；（2）若過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求|AF2|.|F2B|的取值范圍.存在且不為零的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△F1AB的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓C的方程；（2）已知弦AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，求證：為定值.1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的點(diǎn)，且3(Ⅱ)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)B作斜率為k(k>0)的直線l交橢圓C于另一點(diǎn)M，點(diǎn)N在橢圓C上，且BM丄BN，求證：存在k∈[,]，使得|BN|=2|BM|.為k的直線l交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M，N，F(xiàn)1，F(xiàn)2恰在以MF1為直徑且面積為9的圓上. ,F2分別為左、右焦點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足MF1丄MF2，且△MF1F2的面積為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)T(1,0)作斜率為k(k>0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓于點(diǎn)P，Q，證明：為定值.11．平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)(—1,0)是橢圓的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且方向向量為的光線，經(jīng)直線y=—b反射后通過(guò)左(I)求橢圓Γ的方程；(II)過(guò)點(diǎn)F作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓Γ于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM(O為原點(diǎn)）與直線x=m(m<0)交于點(diǎn)P，若滿足|FP+FM|=|MP|，求m的值.過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.13．已知橢圓的離心率為過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|MA|=λ|MB|，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，|AB|=·.（1）求橢圓C的方程；求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍. 14．橢圓C:的左，右焦點(diǎn)應(yīng)分別是F1，F(xiàn)2，離垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l1:x+2y2與橢圓C切于點(diǎn)T(、i2，直線圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l1交于點(diǎn)M．證明：存在常數(shù)λ,使得=λ|MA|.|MB|，并求λ的值；（3）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)上F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0)，求m的取值范圍.短軸為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為3.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線l交橢圓于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且λ=的取值范圍. 短軸為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為3.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線l交橢圓于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且λ=|MA|.|MB|，求λ的取值范圍.17．已知拋物線C的方程為x2=2y，A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且MA丄MB，其中M(2,2)，(Ⅱ)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為的取值范圍.（1）試判斷曲線C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若過(guò)點(diǎn)M(1,0)直線l與曲線C2交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，求的取值范圍.19．如圖，設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)準(zhǔn)線l上一點(diǎn)M(—1,0)且斜率為k的直線l1交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，直線PF交拋物線C于D，E兩點(diǎn).λ|FD|.|FE|，試寫(xiě)出λ關(guān)于k的函數(shù)解析式，并求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.20．橢圓C:過(guò)點(diǎn)P(，左焦點(diǎn)為F，PF與y軸交于點(diǎn)Q，且滿足2=1，直線l:y=kx+m與圓O相切且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，21．橢圓C:過(guò)點(diǎn)P(，左焦點(diǎn)為F，PF與y軸交于點(diǎn)Q，且滿足2=1，直線l:y=kx+m與圓O相切且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，求弦長(zhǎng)|AB|的范圍，并求當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最大時(shí)，直線l的方程.22．設(shè)橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，(c,0)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足求橢圓離心率的范圍.（3）在（1）的條件下，是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且OA丄OB？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB|23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F(2,0)，M(—2,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足2|OF.MP|=|PF|.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)D(1,0)作直線AB交C于A，B兩點(diǎn)，若ΔAFD的面積是ΔBFD的面積的2倍，24．過(guò)拋物線y2=2px(p>2)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M(1,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AM|+|AF|的最小值為3.（2）過(guò)點(diǎn)F作直線l丄AB，交拋物線于C、D兩點(diǎn)，求|AF||BF|+|CF||DF|的取值范圍.25．在①離心率，②橢圓C過(guò)點(diǎn)③