高考真題專(zhuān)題分類(lèi)匯編復(fù)數(shù)十年高考含答案與解析

6.3復(fù)數(shù)考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念1.(2023新課標(biāo)Ⅱ,1,5分,易)在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)·(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案A(1+3i)(3-i)=6+8i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(6,8)位于第一象限,故選A.2.(2023全國(guó)乙文,1,5分,易)|2+i2+2i3|=()A.1B.2C.5D.5答案C|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=5,故選C.3.(2023北京,2,4分,易)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,3),則z的共軛復(fù)數(shù)z=()A.1+3iB.1?C.-1+3iD.?1?答案D由題知復(fù)數(shù)z=-1+3i,則z=?1?34.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i為虛數(shù)單位),則a=()A.-1B.1C.-3D.3答案C解題指導(dǎo):先將等式左邊化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得出結(jié)果.解析由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故選C.方法總結(jié)設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1=z2的充要條件是a5.(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位),則()A.a=1,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3答案B∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故選B.6.(2022北京,2,4分)若復(fù)數(shù)z滿足i·z=3-4i,則|z|=()A.1B.5C.7D.25答案B由i·z=3-4i可知,z=3?4ii=(3?4i)·(?i)i(?i)=-4-3i,故|z|=7.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,則z+z=()A.-2B.-1C.1D.2答案D由題意知1-z=1i=-i,所以z=1+i,則z=1-i,所以z+z=(1+i)+(1-i)=2,故選D8.(2022全國(guó)乙文,2,5分)設(shè)(1+2i)a+b=2i,其中a,b為實(shí)數(shù),則()A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1答案A由題意知(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,9.(2022全國(guó)乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù),則()A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2答案A由題意知z=1+2i,所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+az+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以a+b+1=0,10.(2021全國(guó)乙理,1,5分)設(shè)2(z+z)+3(z-z)=4+6i,則z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故選C.11.(2019課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)設(shè)z=i(2+i),則z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴z=-1-2i,故選D.解題關(guān)鍵正確理解共軛復(fù)數(shù)的概念是求解的關(guān)鍵.12.(2017課標(biāo)Ⅲ文,2,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2),位于第三象限.故選C.13.(2017課標(biāo)Ⅲ理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則|z|=()A.12B.22C.答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模.∵(1+i)z=2i,∴z=2i1+i=2∴|z|=12+1一題多解∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即12+1214.(2017課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和純虛數(shù)的定義.A.i(1+i)2=i×2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故選C.15.(2016課標(biāo)Ⅰ理,2,5分)設(shè)(1+i)x=1+yi,其中x,y是實(shí)數(shù),則|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2答案B∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴x=1,y=1,∴|x+yi|=|1+i|=12+評(píng)析本題考查復(fù)數(shù)相等的條件,屬容易題.16.(2016課標(biāo)Ⅰ文,2,5分)設(shè)(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,其中a為實(shí)數(shù),則a=()A.-3B.-2C.2D.3答案A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故選A.解后反思將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.評(píng)析本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,y∈R)的形式是解題關(guān)鍵.17.(2016課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則z=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案Cz=3-2i,所以z=3+2i,故選C.18.(2016課標(biāo)Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,則z|A.1B.-1C.45+35iD.45答案D由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,則z|z|19.(2015安徽理,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)2i1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案B∵2i1?i=2i(1+i20.(2015課標(biāo)Ⅰ理,1,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+z1?A.1B.2C.3D.2答案A由已知1+z1?z=i,可得z=i?1i21.(2015湖北理,1,5分)i為虛數(shù)單位,i607的共軛復(fù)數(shù)····為A.iB.-iC.1D.-1答案A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,∴i607的共軛復(fù)數(shù)為i.22.(2014課標(biāo)Ⅱ理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng),z1=2+i,則z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案A由題意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故選A.23.(2014重慶理,1,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1-2i)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案Ai(1-2i)=i-2i2=2+i,對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(2,1),在第一象限.選A.24.(2014課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)設(shè)z=11+i+i,A.12B.22C.答案Bz=11+i+i=1?i2+i=12+12i,因此|z|=125.(2013課標(biāo)Ⅰ理,2,5分)若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|,則z的虛部為()A.-4B.-45C.4D.答案D∵|4+3i|=42+32=5,∴z=53?4i=5(3+4i)26.(2013課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)21+A.22B.2C.2D.1答案C21+i=2(1?i)27.(2016課標(biāo)Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)答案A由已知可得m+3>0,m?1<0?m方法總結(jié)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),所以研究復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置時(shí),關(guān)鍵是確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.28.(2016山東,1,5分)若復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3-2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B設(shè)z=a+bi(a、b∈R),則2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故選B.29.(2019江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值是.

答案2解析本題考查了復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的實(shí)部為0,∴a-2=0,解得a=2.解題關(guān)鍵掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及代數(shù)形式的四則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.30.(2017江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+2i),其中i是虛數(shù)單位,則z的模是.

答案10解析本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,∴|z|=32+(?31.(2016江蘇,2,5分)復(fù)數(shù)z=(1+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位,則z的實(shí)部是.

答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的實(shí)部為5.32.(2016北京理,9,5分)設(shè)a∈R.若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,則a=.

答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,∴a+1=0,∴a=-1.33.(2015天津,9,5分)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.

答案-2解析∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i為純虛數(shù),∴1?234.(2015重慶理,11,5分)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為3,則(a+bi)(a-bi)=.

答案3解析復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為a2+b2=3,則a2+b2=3,則(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.(2023全國(guó)甲理,2,5分,易)設(shè)a∈R,(a+i)(1-ai)=2,則a=()A.-2B.-1C.1D.2答案C因?yàn)?a+i)(1-ai)=a-a2i+i-ai2=2a+(1-a2)i=2,所以2a=2,1?a2=0,2.(2023新課標(biāo)Ⅰ,2,5分,易)已知z=1?i2+2i,則z-z=(A.-iB.iC.0D.1答案Az=1?i2(1+i)=(1?i)22(1+i)(1?i)=?2i4=-12i,∴z=12i,∴z3.(2023全國(guó)乙理,1,5分,易)設(shè)z=2+i1+i2+i5,則A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i答案Bz=2+i1+i2+i5=2+i1?1+i=(2+i)ii4.(2023全國(guó)甲文,2,5分,易)5(1+i3)(2+i)(2?i)=A.-1B.1C.1-iD.1+i答案C5(1+i3)(2+i)(2?i)=5(1?i)4?i5.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,則z(z+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C∵z=2-i,∴z=2+i,∴z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故選C.6.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i答案D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故選D.7.(2022全國(guó)甲文,3,5分)若z=1+i,則|iz+3z|=()A.45答案D∵z=1+i,∴iz=i-1,3z=3(1-i)=3-3i,∴iz+3z=2-2i,∴|iz+3z|=22.故選8.(2021全國(guó)甲理,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,則z=()A.-1-32C.-32答案B解法一:由題意得z=3+2i(1?i)2解法二:設(shè)z=a+bi(a,b∈R).由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,∴a=-1,b=32,∴z=-1+32i.故選9.(2022全國(guó)甲理,1,5分)若z=-1+3i,則zzz?1=(A.-1+3i答案C因?yàn)閦=-1+3i,所以zzz?1=?1+10.(2021全國(guó)乙文,2,5分)設(shè)iz=4+3i,則z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C解題指導(dǎo):解法一:直接用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解;解法二(待定系數(shù)法):利用方程思想求解.解析解法一:由題意得z=4+3ii=(4+3i)ii2解法二:由題意,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則iz=i(a+bi)=-b+ai,又iz=4+3i,所以a=3,b=-4,則z=3-4i,故選C.易錯(cuò)警示學(xué)生不熟悉復(fù)數(shù)的除法法則,在運(yùn)算中出錯(cuò).11.(2021北京,2,4分)若復(fù)數(shù)z滿足(1-i)·z=2,則z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案D解法一:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),因?yàn)?1-i)·z=2,即a+b+(b-a)i=2,所以a+b=2,b?a=0,解得a=b=1,解法二:因?yàn)?1-i)·z=2,所以z=21?i=2(1+i)(1?i)(1+i)=1+i12.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2?i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i答案D2?i1+2i=(2?i)(1?2i)(1+2i)(1?2i)=13.(2019課標(biāo)Ⅰ文,1,5分)設(shè)z=3?i1+2A.2B.3C.2D.1答案C本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算;考查了運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.∵z=3?i=3?7i+2i21∴|z|=152+?7易錯(cuò)警示易將i2誤算為1,導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).14.(2019北京,理1,文2,5分)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z·z=()A.3B.5C.3D.5答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.∵z=2+i,∴z=2-i,∴z·z=(2+i)·(2-i)=4+1=5,故選D.15.(2018課標(biāo)Ⅱ文,1,5分)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故選D.16.(2018課標(biāo)Ⅲ,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故選D.17.(2018北京理,2,5分)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)11?A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算和幾何意義.∵11?i=1+i(1?i)(1+i)=12+12i,∴其共軛復(fù)數(shù)為12-18.(2017課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i答案B本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故選B.19.(2017山東文,2,5分)已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足zi=1+i,則z2=()A.-2iB.2iC.-2D.2答案A本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.由zi=1+i得z=1+i所以z2=(1-i)2=-2i,故選A.20.(2016課標(biāo)Ⅲ理,2,5分)若z=1+2i,則4iA.1B.-1C.iD.-i答案C∵zz=(1+2i)(1-2i)=5,∴4izz?121.(2016北京文,2,5分)復(fù)數(shù)1+2iA.iB.1+iC.-iD.1-i答案A1+2i2?i=(1+2i)(2+i22.(2015課標(biāo)Ⅱ理,2,5分)若a為實(shí)數(shù),且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=()A.-1B.0C.1D.2答案B∵(2+ai)(a-2i)=-4i?4a+(a2-4)i=-4i,∴4a=0,23.(2015課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=1+i,則z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C由已知得z=1+ii+1=2-i,24.(2015課標(biāo)Ⅱ文,2,5分)若a為實(shí)數(shù),且2+ai1+A.-4B.-3C.3D.4答案D由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故選D.25.(2015安徽文,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)(1+2i)=()A.3+3i