人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》同步測(cè)試題及答案

第第頁(yè)人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》同步測(cè)試題及答案考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.

(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：3．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問題：一是分類討論，分別就焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.4．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，,為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)三角形——焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式

①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③設(shè)，，則.【題型1曲線方程與橢圓】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給曲線方程表示橢圓，結(jié)合橢圓的標(biāo)椎方程進(jìn)行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲線C:x24a+y23a+2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-1】（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）“1<m<5”是“方程x2m?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程x225?m+y2m+9=1A．?9<m<25 B．?8<m<25C．9<m<25 D．8<m<25【變式1-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若方程x225?k+y2k?9=1A．9,25 B．?∞,9∪25,+【題型2橢圓的定義】【方法點(diǎn)撥】利用橢圓的定義解決涉及焦點(diǎn)相關(guān)問題的計(jì)算：一般地，遇到有關(guān)焦點(diǎn)問題時(shí)，首先應(yīng)考慮用定義來(lái)解題，如題目中有橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離可考慮用定義解題，另外，對(duì)定義的應(yīng)用也應(yīng)有深刻理解，知道何時(shí)應(yīng)用、怎樣應(yīng)用.【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P為橢圓4x2+y2=16上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)A．13 B．1 C．7 D．5【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P為橢圓C:x216+y212=1上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)A．32 B．2 C．56【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x29+y23A．13 B．12 C．9 D．6【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓x29+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,A．30° B．60° C．120° D．150°【題型3橢圓方程的求解】 【方法點(diǎn)撥】(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)所給條件設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)，即可得解.【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【變式3-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是?22,0和22,0，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)A．x216+C．x224+【變式3-2】（2022·寧夏二模（文））已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F（0，-5），P為C上一點(diǎn)，滿足|OP|=|OF|,|PF|=4則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y215+C．y212+【變式3-3】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離和是26，則橢圓的方程為（

）A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2169＝1 C．【題型4動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法】【方法點(diǎn)撥】解橢圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題主要有以下兩種思路：(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法：若動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足已知曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的基本量.【例4】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(0，－1)，B(0，1)兩點(diǎn)，△ABC的周長(zhǎng)為6，則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程是（

）A．x24+B．y24+C．x24+D．y24+【變式4-1】（2021·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)Mx,y始終滿足關(guān)系式x2+(y+2)2A．x216+y212=1 B．【變式4-2】（2022·江蘇·高二開學(xué)考試）已知圓C的方程為x?12+y2=16，B?1,0，A為圓C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段AB的垂直平分線與直線A．x216+y29=1 B．【變式4-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知△ABC的周長(zhǎng)等于10，BC=4，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，頂點(diǎn)A的軌跡方程可以是（

A．x29+C．x236+【題型5橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題】【方法點(diǎn)撥】①關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，可結(jié)合橢圓的定義列出=2a，利用這個(gè)關(guān)系式便可求出結(jié)果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點(diǎn)三角形問題的常用方法.②在橢圓中，焦點(diǎn)三角形引出的問題很多，在處理這些問題時(shí)，經(jīng)常利用定義結(jié)合正弦定理、余弦定理及勾股定理等來(lái)解決，還經(jīng)常用到配方法、解方程及把看成一個(gè)整體等.【例5】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓x216+y24=1上，F(xiàn)1與A．43 B．63 C．83【變式5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若F為橢圓C：x225+y216=1的右焦點(diǎn)，A，B為A．4 B．8 C．10 D．20【變式5-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓x24+y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過FA．2 B．4 C．6 D．8【變式5-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)P為橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)A．△PF1F2為銳角三角形C．△PF1F2為直角三角形 D．P，【題型6橢圓中的最值問題】【例6】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知F是橢圓C:x24+y23=1的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A．3 B．5 C．41 D．13【變式6-1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）F1，F(xiàn)2分別為橢圓x24+y23=1的左?A．4?102 B．2?102 C．【變式6-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓x225+y216=1上一動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x+3)A．4 B．5 C．6 D．7【變式6-3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A1,1，F(xiàn)1是橢圓5x2+9y2A．6+2；6?2 B．4+2；4?2 C．6+22；6?2參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·浙江·高二期末）已知橢圓x225+y2m2A．3 B．4 C．9 D．21【解題思路】由a2【解答過程】由題知c=4，a所以m2=25?42=9故選：A.2．（3分）（2021·北京高二期中）設(shè)p:mx2+ny2=1表示的是橢圓；q:m>0,n>0，則A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)橢圓方程的特征以及充分條件必要條件的概念可得結(jié)果.【解答過程】若mx2+ny2=1表示的是橢圓，則反例：當(dāng)m=n=1時(shí)，mx2+n即p是q成立的充分不必要條件，故選：A.3．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知F1、F2是橢圓C:x216+A．有最大值，為16 B．有最小值，為16C．有最大值，為4 D．有最小值，為4【解題思路】依據(jù)橢圓定義，再利用均值定理即可求得PF【解答過程】由題意知，a=4，則PF由基本不等式，知PF（當(dāng)且僅當(dāng)PF1=故選：A．4．（3分）（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓O:x2+y2=4，從圓上任意一點(diǎn)M向x軸作垂線段MN，N為垂足，則線段A．x24+y2=1 B．x【解題思路】利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解.【解答過程】設(shè)線段MN的中點(diǎn)Px,y，Mx所以x=x0y=又點(diǎn)M在圓O:x則x2+2y故選：A.5．（3分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【解題思路】首先設(shè)MF1=m，MF2【解答過程】設(shè)MF1=m，MF2=n，因?yàn)镸F1⊥MF2，MF1?MF2=8，故選：C.6．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）F是橢圓x29+y25=1的左焦點(diǎn)，PA．9?2 B．3+2 C．6?2【解題思路】根據(jù)題意，將求兩線段之和的最小值轉(zhuǎn)變?yōu)閮删€段之差的絕對(duì)值的最大值即可.【解答過程】橢圓x29+如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'則PF+∴PA+PF由圖形知，當(dāng)P在直線AF'上時(shí)，當(dāng)P不在直線AF根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，PA－∴當(dāng)P在F'A的延長(zhǎng)線上時(shí)，PA∴PA+PF故選：C．7．（3分）（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2A．8 B．82 C．16 D．【解題思路】求出PF2，可知△PF1F2為等腰三角形，取PF【解答過程】在橢圓x225+y216=1中，a=5由橢圓的定義可得PF取PF2的中點(diǎn)M，因?yàn)镻F由勾股定理可得MF所以，S△P故選：B.8．（3分）（2022·陜西·高三階段練習(xí)（理））已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，其左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．x212+y29=1 B．【解題思路】由離心率的值，可得a,c的關(guān)系，由三角形的內(nèi)切圓的面積，求出內(nèi)切圓的半徑，再由∠F1PF2=π3及余弦定理可得【解答過程】由離心率e=12，得ca因?yàn)椤鱂1PF2的內(nèi)切圓的面積為π，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r由橢圓的定義可知PF在△F1PF2即PF∴PF∴3PF1所以S△而S△所以可得34a2=3由a2=b所以該橢圓的方程為x2故選：A．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將一個(gè)橢圓繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)90°，若所得橢圓的兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，則稱該橢圓為“對(duì)偶橢圓”.下列橢圓的方程中，是“對(duì)偶橢圓”的方程的是（

）A．x28+C．x26+【解題思路】根據(jù)對(duì)偶橢圓的定義求出a,b，再根據(jù)關(guān)系逐一判斷即可.【解答過程】由題意，根據(jù)對(duì)偶橢圓定義，在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，b=c，則a2A，a2=8，b2B，a2=5，b2C，a2=6，b2D，a2=9，b2故選：AC.10．（4分）（2022·湖北·高三開學(xué)考試）對(duì)于曲線C:x24?kA．曲線C不可能是橢圓B．“1<k<4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件C．“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是“3<k<4”的必要不充分條件D．“曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是“1<k<2.5”的充要條件【解題思路】根據(jù)曲線C的形狀求出參數(shù)k的取值范圍，可判斷A選項(xiàng)；利用集合的包含關(guān)系可判斷BCD選項(xiàng).【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線C為橢圓，則4?k>0k?1>04?k≠k?1，解得1<k<4且對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閗1<k<4k1<k<2.5或所以，“1<k<4”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k?1>4?k4?k>0，解得2.5<k<4又因?yàn)閗2.5<k<4k所以，“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是“3<k<4”的必要不充分條件，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則k?1<4?kk?1>0，解得1<k<2.5所以，“曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是“1<k<2.5”的充要條件，D對(duì).故選：CD.11．（4分）（2022·江蘇·高二）已知P是左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2的x212+A．MP的最大值為5 B．PC．存在點(diǎn)P，使∠F1PF2【解題思路】設(shè)P(x0,y0)，則x02=12?3y02，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求解判斷A；根據(jù)橢圓定義判斷B；根據(jù)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，【解答過程】解：對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)P(x0,y0所以MP=x0又?2≤y0≤2，所以當(dāng)y對(duì)于B選項(xiàng)，由橢圓定義，PF對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，PO=2，OF2=22，tan對(duì)于D選項(xiàng)，PF1?PF2≤F1F2故選：BD.12．（4分）（2022·福建福州·高二期末）已知橢圓C：x225+y29=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2A．存在P使得∠F1PF2C．PF1⊥PF2，則△F1P【解題思路】設(shè)橢圓C短軸頂點(diǎn)為D,E根據(jù)DF1?DF2<0得∠F1PF【解答過程】解：設(shè)橢圓C短軸頂點(diǎn)為D,E，由題知橢圓C：x225+所以，F(xiàn)1?4,0，F(xiàn)24,0，對(duì)于A選項(xiàng)，由于DF1=?4,?3,DF2=對(duì)于B選項(xiàng)，記|PF1|=m,|P由余弦定理：cos∠≥18m+n2對(duì)于C選項(xiàng)，由于PF1⊥PF2對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)Px,yx≠±5,A?5,0,B5,0，則故選：ABC.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式x2+y+32+【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，即可判斷點(diǎn)M軌跡滿足橢圓的定義.【解答過程】x2+y+32+x2+y?32=43可看作M（x，y）到故答案為：橢圓.14．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過橢圓x24+y2=1的左焦點(diǎn)F1，作不垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B【解題思路】利用橢圓的定義，即可求解周長(zhǎng).【解答過程】由橢圓x24+由橢圓的定義可得AF所以△ABF2的周長(zhǎng)故答案為：8.15．（4分）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A(1,3)，F(xiàn)是橢圓C：x29+y25=1【解題思路】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義推理計(jì)算作答.【解答過程】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F'，依題意，F(xiàn)'(2,0)而||PA|?|PF'||≤|AF'因此，|PA|+|PF|≥|PF|+|PF'|?2=4，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段F所以|PA|+|PF|的最小值為4.故答案為：4.16．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，F(xiàn)(?25,0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且滿足OP=OF，PF=4，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x【解題思路】引入右焦點(diǎn)為F'，根據(jù)平面幾何性質(zhì)得PF⊥PF'，由勾股定理求得PF'【解答過程】設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b由已知，得c=25．又OP=OF=OF'在Rt△FPF'由橢圓的定義，可知2a=PF+PF'=4+8=12所以b2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故答案為：x2四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓x2100+y236=1【解題思路】由橢圓定義求得PF1，PF2，利用P分別在以F1【解答過程】解：由已知a=10,b=6，c=100?36=8，F(xiàn)1PF1+所以PF1=15因此點(diǎn)P在分別以F1、F因此(x+8)2+y所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為25418．（6分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過點(diǎn)Q22,1(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)P13,【解題思路】（1）法一：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1，根據(jù)與橢圓x29+y（2）方法一：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a12+y2b12=1（a1>b1【解答過程】（1）解：方法一：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2由x29+y24又點(diǎn)Q22,1在所求橢圓上，所以由①②得a2=10，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2方法二：設(shè)所求橢圓的方程為x2因?yàn)辄c(diǎn)Q2所以89+λ+1所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）方法一：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a1依題意有132a由a1當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2依題意有132a所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2方法二：設(shè)橢圓的方程為mx2+y2=1（依題意有19m+1所以所求橢圓的方程為5x2+419．（8分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓x225+y2(1)若∠F1P(2)求PF【解題思路】（1）根據(jù)橢圓的定義以及a,b,c的關(guān)系，結(jié)合余弦定理和面積公式即可求得；（2）由橢圓的定義結(jié)合基本不等式即可求得答案.【解答過程】（1）在橢圓x225+y29=1則PF1+在Rt△F1PF即100?2PF1則△F1P（2）設(shè)PF1=m，PF2所以10≥2mn，即mn≤25，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n所以PF20．（8分）（2021·吉林·高二階段練習(xí)（理