高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：定積分及其應(yīng)用

定積分及其應(yīng)用

6.1

定積分的概念與性質(zhì)

6.1.1定積分的概念所圍成的平面圖形.引例一求曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線x軸與兩條直線

定積分及其應(yīng)用

6.1

定積分的概念與性質(zhì)

6.1.1定積分的概念應(yīng)用極限的思想,分四步求面積A.(1)

劃分(2)

取近似長度為為高的小矩形,面積近似代替任意用分點(diǎn)(3)

求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值.(4)

取極限為了得到A的精確值,分割無限加細(xì),取極限,形的面積:極限值就是曲邊梯即小區(qū)間的最大長度設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng),已知速度是時(shí)間間隔的一個(gè)連續(xù)函數(shù),求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程.引例二

求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移

(1)劃分表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)走過的路程.(3)求和(4)取極限路程的精確值(2)取近似設(shè)函數(shù)

f(x)在[a,b]上有界,定義6.1

把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為一點(diǎn)作乘積如果不論對(duì)[a,b](1)在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)(2)在各小區(qū)間上任取(3)并作和(4)記被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.積分下限積分上限積分變量[a,b]稱為積分區(qū)間也不論在小區(qū)間上點(diǎn)說明:3.對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:而與積分變量的字母無關(guān).2.定積分是數(shù)值,僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),1.如果f(x)在[a,b]上的定積分存在,f(x)在[a,b]上可積,否則,稱f(x)在[a,b]上不可積.則稱(2)當(dāng)

時(shí),定理6.1(定積分的存在定理)(1)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上(2)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且最多只有(3)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則f(x)在[a,b]可積.有限個(gè)間斷點(diǎn),則f(x)在[a,b]上可積.上可積.例6.1

利用定義計(jì)算定積分解將[0,1]n等分,分點(diǎn)為小區(qū)間

的長度取解原式例6.2將和式極限表示成定積分.注:原式也可表示成例6.3設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[0,1]上連續(xù),且取正值.試證證由指數(shù)與對(duì)數(shù)的連續(xù)性,有6.1.2定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值取負(fù)號(hào).一般地,定積分表示介于x軸、函數(shù)

f(x)的圖形在

x軸上方的面積取正號(hào);在

x軸下方的面積及兩條直線

x=a,x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.物理意義t=b所經(jīng)過的路程

S.作直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻

t=a到時(shí)刻定積分表示以變速由定積分的幾何意義立即得到下面的幾個(gè)結(jié)論:2.如果f(x)是

上連續(xù)的奇函數(shù),則4.如果f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),則3.如果f(x)是

上連續(xù)的偶函數(shù),則例6.4

計(jì)算解在幾何上,是上底長a,下底長b,高為的直角梯形的面積,所以例6.5

計(jì)算解在幾何上,是底邊為4,高為2的三角形的面積,所以例6.6

計(jì)算解因被積函數(shù)是連續(xù)的奇函數(shù)所以在下面的性質(zhì)中,所涉及的函數(shù)都是可積的.性質(zhì)6.1(線性性質(zhì))

性質(zhì)6.2

(區(qū)間可加性)6.1.3定積分的性質(zhì)設(shè)則注:無論

a,b,c

的相對(duì)位置如何,上式總成立.例如,

若則性質(zhì)6.3(保號(hào)性)如果在區(qū)間

[a,b]上則推論6.1(保序性)

如果在區(qū)間[a,b]上則解因于是例6.7

比較積分值

和

的大小.推論6.2證因由保序性,有

即性質(zhì)6.4(定積分的估值定理)證因設(shè)M及m分別是函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上則

所以即的最大值與最小值,解設(shè)例6.8

估計(jì)定積分

的值的范圍.故證由定積分的估值定理,有性質(zhì)6.5

(定積分中值定理)使得則至少存在一點(diǎn)由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,上至少存在一個(gè)點(diǎn)如果函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù),使得在區(qū)間在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)

使得以區(qū)間[a,b]為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個(gè)矩形的面積.稱為函數(shù)

f(x)在[a,b]上的平均值.積分中值公式的幾何解釋：

例6.9計(jì)算證由積分中值定理，存在使得所以設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動(dòng),位移函數(shù)為s(t),運(yùn)動(dòng)速度為物體在時(shí)間段內(nèi)的位移

6.2

微積分基本定理則有而所以定積分記為稱為積分上限函數(shù).是

x的函數(shù),設(shè)函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù),上的一點(diǎn),并設(shè)

x為[a,b]注意:證定理6.2(微積分第一基本定理)

在[a,b]上可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為即是

f(x)的一個(gè)原函數(shù).如果f(x)在[a,b]上連續(xù),則積分上限函數(shù)有由積分中值定理即解例6.10

設(shè)在

內(nèi)連續(xù)，求令則練習(xí)

解這是型未定式,應(yīng)用洛必達(dá)法則及等價(jià)無窮小代換來計(jì)算.例6.11計(jì)算極限

解例6.12證明所以令得原命題得證.證令練習(xí)設(shè)

在[0,1]上連續(xù),且

證明方程在[0,1]上只有一個(gè)實(shí)根.由零點(diǎn)定理和單調(diào)性，原方程在[0,1]只有一個(gè)實(shí)根.在[0,1]上為單調(diào)增加函數(shù).定理6.3(微積分第二基本定理,牛頓—萊布尼茨公式)證的一個(gè)原函數(shù),如果是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上因已知

是

的一個(gè)原函數(shù)，而

也是

的一個(gè)原函數(shù),令則令牛頓—萊布尼茨公式解解例6.13

計(jì)算定積分

例6.14

計(jì)算定積分

解例6.15

設(shè)

,求解例6.16

計(jì)算原式例6.17

計(jì)算解解因定積分是數(shù)值,于是例6.18設(shè)

則等式兩邊在[0,1]上積分,得練習(xí)計(jì)算練習(xí)

計(jì)算解練習(xí)

設(shè)連續(xù)，求解原式=而故練習(xí)求極限

解由定積分的定義,有練習(xí)設(shè)

,求

在[0,2]上的表達(dá)式.

解故練習(xí)已知兩曲線在點(diǎn)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限解故所求切線方程為定理6.4(定積分的換元公式)6.3定積分的計(jì)算則設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),6.3.1定積分的換元法單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù),應(yīng)用定積分的換元公式時(shí),“換元必須換限”.解上半橢圓方程為

由對(duì)稱性,總面積等于4倍第一象限部分面積.例6.19求橢圓

的面積S.令奇函數(shù)例6.20

計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積例6.21

計(jì)算解令原式做了一個(gè)翻轉(zhuǎn),即鏡面反射.

區(qū)間上的變量代換稱為反射變換.

幾何上,它把區(qū)間[a,b]上函數(shù)的圖像繞直線證做反射變換

例6.22

求故證(1)由反射變換例6.23

若

在[0,1]上連續(xù),(2)計(jì)算(1)證明故

(2)由(1)的結(jié)論例6.24設(shè)

為連續(xù)函數(shù),證令則求故定理6.56.3.2定積分的分部積分法則有

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)

由不定積分的分部積分公式及牛頓－萊布尼導(dǎo)數(shù),或茨公式立即可得到：

例6.25

計(jì)算解令練習(xí)

計(jì)算解令解練習(xí)計(jì)算由曲線和x軸所圍成的區(qū)域的面積S.由定積分的幾何意義,所求面積例6.26

計(jì)算解例6.27

計(jì)算解積分

關(guān)于下標(biāo)的遞推公式于是為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)結(jié)論例6.28設(shè)解因求練習(xí)

計(jì)算解設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù),稱6.4廣義積分6.4.1無窮限的廣義積分如果存在,則稱廣義積分

否則,稱廣義積分發(fā)散.為在區(qū)間上的廣義積分.

定義6.2

(無窮限的廣義積分)收斂;稱為在區(qū)間上的廣義積分.

如果存在,則稱廣義積分

類似地,設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù),

否則,稱廣義積分發(fā)散.收斂;設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

連續(xù),在區(qū)間

上的廣義積分.為函數(shù)否則,稱廣義積分發(fā)散.稱如果都存在,則稱廣義積分收斂;設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),則例6.29

計(jì)算例6.29

計(jì)算解解當(dāng)

時(shí)廣義積分發(fā)散.因此,當(dāng)

時(shí)廣義積分收斂,其值為例6.30

討論廣義積分

的收斂性.解例6.31

討論廣義積分的斂散性,收斂,發(fā)散.

因此,并計(jì)算故令則6.4.2無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分)定義6.3

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間(a,b]上連續(xù),稱為

在區(qū)間(a,b]的廣義積分,否則,稱廣義積分發(fā)散.如果

存在,則稱廣義積分收斂;如果函數(shù)在點(diǎn)a的任意鄰域無界,則稱點(diǎn)a是的一個(gè)瑕點(diǎn).點(diǎn)a是的一個(gè)瑕點(diǎn).稱否則,稱廣義積分發(fā)散.如果

存在,則稱廣義積分收斂;類似地,設(shè)函數(shù)

在區(qū)間[a,b)上連續(xù),點(diǎn)b是的一個(gè)瑕點(diǎn).為

在區(qū)間[a,b)的廣義積分,稱否則,稱廣義積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)

在

連續(xù),為

在區(qū)間[a,b]的廣義積分.如果

都存在,則稱廣義積分收斂;點(diǎn)c是的一個(gè)瑕點(diǎn).類似地,設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),則當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí),當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí),解例6.32

討論廣義積分

的斂散性.因此,當(dāng)

時(shí)廣義積分收斂,其值為當(dāng)

時(shí)廣義積分發(fā)散.是瑕點(diǎn).例6.33

計(jì)算廣義積分解是瑕點(diǎn).例6.34

計(jì)算廣義積分解是瑕點(diǎn).令則此瑕積分收斂,以瑕點(diǎn)劃分積分區(qū)間有練習(xí)

計(jì)算廣義積分解是瑕點(diǎn),該積分稱為混合型廣義積分．令定積分有著廣泛的用途,先介紹建立定積分的一種簡(jiǎn)便方法--微元法(元素法)下面介紹它在幾何,物理和經(jīng)濟(jì)等問題上的簡(jiǎn)單應(yīng)用.什么量可以用定積分表示出來?6.5定積分在幾何上的應(yīng)用(1)U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;則可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量U.(2)U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性.就是說,如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,(3)部分量

的近似值可表示為當(dāng)所求量U符合下列條件：則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步驟：(1)根據(jù)問題的實(shí)際意義,確定恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,要部分,(4)求和取極限,得到并畫出草圖以幫助分析;(2)

確定所求總體量的非均勻分布函數(shù)及的變化區(qū)間(如);(3)在微小局部

上取得的線性主稱為量的微元.

求這兩條曲線及直線所圍成的區(qū)域的面積A.它對(duì)應(yīng)的面積元素dA為即1.直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積6.5.1平面圖形的面積和平面曲線的弧長

在[a,b]上任取一區(qū)間求由曲線和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對(duì)應(yīng)小區(qū)間解兩曲線的交點(diǎn)選

x為積分變量例6.38

計(jì)算由兩條拋物線

和所圍成的圖形的面積.面積元素解兩曲線的交點(diǎn)選

y為積分變量例6.39計(jì)算由曲線

和直線所圍成的圖形的面積.所求面積面積元素曲邊扇形的面積由極坐標(biāo)方程給出的平面曲線和射線所圍成的面積A.曲邊扇形2.極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積解該圖形關(guān)于x軸對(duì)稱性,所圍成的圖形的公共部分面積.例6.40

求心形線與圓

兩曲線在x軸上方的交點(diǎn)為解利用對(duì)稱性知練習(xí)求心形線圖形的面積.所圍平面設(shè)曲線弧L的參數(shù)方程為弧長為其中

在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),3.平面曲線的弧長且則稱L為光滑曲線.

弧微分設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為弧長為其中

在

上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可化成參數(shù)方程弧微分弧長為曲線的直角坐標(biāo)方程

也可以看作參數(shù)方程

其中在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

弧微分解由對(duì)稱性,星形線的全長是第一象限部分的4倍例6.41求星形線

的全長.1.已知平行截面面積的立體的體積立體體積A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù).如果一個(gè)立體介于過而垂直于x軸的兩平面之間，體積元素6.5.2體積問題解取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為截面面積立體體積垂直于x軸的截面為直角三角形.例6.42

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角

計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.底高旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條圓柱圓錐圓臺(tái)2.旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．旋轉(zhuǎn)體的體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.取積分變量為x,為底的小曲邊梯形繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積為思考:

由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求其體積.取積分變量為x,小曲邊梯形繞

y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積元素解例6.43求由橢圓圍成的圖形繞

x軸旋這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體可以看成是由上半橢圓轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.與x圍成的圖形繞

x軸旋轉(zhuǎn)而成.所求體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線及

y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體積.直線體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積解兩曲線的交點(diǎn)為繞x軸旋轉(zhuǎn)所得體積x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.例6.44求拋物線所圍成圖形繞6.6定積分在物理中的應(yīng)用

6.6.1變力沿直線所做的功由物理學(xué)知道,如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致.那么,在如果物體在運(yùn)動(dòng)的過程中所受的力是變化的,過程中有一個(gè)不變的力F作用在這物體上,物體移動(dòng)了距離

s時(shí),力F對(duì)物體所做的功為就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想.例1已知距離為r的兩個(gè)電荷間的作用力的大小為放在

r

軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處,它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)．把一個(gè)帶+q電量的點(diǎn)電荷場(chǎng)力將單位正電荷從

r=a移動(dòng)到r=b處時(shí),電場(chǎng)力對(duì)它所做的功．求電解功元素所求功為取

r

為積分變量，任取解建立坐標(biāo)系如圖例2一圓柱形蓄水池高為5米,底半徑3米,池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部吸出,需做多少功?取

x為積分變量,這一薄層水的重力為功的元素為所求功為6.6.2液體的靜壓力由物理學(xué)知道,在水深為h處的壓強(qiáng)為

如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)

p不相等,平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式,而采用“元素法”思想．這里

是水的比重.如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處,那么,平板一側(cè)所受的水壓力為解建立坐標(biāo)系.oxyC(0,5)D(20,3)直線CD的方程為壓力元素例3某水庫的閘門是等腰梯形,上底長為10m,好位于水平面上,求閘門所受的水壓力.下底長為6m,高為20m,閘門與水面垂直,上底恰閘門所受的壓力為

解取液面上的某點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),

建立坐標(biāo)系.取

x為積分變量,例4邊長為a和b的矩形薄板對(duì)應(yīng)薄板上的小矩形的長為a,的密度為求薄板的一側(cè)所受的壓力.置于液體中,長邊平行于液面位于深h處,設(shè)液體與液面成角yOx寬為

小矩形的面積為小矩形一側(cè)所受壓力的元素為薄板所受壓力為相距為r的引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)間的連線方向.兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小為

但是若要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力,由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)間的距離是變化的,

簡(jiǎn)單的情況下,可以用定積分來計(jì)算.

且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的,6.6.3引力由物理學(xué)可知,質(zhì)量分別為

用上述公式來計(jì)算.因此不能解建立坐標(biāo)系如圖將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn),小段的質(zhì)量為例5有一長度為l,線密度為r的均勻細(xì)棒,在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M,計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力.取

y為積分變量,取任小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為引力的元素水平方向的分力元素由對(duì)稱性知,引力在鉛直方向分力為例1求解定積分計(jì)算習(xí)題課例2求解設(shè)于是例3求解解因上式兩端對(duì)x求導(dǎo),有例4設(shè)函數(shù)

例5設(shè)解上式兩端對(duì)x求導(dǎo),有解例6

設(shè)令求例7計(jì)算定積分解令例8證明證則應(yīng)用例9設(shè)證則應(yīng)用證明例10設(shè)證設(shè)利用零點(diǎn)定理,即得所證命題.證明:例11設(shè)證由積分中值定理,使得例12求

解解上式兩端分別在[0,1]與[0,2]上積分,有例13設(shè)

解得解例14設(shè)

由可導(dǎo)必連續(xù)知,例15

計(jì)算解原式例16

計(jì)算解例17

計(jì)算解例18

設(shè)

解(1)

求練習(xí)計(jì)算

解例1過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線

y=lnx的切線,該切線與曲線

y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1)求

D的面積

A;(2)求D的繞直線

x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.解(1)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則曲線處的切線方程是由該切線過原點(diǎn)知從而所以該切線的方