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4.3.1拉格朗日中值定理定理4.3(拉格朗日中值定理)(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);使得

拉格朗日中值定理及其應(yīng)用如果函數(shù)f(x)滿足:幾何解釋:分析:則

在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C,在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.令證作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式即或記則有取在之間用拉格朗日中值定理,有限增量公式例4.11證明證令故證命題得證.練習(xí)證明當(dāng)推論4.3設(shè)證例4.12證明當(dāng)證而故例4.13設(shè)證即推論4.4設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增;單調(diào)遞減.4.3.2函數(shù)的單調(diào)性在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).證(1)由拉格朗日中值定理在[a,b]上在[a,b]上解注1:

推論4.4對(duì)于開、閉、有限或無(wú)窮區(qū)間都正確.注2:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,例4.14證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.

且函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．解定義域?yàn)槔?.16討論函數(shù)的單調(diào)性.

導(dǎo)數(shù)不存在;由介值定理：例4.17討論方程在內(nèi)的實(shí)根解原方程在內(nèi)至少有一實(shí)根.綜上所述,原方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.因此,原方程在內(nèi)至多有一實(shí)根.的個(gè)數(shù).證

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