高等數(shù)學(xué)教程（第4版）課件：求導(dǎo)法則

定理3.2若函數(shù)

導(dǎo)數(shù)的計(jì)算3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則則它們的和、差、積、商(分母不為零)在點(diǎn)x處均可導(dǎo),且證(2)由導(dǎo)數(shù)的定義及可導(dǎo)必連續(xù),有

設(shè)(3)設(shè)由運(yùn)算法則(2),有

則推論例3.12設(shè)求解故練習(xí)

求的導(dǎo)數(shù).解例3.13設(shè)求解練習(xí)設(shè)解故3.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.3設(shè)函數(shù)即:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).內(nèi)可導(dǎo),且有證因?yàn)檫B續(xù),于是,

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例3.14求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解同理可得即:

因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3.4若函數(shù)復(fù)合而成,量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t)證(1)式兩邊同時(shí)乘以,整理得令注意,(2)式對(duì)任意的都成立.

特別地,對(duì)任意的

則由產(chǎn)生的復(fù)合函數(shù)的增量為

由(2)式,有在(3)式中令

此時(shí)定理得證.

解解例3.15求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例3.16求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例3.17

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例3.18

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例3.19求函數(shù)(n為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解因例3.20求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).即導(dǎo)數(shù)基本公式:特別地,特別地,注意:

初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).說(shuō)明:任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出;解例3.21求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).解例3.22求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解練習(xí)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).練習(xí)求函數(shù)練習(xí)冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解因求設(shè)問(wèn)題:變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.3.2.4高階導(dǎo)數(shù)變化率,因加速度a是速度v對(duì)時(shí)間

t的定義3.2

若導(dǎo)數(shù)存在,的二階導(dǎo)數(shù),記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),

二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).

求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)就是多次連續(xù)地對(duì)函數(shù)求規(guī)定:導(dǎo)數(shù),仍應(yīng)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)．1.由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例3.23證明下列函數(shù)的

階導(dǎo)數(shù)公式：證明(1)直接求導(dǎo)有假定成立，則由數(shù)學(xué)歸納法知(2)直接求導(dǎo)有假定則由數(shù)學(xué)歸納法知練習(xí)設(shè)解則2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則萊布尼茲公式設(shè)函數(shù)u和v

具有n階導(dǎo)數(shù),則解例3.24設(shè),求.所以，當(dāng)時(shí)，解例3.25設(shè),求.由萊布尼茲公式得令則練習(xí)設(shè)解因練習(xí)設(shè)解由萊布尼茲公式我們并不需要將隱函數(shù)顯化后求導(dǎo).

1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.2.5幾種特殊的求導(dǎo)法利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可.

而是方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),等式仍然成立,將

y視為x的函數(shù),例3.26求由開(kāi)普勒方程解解得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3.27設(shè)由方程確定，解解得方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),求曲線上橫坐標(biāo)處的切線方程和法線方程.所求的切線方程為所求的法線方程為例3.28求由方程確定的隱函數(shù)解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得解得的二階導(dǎo)數(shù).將代入上式，得故練習(xí)設(shè)曲線C的方程為解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),所求切線方程為顯然通過(guò)原點(diǎn).法線方程為法線通過(guò)原點(diǎn).練習(xí)設(shè)解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),方程(1)兩邊再對(duì)x求導(dǎo),得得得代入代入觀察函數(shù)方法:

先在等式兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函數(shù)的情形.例3.29求的導(dǎo)數(shù).解等式兩邊取對(duì)數(shù),得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),例3.30設(shè)解等式兩邊取對(duì)數(shù),得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),練習(xí)設(shè)解等式兩邊取對(duì)數(shù),得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),練習(xí)設(shè)解等式兩邊取對(duì)數(shù),得上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),解練習(xí)設(shè)兩邊對(duì)x求導(dǎo),得兩邊對(duì)x求導(dǎo),得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則,得3.參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)在參數(shù)方程中,