機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)課后習(xí)題答案

一級(jí)檢驗(yàn)員

二級(jí)檢驗(yàn)員選擇一組設(shè)計(jì)變量X=[x一級(jí)檢驗(yàn)員

二級(jí)檢驗(yàn)員選擇一組設(shè)計(jì)變量X=[x1x2x3]T=[d簧絲直徑d>0.5，彈簧中徑10<D2G50。注：彈簧的應(yīng)力與變形計(jì)算公式如下8FDt=k2s兀d3k=1十—,

s 2cc=D(旋繞比)d8FD3人= n-2Gd4第一章習(xí)題答案1-1某廠每日(8卜制)產(chǎn)量不低于1800件。計(jì)劃聘請(qǐng)兩種不同的檢驗(yàn)員，一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度為25件/h,正確率為98%,計(jì)時(shí)工資為4元/h；二級(jí)檢驗(yàn)員標(biāo)準(zhǔn)為：速度為15件/h，正確率為95%,計(jì)時(shí)工資3元/h。檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一件，工廠損失2元。現(xiàn)有可供聘請(qǐng)檢驗(yàn)人數(shù)為：一級(jí)8人和二級(jí)10人。為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省,該廠應(yīng)聘請(qǐng)一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各多少人？解：(1)確定設(shè)計(jì)變量；「xI根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求，取設(shè)計(jì)變量為X= 1x2(2)建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取檢驗(yàn)費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù),即：f(X)=8*4*x1+8*3*x2+2(8*25*0.02x1+8*15*0.05x2)=40x1+36x2(3)本問(wèn)題的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：minf(X)=40x1+36x2X￡R3°s.t. g1(X)=1800-8*25x1+8*15x2W0g2(X)=x1-8W0g3(X)=x2-10W0g4(X)=-x1W0g5(X)=-x尸1-2已知一拉伸彈簧受拉力F，剪切彈性模量G，材料重度r，許用剪切應(yīng)力[t],許用最大變形量[九]。欲D2n]t使彈簧重量最輕，同時(shí)滿足下列限制條件：彈簧圈數(shù)n>3,試建立該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。解：(1)確定設(shè)計(jì)變量；根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求取設(shè)計(jì)變量為X根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求取設(shè)計(jì)變量為X=(2)建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取彈簧重量為目標(biāo)函數(shù),即：九2f(X)=——rx2xxJ 4 123(3)本問(wèn)題的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：九2minf(X)=彳ri"2x3 X￡R3?s.t.gs.t.g1(X)=0.5-x1W0g2(X)=10-x2W0g3(X)=x2-50<0g4(X)=3-x3<0“x、8Fx L]g(X)=(1+―)——2一七」<05 2x兀x321g6(g6(X)8Fx3x= 2-3Gx41-k」<01-3某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底、無(wú)蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫(xiě)出這底面半徑r底面半徑r高h(yuǎn)解：根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求，取設(shè)計(jì)變量為X=表面積為目標(biāo)函數(shù)，即：minf(X)=兀x12+2兀x1x2考慮題示的約束條件之后，該優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型為：minf(X)=兀x12+2兀x1x2X=[x1,x2]TeR2s.t. g1(X)=-x1<0g2(X)=-x2<0h1(X)=8000-兀x12x2=01-4要建造一個(gè)容積為1500m3的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，已知每平方米墻壁、屋頂和地面的造價(jià)分別為4元、6元和12元。基于美學(xué)的考慮，其寬度應(yīng)為高度的兩倍?，F(xiàn)欲使其造價(jià)最低，試導(dǎo)出相應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。解：(1)確定設(shè)計(jì)變量；根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求，取設(shè)計(jì)變量為X=建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取總價(jià)格為目標(biāo)函數(shù)，即：f(X)=8(根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求，取設(shè)計(jì)變量為X=建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取總價(jià)格為目標(biāo)函數(shù)，即：f(X)=8(x1x3+x2x3)+6x1x2+12x1x2建立數(shù)學(xué)模型的約束函數(shù)；1)倉(cāng)庫(kù)的容積為1500m3。即：1500-x1x2x3=02)倉(cāng)庫(kù)寬度為高度的兩倍。即：x2-2x3=03)各變量取值應(yīng)大于0，即：x1>0,x2.>0.，貝U-x1<0,-x2<0(4)本問(wèn)題的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：minf(X)=8(x1x3+x2x3)+18x1x2X￡R3.x1x2x3s.t. g1(X)=-x1W0g2(X)=-x2W0g3(X)=-x3W0h1(X)=1500-x1x2x3=0h2(X)=x2-2x3=01-5繪出約束條件：x2+x2<8； —2x+x2<8；xx<4所確定的可行域1 2 1 2 121-6試在三維設(shè)計(jì)空間中，用向量分別表示設(shè)計(jì)變量：X1=[132]T；X2=[234]T；X3=[414]T。第二章習(xí)題答案2-1請(qǐng)作示意圖解釋：X(k+1)=X(k)+a(k)S(k)的幾何意義。2-2已知兩向量P=[12—2 0]t,P=[2021]J求該兩向量之間的夾角。。1 22-3求四維空間內(nèi)兩點(diǎn)(1,3,—1,2)和(2,6,5,0)之間的距離。2-4計(jì)算二元函數(shù)f(X)=x3—xx2+5x—6在X(0)=[11]T處，沿方向S二[1—2]T的方向?qū)?shù)f1(X(0))2-4和沿該點(diǎn)梯度方向的方向?qū)?shù)f'v(X(0))。2-5已知一約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為minf(X)=(x—3)2+(x—4)2

1 2X=[x,x]tg(X)=x+x—5<0g(X)=x—x—2.5<0g2(X)=—1x1<20g4(X)=-x2<0求：(1)以一定的比例尺畫(huà)出當(dāng)目標(biāo)函數(shù)依次為f(X)=1、2、3、4時(shí)的四條等值線，并在圖上畫(huà)出可行區(qū)的范圍。(2)找出圖上的無(wú)約束最優(yōu)解X1*和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(X1*)，約束最優(yōu)解X2*和f(X2*)；(3)若加入一個(gè)等式約束條件：h(X)=x—x=0求此時(shí)的最優(yōu)解X*，f(X*)。3 3解：下圖為目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)(條件)設(shè)計(jì)平面X1OX2。其中的同心圓是目標(biāo)函數(shù)依次為f(X)=1、2、3、4時(shí)的四條等值線；陰影的所圍的部分為可行域。

由于目標(biāo)函數(shù)的等值線為一同心圓，所以無(wú)約束最優(yōu)解為該圓圓心即：X1*=[3,4]t函數(shù)值 f(X1*)=0。而約束最優(yōu)解應(yīng)在由約束線g1(X)=0,g2(X)=0,g3(X)=0,g4(x)=0,組成的可行域(陰影線內(nèi)側(cè)){x+x—5=01 2 ，解得x—x+1=012X2*=[2，3]。函數(shù)值 f(X2*)=(2-3)2+(3-4)2=2。加入等式約束條件，則X3*為可行域上為h1(X)=0上與某一條等值線的交點(diǎn)，可以聯(lián)立方程：Ix「x2―5=0， 解得X&*=[5/2，5/2]。TOC\o"1-5"\h\zIx—x=0 312函數(shù)值 f(X3*)=(5/2-3)2+(5/2-4)2=2.5。2-6試證明在(1,1)點(diǎn)處函數(shù)f(X)=x4-2x2x+x2+x2-2x+5具有極小值。1 12 1 2 1證明：求駐點(diǎn)：fX=4x3-4xx+2x-2，fX)=-2x2+2xd.x 1 12 1 d,x 1 212由fX=0,fX2=0，得：駐點(diǎn)x*=[11]T，極值f(x*)=4d.x d.x12S2fS2f(X)d.x21二12x2-4x+2，f!1 2 SxSx12S2f(X)=-4x/2f(X)=2SxSx 1 Sx221 2海賽矩陣H(X)=各階主子式：10-海賽矩陣H(X)=各階主子式：10-4-4aa=10>0,1111 a21a12a2210>0H(X)是正定的，所以駐點(diǎn)必定是極小點(diǎn)。故在(1,1)點(diǎn)處函數(shù)f(X)具有極小值。2-7求函數(shù)f(XX3x12+2x22-2x1-x2+10的極值點(diǎn)，并判斷其極值的性質(zhì)。解：Sf(X)Sx1Sf(X)Sx2-1由由fX)=0,fX)=0，Sx Sx12得：極值點(diǎn)x*=[1/31/4]T，極值f(x*)=229/24d.x21d.xd.x12d.xd.x2dxx22海賽矩陣H(X)=0一4各階主子式：a11=6>0,11a2112a22H(X)是正定的，所以，f(X)為凸函數(shù)。得：極值點(diǎn)X*=[1/31/4]t，極值f(x*)=229/242-8試判斷函數(shù)f(X)=2x2+x2-2xx+x+1的凸性。1 2 12 1df(X) , .解：—=4x1-2x2+1，1df(X)d.x2d2f(x)__d2f(X)___d2f(X)___d2f(X)

5, 2, 2,

dx2 dxdx dxdx dx21 1 2 2 1 2海賽矩陣H(X)各階主子式:aa=5>0,1111a21a12a22>0H(X)是正定的，所以，f(X)為凸函數(shù)。2-9試用向量及矩陣形式表示f2-9試用向量及矩陣形式表示f(X)=x2+x2-10x-4x+60并證明它在D={x,x_g<x,<g,i=1,2)上是一個(gè)凸函數(shù)。解：唳=TO+2x172，12-x1d2f(x),d2f(x)1d2f(x).

=2, 二-1， 二2dx21dxdx12dx22海賽矩陣H(X)=-1一各階主子式：a11=2>0,11a21a12a22>0H(X)是正定的，所以，f(X)為凸函數(shù)。2-10現(xiàn)已獲得優(yōu)化問(wèn)題minf(X)=4x-x2-12s.tg(X)=x2+x2-25<0g(X)=x2+x2-10x-10x+34<0g(X)=-(x-3)2-(x-1)2<0g4(X)=-〈<0 2g5(X)=-x2<0的一個(gè)數(shù)值解X=[1.000,4.900]T，試判定該解是否上述問(wèn)題的最優(yōu)解。第三章習(xí)題答案3-1函數(shù)f(X)=3x3-8x+9，當(dāng)初始點(diǎn)分別為x0=0及x0=1.8時(shí)，用進(jìn)退法確定其一維優(yōu)化的搜索區(qū)間，取初始步長(zhǎng)T=0.1。0解：當(dāng)x0=0時(shí)⑴取T=T0=0.1,a=0,A2=T=0.1F1=F(A1)=f(X(0))=9X=X(0)+A2S=0.1F=F(A)=f(X(0)+AS)=8.20322 2比較F1、F2，因F1>F2，所以應(yīng)作前進(jìn)搜索。⑵步長(zhǎng)加倍：T=2T=0.2,A2=A2+T=1+2=0.3F1=F2=8.203X=X(0)+A2S=0.3F=F(A)=f(X(0)+AS)=6.68122 2再比較F1、F2，因F1>F2，所以還應(yīng)再向前搜索，為此應(yīng)舍去上一次的A1點(diǎn)。所以：A1=A2-T=0.3-0.2=0.1。(3)步長(zhǎng)加倍：T=2T=0.4,A2=A2+T=0.3+0.4=0.7F1=F2=6.681X=X(o)+A2S=0.7F2=F(A2)=f(X(o)+A2s)=4.429.比較F1、F2，因F>F2，所以還應(yīng)再向前搜索，A1=A2—T=0.7—0.4=0.3。(4)步長(zhǎng)加倍：T=2T=0.8,A2=A2+T=1.5F1=F2=4.429X=X(0)+A2S=1.5F2=F(A2)=f(X(0)+A2S)=7.125.比較F1、F2，因F1<F2。已找到具有“高一低一高”特征的區(qū)間即：a1=A1=0.3時(shí)，F(xiàn)(a1)=6.681a2=A2—T=0.7時(shí)，F(xiàn)(a2)=4.429a3=A2=1.5時(shí)，F(xiàn)(a3)=7.125。所以，F(xiàn)(a1)>F(a2)<F(a3)，單峰區(qū)間為：A=a1=A1=0.3,B=a3=A2=1.5。當(dāng)％0=1.8時(shí)同理可得：A=a=A=—1.5,B=a=A=—0.33-2用黃金分割法求函數(shù)F(a)=a2+2a在區(qū)間［-35］中的極小點(diǎn)，要求計(jì)算到最大未確定區(qū)間長(zhǎng)度小于0.05。解：(1)在初始區(qū)間［a,b］=［-3,5］中取計(jì)算點(diǎn)并計(jì)算函數(shù)值a(1)=b—0.618(b—a)=0.056;f1=f(a(1))=0.115136a(2)=a+0.618(b—a)=1.944;f=f(a⑵)=7.6672(2)比較函數(shù)值，縮短搜索區(qū)間因有f1<f2，則b=a(2)=1.944;f2=f(a(2))=0.115136a(1)=b—0.618(b—a)=—1.11139;f1=f(a(1))=—0.98759(3)判斷迭代終止條件b一a>￡不滿足迭代終止條件，比較函數(shù)值f1、f2繼續(xù)縮短區(qū)間。將各次縮短區(qū)間的有關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)列于下表。表黃金分割法的搜索過(guò)程區(qū)間縮短次數(shù)aba⑴a⑵f1f(原區(qū)間)-350.0561.9440.1157.6671-31.944-1.1110.056-0.9870.1152-30.056-1.832-1.111-0.306-0.9873-1.8320.056-1.111-0.665-0.987-0.8884-1.832-0.665-1.386-1.111-0.851-0.987(5-8)略9-1.11122-0.94097-1.046-1.006-0.997867-0.9999643-3用二次插值法求函數(shù)F(a)=8a3—2a2—7a+3的最優(yōu)解。已知搜區(qū)間為[02],選代精度￡=0.01。解：采用Matlab編程計(jì)算得：a=0.62073-4函數(shù)f(X)=%2-%%+%2+2%-4%，取初始點(diǎn)為X(0)=[22]t，規(guī)定沿X⑼點(diǎn)的負(fù)梯度方向進(jìn)行一次1 12 2 1 2一維優(yōu)化搜索，選代精度:￡%=10-5,￡f=10-6。(1)用進(jìn)退法確定一維優(yōu)化搜索區(qū)間；(2)用黃金分割法求最優(yōu)化步長(zhǎng)及一維優(yōu)化最優(yōu)值；(3)用二次插值法求最優(yōu)化步長(zhǎng)及一維優(yōu)化最優(yōu)值；(4)上述兩種一維優(yōu)化方法在求解本題時(shí)，哪一個(gè)種方法收取更快，原因是什么？解：最優(yōu)點(diǎn)X*=[02]J最優(yōu)值f(X*)=-4二次插值法更快3-5求F(a)=(a+1)(a-2)2的極小點(diǎn)，選代精度￡=0.1,￡=0.1。要求：%f(1)從a=0出發(fā)，T0=0.1為步長(zhǎng)確定搜索區(qū)間；(2)用黃金分割法求極值點(diǎn)；(3)用二次插值法求極值點(diǎn)。解：(1)①由已知條件可得，匕二。二0,F1二F(a1)=4a=a+T=0.1F2=F(a2)=(a2+1)(a2-2)2=(0.1+1)(0.1-2)2=3.971因?yàn)镕<勺，應(yīng)作前進(jìn)搜索。②步長(zhǎng)加倍，T=2T0=0.2,F=F=3.971，a=a+T=0.1+0.2=0.3F2=F(a2)=(a2+1)似2-2)2=(0.3+1)(0.3-2)2=3.757因?yàn)镕<F1，所以還應(yīng)再向前搜索，為此應(yīng)舍去上一次的\點(diǎn)。所以：a1=a2=0.3③步長(zhǎng)加倍，T=