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文檔簡介
浙江省麗水市四校聯(lián)考2025屆高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若集合M={1,3},N={1,3,5},則滿足M∪X=N的集合X的個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.42.已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯誤的是()A.該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元3.已知命題p:若,,則;命題q:,使得”,則以下命題為真命題的是()A. B. C. D.4.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于5.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知拋物線上一點的縱坐標(biāo)為4,則點到拋物線焦點的距離為()A.2 B.3 C.4 D.57.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-8.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣859.若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)()A. B. C.4 D.510.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11.已知圓:,圓:,點、分別是圓、圓上的動點,為軸上的動點,則的最大值是()A. B.9 C.7 D.12.元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論,其中關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,則與的夾角為.14.設(shè),滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為______.15.設(shè)函數(shù),若對于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.16.已知是拋物線上一點,是圓關(guān)于直線對稱的曲線上任意一點,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知為坐標(biāo)原點,單位圓與角終邊的交點為,過作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.19.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)設(shè)函數(shù),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)時,若,,求證:.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點.(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,是邊長為的正方形的中心,平面,為的中點.(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】可以是共4個,選D.2、D【解析】
用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項逐一分析,由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項說法正確;月收益最低,B選項說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個月收益低于后六個月收益,C選項說法正確,后個月收益比前個月收益增長萬元,所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計算方法,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
先判斷命題的真假,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】,,因為,,所以,所以,即命題p為真命題;畫出函數(shù)和圖象,知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假,難度較易.4、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應(yīng)選答案C.5、B【解析】
或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點睛】本題考查充分性與必要性,簡單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】試題分析:拋物線焦點在軸上,開口向上,所以焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因為點A的縱坐標(biāo)為4,所以點A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點:本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點評:拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到,可以簡化運(yùn)算.7、A【解析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過解該方程求得它們的值,求首項和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z,再計算它的模長.【詳解】解:復(fù)數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計算問題,要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長度的計算公式,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對稱點,,故的最大值為,故選B.考點:圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.12、B【解析】分析:根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為;根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為,根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解:記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有;記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點睛:本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項的綜合,屬于中檔題,解題時注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系(比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,是否是求數(shù)列的前和、前項積等).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)已知條件,去括號得:,14、【解析】
先根據(jù)條件畫出可行域,設(shè),再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點時取得最大值,從而得到一個關(guān)于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.【詳解】解:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線過直線與直線的交點時,目標(biāo)函數(shù)取得最大,即,即,而.故答案為.【點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】試題分析:由題意得函數(shù)在[2,上單調(diào)遞增,當(dāng)時在[2,上單調(diào)遞增;當(dāng)時在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,因此實數(shù)a的取值范圍是考點:函數(shù)單調(diào)性16、【解析】
由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標(biāo),求出對稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設(shè),則,又,所以,,即,所以,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關(guān)動點距離的最小值問題,涉及到的知識點有點關(guān)于直線的對稱點,點與圓上點的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,求得,,因而得出,利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡函數(shù),最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【詳解】(1)因為,,所以,,所以函數(shù)的最小正周期為.(2)因為,所以,所以,故函數(shù)在區(qū)間上的值域為.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和值域,運(yùn)用到向量的坐標(biāo)運(yùn)算、降冪公式和二倍角的正弦公式,考查化簡和計算能力.18、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:(1)因為,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因為且,即,解得,因為,所以,所以,所以,所以【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.19、(1);(2).【解析】
(1)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計算函數(shù)的單調(diào)性,得到,再討論,,三種情況,計算得到答案.(2)計算得到,討論,兩種情況,分別計算單調(diào)性得到函數(shù)最值,得到答案.【詳解】(1),①當(dāng)時恒成立,所以單調(diào)遞增,因為,所以有唯一零點,即符合題意;②當(dāng)時,令,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)。(i)當(dāng)即,所以符合題意,(ii)當(dāng)即時,因為,故存在,所以不符題意(iii)當(dāng)時,因為,設(shè),所以,單調(diào)遞增,即,故存在,使得,不符題意;綜上,的取值范圍為。(2)。①當(dāng)時,恒成立,所以單調(diào)遞增,所以,即符合題意;②當(dāng)時,恒成立,所以單調(diào)遞增,又因為,所以存在,使得,且當(dāng)時,。即在上單調(diào)遞減,所以,不符題意。綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,恒成立問題,意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)首先對函數(shù)求導(dǎo),再根據(jù)參數(shù)的取值,討論的正負(fù),即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可;(2)首先通過構(gòu)造新函數(shù),討論新函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】(1),令,則,令得,當(dāng)時,則在單調(diào)遞減,當(dāng)時,則在單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時,,即,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,易知當(dāng)時,,當(dāng)時,,由零點存在性定理知,,不妨設(shè),使得,當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,即,所以在和上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2)證明:構(gòu)造函數(shù),,,,整理得,,(當(dāng)時等號成立),所以在上單調(diào)遞增,則,所以在上單調(diào)遞增,,這里不妨設(shè),欲證,即證由(1)知時,在上單調(diào)遞增,則需證,由已知有,只需證,即證,由在上單調(diào)遞增,且時,有,故成立,從而得證.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參分類討論單調(diào)性,借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式,屬于難題.21、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,易得,進(jìn)而可證明四邊形為平行四邊形,即,從而可證明平面;(2)取中點,中點,連接,易證平面,平面,從而可知兩兩垂直,以點為坐標(biāo)原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)而求出平面的法向量,及平面的法向量為,由,可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:如圖1,取的中點,連接.,,,,且,四邊形為平行四邊形,.又平面,平面,平面.(2)如圖2,取中點,中點,連接.,,平面平面,平面平面,平面,平面,兩兩垂直.以點為坐標(biāo)原點,向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由,可得,在等腰梯形中,,易知,.則,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得.設(shè)平面的法向量為,則,取,得.因為,,,所以,所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的求法,利用空間向量法是解決本題的較好方法,屬于中檔題.22、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正方形的性質(zhì)得出,由平面得出,進(jìn)而可推導(dǎo)出平面,再利用
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