2025年高考一輪復(fù)習(xí) 仿真重難點(diǎn)訓(xùn)練08 數(shù)列（解析版）

高考仿真重難點(diǎn)訓(xùn)練08數(shù)列一、單選題1．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．60 B．80 C．140 D．160【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差及首項(xiàng)，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【解析】等差數(shù)列中，，而，則，公差，，所以.故選：C2．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)與關(guān)系求解即可.【解析】.故選：C.3．若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及等比數(shù)列性質(zhì)求出.【解析】數(shù)列中，由，知，則，又，于是，而，所以.故選：A4．設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若a1+a2>0，則aC．若0<a1<a2，則a【答案】C【分析】設(shè)an的公差為，根據(jù)公差的正負(fù)不確定可判斷AB；根據(jù)等差中項(xiàng)、基本不等式可判斷C；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可判斷D.【解析】設(shè)an的公差為，對(duì)于A，∵a因?yàn)楣畹恼?fù)不確定，所以2a1對(duì)于B，∵a因?yàn)楣畹恼?fù)不確定，所以2a1對(duì)于C，a1+a3又∵a2>a1對(duì)于D，若，則a2?所以a2故選：C.5．?dāng)?shù)列an是等差數(shù)列，是數(shù)列an的前項(xiàng)和，是正整數(shù)，甲：，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、充分條件、必要條件求解．【解析】數(shù)列是等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，是正整數(shù)，甲：，乙：，則甲不能推出乙，例如等差數(shù)列1，2，3，4，5，，中，，，，，，，但，即充分性不成立；乙不能推出甲，例如等差數(shù)列1，2，3，4，5，，中，，，，，，，但，即必要性不成立，甲是乙的不充分不必要條件．故選：D．6．在數(shù)列中，已知，，則它的前30項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，運(yùn)用數(shù)列的恒等式可得，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．【解析】解：由，可得，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以．故選：D．7．某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線為對(duì)稱軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關(guān)于所在直線對(duì)稱，….若，為保證黏菌在繁殖過程中不會(huì)碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)黏菌的繁殖規(guī)律可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離，結(jié)合無窮等比遞縮數(shù)列的和的計(jì)算公式，即可判斷答案.【解析】由題意可知，，只要計(jì)算出黏菌沿直線一直繁殖下去，在方向上的距離的范圍，即可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍，依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離依次為：，則，黏菌無限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離和即為兩個(gè)無窮等比遞縮數(shù)列的和，即，綜合可得培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為8cm，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的應(yīng)用問題，背景比較新穎，解答的關(guān)鍵是理解題意，能明確黏菌的繁殖規(guī)律，從而求出每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離的和，結(jié)合等比數(shù)列求和即可.8．?dāng)?shù)列中，，，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，即可累加求解由即可累乘求解，即可判定AB,利用可得，即可求解CD.【解析】由可得，由于，所以，故，故，又可得，因此，故，故AB錯(cuò)誤，又，又因?yàn)?，則等號(hào)無法取到，故，由于故，因此，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將變形為和，即可累加以及累乘求解.二、多選題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列判斷正確的是（

）A．B．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和等于【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，得到為奇數(shù)時(shí)，，可判定B正確；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所以A錯(cuò)誤，C正確；由，求得數(shù)列的前項(xiàng)和，可判定D正確．【解析】由，可得，，當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，，其中符合，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以B正確；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，C正確；又由，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以D正確．故選：BCD.10．已知數(shù)列對(duì)任意的整數(shù)，都有，則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若，，則C．?dāng)?shù)列可以是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列可以是等比數(shù)列【答案】BC【分析】利用賦值，遞推式以及假設(shè)法，即可逐一選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【解析】若，當(dāng)時(shí)，，解得，故A錯(cuò)；若，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，，根據(jù)遞推關(guān)系可知，當(dāng)為奇數(shù)，即時(shí)，，故B正確；若，則成立，故數(shù)列可以是等差數(shù)列，即C正確；若數(shù)列是等比數(shù)列，假設(shè)公比為，則由，得，兩式相除得，，即，解得，不符合題意，則假設(shè)不成立，故D錯(cuò).故選：BC11．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若存在，使得恒成立，則必存在，使得恒成立B．若存在，使得恒成立，則必存在，使得恒成立C．若對(duì)任意，恒成立，則對(duì)任意，恒成立D．若對(duì)任意，恒成立，則對(duì)任意，恒成立【答案】BCD【分析】由兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值小于等于兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值之和結(jié)合已知可得A正確；舉反例令，可判斷BD錯(cuò)誤；舉反例令可得C錯(cuò)誤（注意題目中讓選錯(cuò)誤的）.【解析】對(duì)A：若恒成立，則，，故A正確；對(duì)B、D：反例為，，故B、D錯(cuò)誤；對(duì)C：反例為，故C錯(cuò)誤．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于抽象數(shù)列題，可用排除法快速選擇，較為簡(jiǎn)便快捷.三、填空題12．已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】由恒成立，可得，求得的最大值即可.【解析】恒成立，∴，，∵，∴，∴．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13．若數(shù)列滿足對(duì)任意整數(shù)有成立，則在該數(shù)列中小于100的項(xiàng)一共有項(xiàng)．【答案】【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)，再令即可得解.【解析】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，令，則，所以在該數(shù)列中小于100的項(xiàng)一共有項(xiàng).故答案為：.14．“序列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，該序列中的數(shù)取值于或1.設(shè)是一個(gè)有限“序列”，表示把中每個(gè)都變?yōu)?，每個(gè)0都變?yōu)?，每個(gè)1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組.例如：，則.定義，，若中1的個(gè)數(shù)記為，則bn的前10項(xiàng)和為.【答案】【分析】設(shè)中有項(xiàng)為0，其中1和的項(xiàng)數(shù)相同都為，由已知條件可得①，②，進(jìn)而可得③，再結(jié)合④，可得，分別研究為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)bn的通項(xiàng)公式，運(yùn)用累加法及并項(xiàng)求和即可得到結(jié)果.【解析】因?yàn)?，依題意得，，，顯然，中有2項(xiàng)，其中1項(xiàng)為，1項(xiàng)為1，中有4項(xiàng)，其中1項(xiàng)為，1項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，中有8項(xiàng)，其中3項(xiàng)為，3項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，由此可得中共有項(xiàng)，其中1和的項(xiàng)數(shù)相同，設(shè)中有項(xiàng)為0，1和的項(xiàng)數(shù)相同都為，所以，，從而①，因?yàn)楸硎景阎忻總€(gè)都變?yōu)?，每個(gè)0都變?yōu)椋總€(gè)1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組，則②，①②得③，所以④，④③得，所以當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)符合，所以(為奇數(shù))，當(dāng)為偶數(shù)，則為奇數(shù)，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以bn的前10項(xiàng)和為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.四、解答題15．?dāng)?shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用累加法結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得解；（2）直接用裂項(xiàng)相消法即可求解.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又因此是以為首?xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，又由，得，，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足，∴．（2）．因此．16．已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可證明；（2）根據(jù)（1）問，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用裂項(xiàng)相消求和法求得【解析】（1）證明：令，又，則有，又，所以所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列（2）由（1）知，，又，所以，所以，所以17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)，(2)存在，，【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程組，求出公差，得到通項(xiàng)公式，并利用錯(cuò)位相減法求和；（2）假設(shè)存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列，得到方程，得到，求范圍，即得結(jié)論.【解析】（1）由題意在等差數(shù)列an中，設(shè)公差為d由，得，則，又，，成等比數(shù)列，∴7，，成等比數(shù)列，得，即，得，∴，，∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：（）．∴，∴.（2）若存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得：，解得：又且，所以，，故存在正整數(shù)，，使得，，成等比數(shù)列.18．已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為是等比數(shù)列，已知，是和的等比中項(xiàng).(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記，求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中項(xiàng)、求出；（2）利用錯(cuò)位相減法求出；（3）利用放縮法求和可得答案.【解析】（1）由題意，，又是和的等比中項(xiàng)，得，又，解得，；（2），設(shè)，則，將以上兩式相減得，；（3），，.結(jié)論得證.19．進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和計(jì)算方便而約定的記數(shù)方式，通常“滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；滿八進(jìn)一，就是八進(jìn)制；滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制……；滿幾進(jìn)一，就是幾進(jìn)制”．我們研究的正整數(shù)通常是十進(jìn)制的數(shù)，因此，將正整數(shù)的各位上的數(shù)字分別記為，則表示為關(guān)于10的次多項(xiàng)式，即，其中，，記為，簡(jiǎn)記為．隨著計(jì)算機(jī)的蓬勃發(fā)展，表示整數(shù)除了運(yùn)用十進(jìn)制外，還常常運(yùn)用二進(jìn)制、八進(jìn)制等等．更一般地，我們可類似給出進(jìn)制數(shù)定義．進(jìn)制數(shù)的定義：給出一個(gè)正整數(shù)，可將任意一個(gè)正整數(shù)，其各位上的數(shù)字分別記為，則唯一表示為下列形式：，其中，，并簡(jiǎn)記為．進(jìn)而，給出一個(gè)正整數(shù)，可將小數(shù)表示為下列形式：，其中，，并簡(jiǎn)記為．(1)設(shè)在三進(jìn)制數(shù)下可以表示為，在十進(jìn)制數(shù)下可以表示為，試分別將轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù)；(2)已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足，，數(shù)列bn滿足，當(dāng)時(shí)，；①當(dāng)時(shí)，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；②證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)，(2)①②證明見解析【分析】（1）直接使用進(jìn)制表示的定義即可；（2）①利用數(shù)學(xué)歸納法求得，再用進(jìn)制表示的定義得到，②利用通項(xiàng)公式直接證明即可.【解析】（1