第18講 向量的數(shù)量積問題（原卷版）

一．解答題（共16小題）1．已知圓O:x2+y2=2交拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線于M，N兩點(M點在上方（1）求拋物線C的方程；（2）過拋物線C的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若MA丄MB，求直線l的斜率.2．已知拋物線C的焦點在x軸上，頂點在原點且過點p(2,1)，過點(2,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過點M作y軸的垂線交C于點N.（1）求拋物線C的方程；（2）是否存在直線l，使得以AB為直徑的圓M經(jīng)過點N？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求其準(zhǔn)線方程；（2）是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點）的直線l，使得直線OA與l的距離等于若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由.（3）過拋物線C的焦點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與拋物線C相交于點M，N，l2與拋物線C相交于點D，E，求M--.-的最小值.4．已知E(2,2)是拋物線C:y2=2px上一點，經(jīng)過點D(2,0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E)，直線EA，EB分別交直線x=—2于點M，N（1）求拋物線方程及其焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程；（2）已知O為原點，求證：上MON為定值.5．已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F(0,1)，過點F作直線l交拋物線C于A，B兩點．橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率（1）分別求拋物線C和橢圓E的方程；（3）橢圓E上是否存在一點M/，經(jīng)過點M/作拋物線C的兩條切線M/A/，M/B/(A/，B/為切點使得直線A/B/過點F？若存在，求出點M/及兩切線方程，若不存在，試說明理由.6．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(2,)在橢圓C上，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點M，N，且OM丄ON(O為坐標(biāo)原點證明：總存在一個確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程.7．設(shè)A，B為雙曲線的左、右頂點，直線l過右焦點F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，當(dāng)直線l垂直于x軸時，ΔAMN為等腰直角三角形.（1）求雙曲線C的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點到右焦點F點距離的最小值為3，(ⅱ)已知直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點，當(dāng)直線l的傾斜角變化時，以PQ為直徑的圓是否過x軸上的定點，若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.橢圓有且僅有兩個公共點，點在橢圓上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，已知M，若為定值，則直線是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)和定值；若不經(jīng)過，請說明理由.9．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線C的左、右準(zhǔn)線與其一條漸近線y=2x的交點分別為A，B，四邊形AF1BF2的面積為4.（1）求雙曲線C的方程；10．已知橢圓的離心率為，以E的四個頂點為頂點的四邊形的面積為43.(Ⅱ)設(shè)A，B分別為橢圓E的左、右頂點，P是直線x=4上不同于點(4,0)的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，試探究，點B是否在以MN為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論. 11．已知橢圓過點且離心率e為.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線x=my1(m∈R)交橢圓E于A，B兩點，判斷點與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.12．已知圓G:x2+y2xy=0，經(jīng)過橢圓的右焦點F及上頂點B，過圓外一點(m，0)(m>a)傾斜角為3的直線l交橢圓于C，D兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部，求m的取值范圍.在該橢圓上.(Ⅱ)設(shè)P為直線x=4上不同于點(4,0)的任意一點，若直線AP與橢圓相交于異于A的點M，證明：ΔMBP為鈍角三角形.14．設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線.(Ⅱ)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(4,0)的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi).15．設(shè)A，B分別為橢圓的左右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x=4是它的右準(zhǔn)線.(Ⅱ)設(shè)P為橢圓右準(zhǔn)線上不同于點(4,0)的任意一點，若直線BP于橢圓相交于兩點B，N，求證：