第25講 三角形面積問題（解析版）

第25講三角形面積問題參考答案與試題解析一．解答題（共19小題）1．已知焦點在x軸上的橢圓C上的點到兩個焦點的距離和為10，橢圓C經過點(3,).（1）求橢圓C的標準方程；求ΔOMN面積的最小值.（3）若與x軸不垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，交x軸于定點M，線段AB的垂直平分線交x軸于點為定值，求點M的坐標.【解答】解1）設橢圓的方程為，橢圓C上的點到兩個焦點的距離又橢圓C經過點代入橢圓方程，求得b=4，所以橢圓的方程為（2）設M(3,yM)，N(3,yN)，F(xiàn)(3,0)，yM-yN|=|yM+|≥9，故ΔOMN面積的最小值為9；（3）設直線l的方程為：y=kx+m，則點M2-則AB的中點P的坐標為，又PN丄AB，得kPN=-則直線PN的方程為-m=-令y=0，得N點的坐標為，則|MN|=|-當且僅當時，比值為定值，此時點)，為M(±3,0)，故M(-3,0)或(3,0).2．如圖，橢圓C:的離心率為，其左焦點到橢圓上點的最遠距離為3，點P(2,1)為橢圓外一點，不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分.（1）求橢圓C的標準方程；（2）求ΔABP面積最大值時的直線l的方程.【解答】解1）由題意可知左焦點(-c,0)到橢圓上點的最遠距離為3，b2:所求橢圓C的方程為=1；-------------------（4分）（2）易得直線OP的方程：，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中，A，B在橢圓上，:kAB=—（6分）2根據(jù)韋達定理可知：xA+xB=m，xA.xB=，?????????????????:SΔABP=.d.|AB|=.|m—4|.，??????????????????（10分） 此時直線l的方程7.??????????????????（12分）3．如圖，橢圓C:的離心率為，其左焦點到點P(2,1)的距離為，不過原點O的直線l與C相交于A、B兩點，且線段AB被直線OP平分.（1）求橢圓C的方程；（2）求直線l的斜率；（3）求ΔAOB面積的最大值.所以橢圓C的方程為（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為R(x0，y0)，則兩式作差可得（3）由（2）設直線l的方程為x+m，則點O到直線l的距離為所以x12x2 所以三角形AOB的面積為|AB|.d= 此時三角形AOB的面積的最大值為3.4．已知點，橢圓E:的長軸長是短軸長的2倍，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.（1）求橢圓E的方程；（2）設過點A(0,—2)的動直線l與橢圓E相交于P，Q兩點．當ΔOPQ的面積最大時，求直線l的方程.【解答】解1）設F(c,0)，由條件知3,a又a22:橢圓E的方程+y2=1.（2）依題意當l丄x軸不合題意，故設直線l:y=kx—2，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)又點O到直線PQ的距離所以ΔOPQ的面積sΔOPQ=.d.|PQ|=23t5．已知F為拋物線y2=x的焦點，點AB在該拋物線上且位于x軸的兩側，OA-.-B-=2（其（1）求證：直線AB過定點；（2）求ΔABO與ΔAFO面積之和的最小值.:點A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上可得x1=y，x2=y，②由①②可得y1y2=2或1（舍去ly=x2ly=x:直線AB過定點(2,0)；（2）點A，B位于x軸的兩側，不妨設A在x軸的上方，則y1>0，又焦點0):ΔABO與ΔAFO面積之和的最小值是3，6．如圖，已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，點F為拋物線C:y2=x的焦點，且拋物線C上存在不同的兩點A，B.（1）若AB中點為M，且滿足PA，PB的中點均在C上，證明：PM垂直于y軸；（2）若點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，OA.OB=6(O為坐標原點且ΔABO與ΔAFO的面積分別為S1和S2，求S1+【解答】解1）證明：設P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)，因為直線PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程的兩個根，即y22y0y+2y02y=0，的兩個不同的實數(shù)根，所以PM垂直于y軸.（2）根據(jù)題意可得F(，0)，所以直線過定點(3,0)，y2||2的最小值為6.7．如圖，已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.(Ⅰ)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；(Ⅱ)若P是半橢圓上的動點，求ΔPAB面積的取值范圍.解：證明：可設PAB中點為M的坐標為拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上，y1可得則PM垂直于y軸；（另解：設PA，PB的中點分別為E，F(xiàn)，EF交PM于G，EF為ΔPAB的中位線，EF//AB，又M為AB的中點，G為EF的中點，由y2解得yM=yP=，所以PM垂直于y軸）2n2222n2n24m44n24m可得時，t取得最大值；m=-1時，t取得最小值2， ΔPAB面積的取值范圍為[6·i2，.8．已知橢圓為左、右焦點，直線l過F2交橢圓于A，B兩點.（1）若直線l垂直于x軸，求|AB|；O時，A在x軸上方時，求A、B的坐標；（3）若直線AF1交y軸于M，直線BF1交y軸于N，是否存在直線l，使得S△FAB=S△FMN，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.22:AF1.AF2=(x1+2,y1).(x1-2,y1)=x1-4+y1=0，又A在橢圓上，滿足即y12=4，（3）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0,y3)，N(0,y4)，聯(lián)立y2若S△FAB=S△FMN，即2|y1-y2|=|y32|y3-y4|=|2y2:存在直線3y-2=0或x-3y-2=0滿足題意.9．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過右焦點F2且斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點，N為弦AB的中點，且ON的斜率為-.（1）求橢圓C的離心率e的值；（2）若a2=4c，l為過橢圓C的右焦點F2的任意直線，且直線l交橢圓C于點P，Q，求△FPQ內切圓面積的最大值.【解答】解1）設點A的坐標為(x1，y1)，點B的坐標為(x2，y2)，則線段AB的中點為N(,)，由于點A、B在橢圓C上，則有上述兩式相減得化簡得所以，因此，橢圓的離心率為所以，橢圓C的標準方程為△F橢圓C的右焦點為F2(1,0)，設直線l的方程為x=my+1，設點P(x3，y3)、Q(x4，y4)，將直線l的方程代入橢圓C的方程并化簡得(3m2+4)y2+6my-9=0，2由韋達定理可得y3+y4=-，y3y4=-△FPQ的面積為2-4,2所以，當t=1時，△F1PQ的面積取到最大值設△F1PQ的內切圓的半徑為×4a×r=S△所以，當△F1PQ的面積取到最大值時，其內切圓的半徑r取到最大值，圓E上，且△PF1F2的面積的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過橢圓C右焦點F2，交該橢圓于A、B兩點，AB中點為Q，射線OQ交橢圓于P，記ΔAOQ的面積為S1，ΔBPQ的面積為S2，若S2=3S1，求直線l的方程.【解答】解1）依題意，顯然當P在短軸端點時，△PF1F2的面積最大為×2c×b=，2所以橢圓C的方程為當AB斜率不存在時，S2=S1，不合題意，當AB斜率存在時，設直線方程為y=k(x一1)，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直線OP的方程為：y=-所以直線AB的方程為 在橢圓C上，直線l過F1交橢圓于A，B兩點.（1）求橢圓C的標準方程；O時，點A在x軸上方時，求點A，B的坐標；（3）若直線AF2交y軸于點M，直線BF2交y軸于點N，是否存在直線l，使得ΔABF2與ΔMNF1的面積滿足S△ABF=2S△MNF，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由. 【解答】解1）由題意可知，=，a2-b2=c2，又+=1，所以橢圓C的方程為.即F即F又A在橢圓上，滿足=1，即y12=4，:x12-4+y12=x12-4+4設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0,y3)，N(0,y4)，直線l:x=my-2（斜率不存在時不滿足題意2|FF2|.|y1-y2|=2|y1-y2|，S△MNF=2由直線BF2的方程縱坐標|y1-y2|=|y3-y4|. 代入根與系數(shù)的關系式-4m.+16|=8，解得m=±存在直線3y-2或x=-3y-2滿足題意. 22（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過橢圓的右焦點F2，交橢圓于A，B兩點，若△AF1B的面積為，求直線l的方程.22:橢圓C的方程為：x2+y2=1.2聯(lián)立2可得y2+2my-1=0. :直線l的方程為±2y-1=0. y0)是坐標平面內一點（1）求橢圓C的方程；過點S且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，問：在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標和ΔMAB面積的最大值；若不存在，說明理由.【解答】解1）設F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，（2）動直線l的方程為y=kx-設A(x1，y1)，B(x2，y2)，假設在y軸上存在定點M(0,m)，滿足題設，則，y1-m)，MB=(x2，y2-m)，MAMB=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+即{，解得m=1.因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，23點M的坐標為(0,1)這時，點M到AB的距離23(x(x1-x2)22)2-4x1x2所以當且僅當=1時，上式等號成立．因此，ΔMAB面積的最大值是.點的直線交橢圓于A，B兩點，△AF1B的周長為8，O為坐標原點.則由橢圓的定義可得4a=8，所以a=2，故橢圓的方程為0)，..2(y(y12)24y1y2..236m236+2)242原點到直線AB的距離為所以三角形AOB的面積為.d.|AB|=故三角形AOB的面積的最大值為.15．已知拋物線C:y2=2px(p>0)上有一點Q(2,y0)到焦點F的距離為.過弦AB的中點M作垂直于y軸的直線與拋物線交于點D，連接AD，BD．試判斷ΔABD的面積是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.【解答】解：(I)由拋物線C:y2=2px(p>0)，可得焦點(,0)，」拋物線上的點Q(2,y0)到焦點F的距離為.:y2=2x，把Q(2,y0)代入拋物線方程，解得y0=±2.xx2x2 1 12 距離之和的最小值為·2.（1）求拋物線C的方程；（2）如圖，設直線y=kx+b與拋物線C交于兩點A(x1過弦AB的中點M作垂直于y軸的直線與拋物線C交于點D，求ΔABD的面積.【解答】解1）」點Q到拋物線準線與到點1)的距離之和的最小值為·i2，:點Q到拋物線的焦點與到點1)的距離之和的最小值為·、i2，:p=1，:拋物線C的方程為y2=2x；)， 是拋物線x2=4y在橢圓C內的一部分，拋物線x2=4y的焦點F在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.(ⅰ)求證：點M在定直線上；2(ⅱ)直線l與y軸交于點G，記ΔPFG的面積為S1，ΔPDM的面積為S22