山東專(zhuān)用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第三講第2課時(shí)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值學(xué)案含解析

PAGE8-其次課時(shí)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)——師生共研例1化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β)；(2)eq\f(1,1－tanθ)－eq\f(1,1＋tanθ)；(3)eq\f(tan\f(π,4)＋α·cos2α,2cos2\f(π,4)－α).[解析](1)原式＝eq\f(sinα·cosβ＋cosα·sinβ－2sinα·cosβ,2sinα·sinβ＋cosα·cosβ－sinα·sinβ)＝eq\f(－sinα·cosβ－cosα·sinβ,cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝eq\f(－sinα－β,cosα－β)＝－tan(α－β)．(2)原式＝eq\f(1＋tanθ－1－tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝tan2θ.(3)原式＝eq\f(sin\f(π,4)＋α·cos2α,2sin2\f(π,4)＋αcos\f(π,4)＋α)＝eq\f(cos2α,2sin\f(π,4)＋αcos\f(π,4)＋α)＝eq\f(cos2α,sin\f(π,2)＋2α)＝eq\f(cos2α,cos2α)＝1.名師點(diǎn)撥?(1)此類(lèi)化簡(jiǎn)題，對(duì)公式既要會(huì)正用，又要會(huì)逆用，甚至變形應(yīng)用．(2)應(yīng)用公式時(shí)特殊留意角不要化錯(cuò)，函數(shù)名稱(chēng)、符號(hào)肯定要把握精確．(3)對(duì)asinx＋bcosx化簡(jiǎn)時(shí)，協(xié)助角φ的值如何求要清晰．〔變式訓(xùn)練1〕(1)化簡(jiǎn)sin(x＋eq\f(π,3))＋2sin(x－eq\f(π,3))－eq\r(3)cos(eq\f(2π,3)－x)＝__0__.(2)(2024·開(kāi)封模擬)化簡(jiǎn)：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝__eq\f(1,2)__.[解析](1)解法一：原式＝sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3)＋2sinxcoseq\f(π,3)－2cosxsineq\f(π,3)－eq\r(3)coseq\f(2π,3)cosx－eq\r(3)sineq\f(2π,3)sinx＝(coseq\f(π,3)＋2coseq\f(π,3)－eq\r(3)sineq\f(2π,3))sinx＋(sineq\f(π,3)－2sineq\f(π,3)－eq\r(3)coseq\f(2π,3))cosx＝(eq\f(1,2)＋1－eq\r(3)×eq\f(\r(3),2))sinx＋(eq\f(\r(3),2)－eq\r(3)＋eq\r(3)×eq\f(1,2))cosx＝0.解法二：原式＝sin(x＋eq\f(π,3))－eq\r(3)cos[π－(x＋eq\f(π,3))]＋2sin(x－eq\f(π,3))＝2sin(x＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,3))＋2sin(x－eq\f(π,3))＝2sin(x＋eq\f(2,3)π)＋2sin(x－eq\f(π,3))＝2sin[π＋(x－eq\f(π,3))]＋2sin(x－eq\f(π,3))＝－2sin(x－eq\f(π,3))＋2sin(x－eq\f(π,3))＝0.(2)解法一：(從“角”入手，化復(fù)角為單角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－eq\f(1,2)(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－eq\f(1,2)＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－eq\f(1,2)＝sin2β＋cos2β－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).解法二：(從“名”入手，化異名為同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝cos2β－sin2αcos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝cos2β－cos2β(sin2α＋eq\f(1,2)cos2α)＝eq\f(1＋cos2β,2)－eq\f(1,2)cos2β＝eq\f(1,2).解法三：(從“冪”入手，利用降冪公式先降次)原式＝eq\f(1－cos2α,2)·eq\f(1－cos2β,2)＋eq\f(1＋cos2α,2)·eq\f(1＋cos2β,2)－eq\f(1,2)cos2α·cos2β＝eq\f(1,4)(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β＋1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).解法四：從“形”入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ－eq\f(1,2)cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)＋eq\f(1,2)sin2α·sin2β－eq\f(1,2)cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)－eq\f(1,2)·cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－eq\f(1,2)·[2cos2(α＋β)－1]＝eq\f(1,2).考點(diǎn)二求值問(wèn)題——多維探究角度1給角求值例2求下列各式的值．(1)eq\f(sin7°＋cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)；(2)eq\f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cos212°－2).[解析](1)原式＝eq\f(sin15°－8°＋cos15°sin8°,cos15°－8°－sin15°sin8°)＝eq\f(sin15°cos8°,cos15°cos8°)＝tan15°＝tan(45°－30°)＝eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＝eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝eq\f(\r(3)－1,\r(3)＋1)＝2－eq\r(3).(2)eq\f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cos212°－2)＝eq\f(\r(3)sin12°－\r(3)cos12°,2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(2\r(3)sin12°－60°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).名師點(diǎn)撥?給角求值問(wèn)題的解題思路給角求值問(wèn)題往往給出的角是非特殊角，求值時(shí)要留意：(1)視察角，分析角之間的差異，巧用誘導(dǎo)公式或拆分；(2)視察名，盡可能使函數(shù)統(tǒng)一名稱(chēng)；(3)視察結(jié)構(gòu)，利用公式，整體化簡(jiǎn)．角度2給值求值例3(2024·濟(jì)南調(diào)研)已知sin(α＋eq\f(π,6))－cosα＝eq\f(1,3)，則cos(2α－eq\f(π,3))＝(D)A．－eq\f(5,18) B．eq\f(5,18)C．－eq\f(7,9) D．eq\f(7,9)[解析]由sin(α＋eq\f(π,6))－cosα＝eq\f(1,3)，得eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα－cosα＝sin(α－eq\f(π,6))＝eq\f(1,3)，得cos(2α－eq\f(π,3))＝1－2sin2(α－eq\f(π,6))＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9)，故選D．名師點(diǎn)撥?給值求值問(wèn)題的解題關(guān)鍵給值求值問(wèn)題的解題關(guān)鍵在于“變角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)肯定要留意角的范圍的探討．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－α)等．角度3給值求角例4已知A，B均為鈍角，sin2eq\f(A,2)＋cos(A＋eq\f(π,3))＝eq\f(5－\r(15),10)，且sinB＝eq\f(\r(10),10)，則A＋B＝(C)A．eq\f(3π,4) B．eq\f(5π,4)C．eq\f(7π,4) D．eq\f(7π,6)[解析]由題意知eq\f(1,2)(1－cosA)＋eq\f(1,2)cosA－eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(15),10)，得sinA＝eq\f(\r(5),5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).A，B均為鈍角，π<A＋B<2π，cosA＝－eq\f(2\r(5),5)，cosB＝－eq\f(3\r(10),10)，cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝(－eq\f(2\r(5),5))×(－eq\f(3\r(10),10))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)>0，那么，eq\f(3π,2)<A＋B<2π，所以A＋B＝eq\f(7π,4)，故選C．名師點(diǎn)撥?(1)已知三角函數(shù)值求角的解題步驟：①求出角的某一三角函數(shù)值；②確定角的范圍；③依據(jù)角的范圍確定角．(2)給值求角的原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是(0，eq\f(π,2))，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，選正弦較好．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)eq\r(3)cos15°－4sin215°cos15°＝(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．eq\r(2)(2)(角度2)(2024·黑龍江哈師大附中模擬)已知α∈(0，eq\f(π,2))，且2cos2α＝cos(eq\f(π,4)－α)，則sin2α的值為(C)A．eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．eq\f(7,8) D．－eq\f(7,8)(3)(角度3)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則角β等于(C)A．eq\f(5π,12) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)[解析](1)eq\r(3)cos15°－4sin215°cos15°＝eq\r(3)cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝eq\r(3)cos15°－2sin15°·sin30°＝eq\r(3)cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝eq\r(2)，故選D．(2)由題意可得2(cos2α－sin2α)＝coseq\f(π,4)cosα＋sineq\f(π,4)sinα，即2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)．由α∈(0，eq\f(π,2))，可得cosα＋sinα≠0，所以cosα－sinα＝eq\f(\r(2),4)，等式兩邊平方，可得1－sin2α＝eq\f(1,8)，所以sin2α＝eq\f(7,8)，故選C．(3)∵0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α－β)＝eq\r(1－sin2α－β)＝eq\f(3\r(10),10)∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×(－eq\f(\r(10),10))＝eq\f(\r(2),2)，∴β＝eq\f(π,4)，故選C．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升協(xié)助角公式的應(yīng)用在三角形中，常用的角的變形結(jié)論有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2).三角函數(shù)的結(jié)論有：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).A>B?sinA>sinB?cosA<cosB．例5(1)設(shè)A，B是△ABC的內(nèi)角，且cosA＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(5,13)，則sinC＝(D)A．eq\f(63,65)或－eq\f(16,65) B．eq\f(16,65)C．eq\f(16,65)或－eq\f(63,65) D．eq\f(63,65)(2)(2024·河北唐山一中質(zhì)檢)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，則△ABC的形態(tài)肯定是(D)A．等邊三角形 B．不含60°的等腰三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形[分析](1)由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB知求sinA、cosB即可．(2)利用cos(B＋C)＝－cosA，sin(A＋C)＝sinB及兩角差的正弦公式求解．[解析](1)∵cosA＝eq\f(3,5)，0<A<π，∴A為銳角，且sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4,5).又sinB＝eq\f(5,13)<sinA，∴B<A，∴B為銳角且cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(12,13).∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(63,65).故選D．(2)∵sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)·sin(A＋C)，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，∴sinC＝1，又0<C<π，∴C＝eq\f(π,2)，∴△ABC為直角三角形，故選D．[誤區(qū)警示]本題(1)極易求得兩解，問(wèn)題出在∠B上，因?yàn)橛蓅inB＝eq\f(5,13)，可得兩個(gè)B值，考慮A的因素，只有一個(gè)適合，因此sinC只有一個(gè)結(jié)果．名師點(diǎn)撥?利用三角函數(shù)解決三角形問(wèn)題要留意一些隱含條件，再依據(jù)所給的三角函數(shù)值確定角的范圍，然后再進(jìn)行求值．本題應(yīng)用三角形中大角對(duì)大邊，也可知A>B?a>b?