人教版 數(shù)學(xué) 九年級(jí) 下冊(cè)全冊(cè) 導(dǎo)學(xué)案

第二十六章反比例函數(shù)

26.1反比例函數(shù)

26.1.1反比例函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.理解并掌握反比例函數(shù)的概念.（重點(diǎn)）

2.從實(shí)際問題中抽象出反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式.（重

點(diǎn)、難點(diǎn)）

一、知識(shí)鏈接

下列問題中，變量間具有函數(shù)關(guān)系嗎？如果有，請(qǐng)寫出它們的解析式.

（1）京滬線鐵路全程為1463km,某次列車的平均速度v（單位：km/h）隨此次列車的全程運(yùn)

行時(shí)間I（單位：h）的變化而變化；

（2）某住宅小區(qū)要種植一塊面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長(zhǎng)y（單位：m）隨寬x（單

位：m）的變化而變化；

（3）已知北京市的總面積為1.68Xl（）4km2,人均占有面積S（kn?/人）隨全市總?cè)丝趎（單

位：人）的變化而變化.

〉工作探A］〈

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1:反比例函數(shù)的概念

問題：觀察以上三個(gè)解析式，你覺得它們有什么共同特點(diǎn)？

【要點(diǎn)歸納】一般地，形如y=&（k為常數(shù)，kW0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)，其中x是

x

自變量，y是函數(shù).

思考1：反比例函數(shù)y=A/#0）的自變量x的取值范圍是什么？

x

思考2：反比例函數(shù)除了可以用y=&（k豐0）的形式表示，還有沒有其他表達(dá)方式?

x

【要點(diǎn)歸納】反比例函數(shù)有三種表達(dá)方式:①y=K（k豐0）；?y=kxl（k豐0）；③xy=k（k

x

ro）.

【針對(duì)訓(xùn)練】下列函數(shù)是不是反匕例函數(shù)？若是，請(qǐng)指出k的值.

11

@y=3x-l；?y=3x_1；③尸—r；@y=-----；⑤y=-y.

31lxx

［典例精析】

網(wǎng)工已知函數(shù)y=(m一l"2”…是反比例函數(shù)，求m的值.

【方法總結(jié)】己知某個(gè)函數(shù)為反比例函數(shù)，只需要根據(jù)反比例函數(shù)的x的次數(shù)為一1,且系

數(shù)不等于0.

【針對(duì)訓(xùn)練】1.當(dāng)111=時(shí)，y=2/葉2是反比例函數(shù).

2.已知函數(shù)y=(&-,是反比例函數(shù),則卜必須滿足.

x

探究點(diǎn)2：確定反比例函數(shù)的解析式

顧旦已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6.

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x=4時(shí)，求y的值.

【方法總結(jié)】用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：①設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例

函數(shù)解析式，

②將已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程：③解方程,

求出待定系數(shù)；④寫出反比例函數(shù)解析式.

【針對(duì)訓(xùn)練】已知y與x+1成反比例，并且當(dāng)x=3時(shí)，y=4.

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x=7時(shí)，求y的值.

探究點(diǎn)3：建立簡(jiǎn)單的反比例函數(shù)模型

甌人的視覺機(jī)能受運(yùn)動(dòng)速度的影響很大，行駛中司機(jī)在駕駛室內(nèi)觀察前方物體是動(dòng)態(tài)

的，車速增加，視野變窄.當(dāng)車速為50km/h時(shí)，視野為80度，如梟視野f(度)是車速v

(km/h)的反比例函數(shù)，求f關(guān)于v的函數(shù)解析式，并計(jì)算當(dāng)車速為100km/h時(shí),視野的

度數(shù).

甌如圖，已知菱形ABCD的面積為180平方厘米，設(shè)它的兩條對(duì)角線AC,BD的長(zhǎng)

分別為x,y.寫出變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出它是什么函數(shù).

二、課堂小結(jié)

反比例函數(shù)：定義/三種表達(dá)方式

反

比

例

函用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式

數(shù)

根據(jù)實(shí)際問題建立反比例函數(shù)模型

當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是()

2.下列實(shí)例中，x和y成反比例函數(shù)關(guān)系的有()

①x人共飲水10kg,平均每人飲水ykg：②底面半徑為xm,高為ym的圓柱形水桶的

體積為10m3；③用鐵絲做一個(gè)圓，鐵絲的長(zhǎng)為xcm,做成圓的半徑為ycm；④在水龍頭

前放滿,桶水，出水的速度為x,放滿?桶水的時(shí)間y

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.填空：

(1)若y=—m——1是反比例函數(shù)，則m的取值范圍是.

x

(2)若y=￥(m+2)是反比例函數(shù),則m的取值范圍是.

x

(3)若曠=0m_—2￡是反比例函數(shù)，則m的值是

4.已知變量y與x成反比例，且當(dāng)x=3時(shí)，y=一4.

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)y=6時(shí)，求x的值.

5.小明家離學(xué)校1000m,每天他往返于兩地之間，有時(shí)步行，有時(shí)騎車.假設(shè)小明每天上

學(xué)時(shí)的平均速度為v(m/min),所用的時(shí)間為t(min).

(1)求變量v和t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)小明星期二步行上學(xué)用了25min,星期三騎自行車上學(xué)用了8nin,那么他星期三上

學(xué)時(shí)的平均速度比星期二快多少？

能力提升：

6.已知y=yi+y2，yi與(x—1)成正比例，yz與(x+1)成反比例，當(dāng)x=O時(shí)，y=-3；

當(dāng)x=1時(shí)，y=—1,求：

（Dy關(guān)于x的關(guān)系式；

（2）當(dāng)x=-；時(shí)，求y的值.

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1000八01.68x10

(2)y=——(3)S=----------

n

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：反比例函數(shù)的概念

【針對(duì)訓(xùn)練】

解：②是，k=3；④是2=—、■.

【典例精析】

H解：因?yàn)檠?（加一1%加+2”1是反比例函數(shù)，所以,根~+m-=T，解得m=-3.

，〃一1wO

【針對(duì)訓(xùn)練】1.±12.k#2且k#-l

探究點(diǎn)2：確定反比例函數(shù)的解析式

甌解：（1）設(shè)），=￡.因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=6,所以有6二人，解得k=12.因此y=".

x2x

（2）把x=4代入y=匕12，得），=1上2二3.

x4

k

【針對(duì)訓(xùn)練】解：⑴設(shè)），二,因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí)，y=4,

7+1

所以有4=」k一,解得k=16,因此y16

3+1x+1

(2)當(dāng)x=7時(shí)，y=J6_=2,

7+1

探究點(diǎn)3：建立簡(jiǎn)單的反比例函數(shù)模型

甌解：設(shè)/二人.由題意知，當(dāng)v=50時(shí)，f=80,所以80=巴解得k=4000.

v50

因此/=竺四，當(dāng)v=100時(shí)，f=40.所以當(dāng)車速為100km/h時(shí)視野為40度.

v

H解:因?yàn)榱庑蔚拿娣e等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半，所以s筌形n88=gxy=i80.

所以變量y與x之間的關(guān)系式為丫=迎，它是反比例函數(shù).

x

當(dāng)堂檢測(cè)

1.A2.B

3.(DmWl(2)mWO且mW-2(3)-1

4.解：⑴設(shè)丁二幺因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí)，y=-4,所以有-4:七,解得k=-12.

x3

12

因此，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為)，=--

x

(2)把y=6代入＞=一匕12，W6=-1-2,解得x=-2.

xx

5.解：⑴v=---(t>0).

t

(2)當(dāng)t=25時(shí)，V=1P29=4O；當(dāng)t=8時(shí)，V=1292=125,.

258

125-40=85(m/min).

答：他星期三上學(xué)時(shí)的平均速度比星期二快85m/min.

能力提升：

6.解：(1)設(shè)yi=k)(x—1)(ki^O),y2=(ki^O),

x+1

則y=ki(x-l)+-^-,

x+1

-3=-k、+七,

*/x=0時(shí)，y=—3；x=l時(shí)，y=—1,，《1

2

2

/.ki=l,k2=_2.Ay=x-1--------

x+1

(2)把x=-L代入(1)中函數(shù)關(guān)系式，得y=--

22

第二十六章反比例函數(shù)

26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第1課時(shí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.經(jīng)歷畫反比例函數(shù)的圖象、歸納得到反比例函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)的過程(重

點(diǎn)、難點(diǎn))

2.會(huì)畫反比例函數(shù)圖象，了解和掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).(重點(diǎn))

3.能夠初步應(yīng)用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

回顧我們上一課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，你能寫出200m自由泳比賽中，游泳所用的時(shí)間t(s)和游

泳速度v(m/s)之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

試一試，你能在坐標(biāo)軸中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象嗎？

〉合作探究_(

二、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1:反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例R畫出反比例函數(shù)3二色與y二2的圖象.

XX

【提示】畫函數(shù)的圖象步驟一般分為：列表一描點(diǎn)T連線.需要注意的是在反比例函數(shù)中

自變量X不能為0.

解：列表：

X-6-5-4-3-2-1123456

6???

>'=-

X

12???

y=—

X

描點(diǎn)：以表中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描繪出相應(yīng)的點(diǎn).

連線：用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)，即可得y=9與)，二”的圖象.

XX

思考觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，回答問題：

(1)每個(gè)函數(shù)圖象分別位于哪些象限？

(2)在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著x的增大，y如何變化？你能由它們的解析式說明理由嗎?

(3)對(duì)于反比例函數(shù)y=±(k>0),考慮問題(1)(2),你能得出同樣的結(jié)論嗎？

x

【要點(diǎn)歸納】反比例函數(shù)y=±（k>0）的圖象和性質(zhì)：

x

由兩條曲線組成，且分別位于第一、三象限，它們與X釉、y軸都不相交;

在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

【針對(duì)訓(xùn)練】反比例函數(shù)的圖象大致是（）

x

o

01反比例函數(shù)），=?的圖象上有兩點(diǎn)A（xi,y,）,B（X2,y?,且A,B均在該函數(shù)圖象

X

的第一象限部分，若X1>X2?則yi與丫2的大小關(guān)系為（）

A.yi>y2B.yi=y2C.yi<yzD.無法確定

【提示】因?yàn)?>0,且A,B兩點(diǎn)均在該函數(shù)圖象的第一象限部分，根據(jù)Xi>X2,可知

yi，yz的大小關(guān)系

觀察當(dāng)k=-2,-4,一6時(shí)，反比例函數(shù)y=&的圖象，有哪些共同特征？

思考回顧上面我們利用函數(shù)圖象，從特殊到一般研究反比例函數(shù)了=&（k>0）的性質(zhì)的

X

過程，你能用類似的方法研究反比例函數(shù)y=±k（k〈O）的圖象和性質(zhì)嗎？

X

k

【要點(diǎn)歸納】反比例函數(shù)y=-（kVO）的圖象和性質(zhì)：

x

由兩條曲線組成，且分別位于第二、四象限它們與x軸、y軸都不相交；

在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

【針對(duì)訓(xùn)練】點(diǎn)（2,山）和⑶y*在函數(shù)丁=一2三的圖象上，則yi_________yz（填

x

或“一）.

甌已知反比例函數(shù)y=—在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求a

的值.

【針對(duì)訓(xùn)練】已知反比例函數(shù)y=(3m—8*,T。在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減

小，求m的值.

二、課堂小結(jié)

k

反比例函數(shù)y=—(k^O)

X

kk>0k<0

圖象圖象位于第一、三象限圖象位于第二、四象限

性質(zhì)在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大

〉國(guó)堂檢□〈

1.反比例函數(shù)y==的圖象在()

x

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

x

4.下列關(guān)于反比例函數(shù)>=-2的圖象的三個(gè)結(jié)論:

X

(1)經(jīng)過點(diǎn)(一1,12)和點(diǎn)(10,-1.2)；

(2)在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?/p>

(3)雙曲線位于第二、四象限.

其中正確的是(填序號(hào)).

5.已知反比例函數(shù)》二七的圖象過點(diǎn)(一2,—3),圖象上有兩點(diǎn)A(x?

，B(X2,y2)，且

x

xi>X2>0,則yi-yi________0.

6.已知反比例函數(shù)>=欣〃2-5,它的兩個(gè)分支分別在第一、第三象限,m的值.

能力提升：

7.已知點(diǎn)(a-1,yi),(a+1,y2)在反比例函數(shù)y=&(k>0)的圖象上,

yi<y2,求a的

x

取值范圍.

參考答案

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1|解：列表：-1——-2-3-6634

1~152

12cc12

-2---3-4-6-1212643—2

55

甌C

【針對(duì)訓(xùn)練】v

例3|解：由題意得a?+a—7=—1,且a—1<0.解得a=-3.

【針對(duì)訓(xùn)練】解：由題意得m2—10=-1,且3m—8>0.解得m=3.

當(dāng)堂檢測(cè)

1.B2.D3.m>24.（1）（3）5.<

6.解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=m必的兩個(gè)分支分別在第一、第三象限,

所以有n?—5=-1,且m>0,解得m=2.

能力提升：

7.解：由題意知，在圖象的每一支上，y隨x的增大而減小.

①當(dāng)這兩點(diǎn)在圖象的同一支上時(shí)，Vyi<y2,Aa—l>a+l,無解；

②當(dāng)這兩點(diǎn)分別位于圖象的兩支上時(shí)，???yiVy2，?,?必有y,<0<y2.

Aa-l<0,a+l>0,解得一IVaVl.故a的取值范圍為一1Va〈l.

26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第2課時(shí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，并將其靈活運(yùn)用于坐標(biāo)系中圖形的面

積計(jì)算中.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

2.能夠解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合性問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

3.體會(huì)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合的思想方法，進(jìn)一步提高對(duì)反比例函數(shù)

相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

muz

一、知識(shí)鏈接

1.反比例函數(shù)的圖象是什么？

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)與k有怎樣的關(guān)系？

〉合作探究《

三、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1:用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

演已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,6).

(1)這個(gè)函數(shù)的圖象位于哪些象限？y隨x的增大如何變化？

14

(2)點(diǎn)B(3,4),C(-2-,-4-),D(2,5)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上？

25

【針對(duì)訓(xùn)練】己知反比例函數(shù))，二V的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3).

x

(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)判斷點(diǎn)B(-l,6),C(3,2)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上，并說明理由;

(3)當(dāng)一3<x<一1時(shí)，求y的取值范圍.

探究點(diǎn)2：反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合

甌如圖，是反比例函數(shù)y=絲二?圖象的一支.根據(jù)圖象，回答下列問題：

x

(1)圖象的另一支位于哪個(gè)象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？

(2)在這個(gè)函數(shù)圖象的某一支上任取點(diǎn)A(x),yi)和點(diǎn)B(X2,y2).如果x1>X2,那么yi和

y2有怎樣的大小關(guān)系？

【針對(duì)訓(xùn)練】如圖，是反比例函數(shù)y=1一=上的圖象，則k的值可以是（）

x

A.-1B.3C.1D.0

探究點(diǎn)3：反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義

4

操作1.在反比例函數(shù)y=—的圖象上分別取點(diǎn)P,Q向x軸、y軸作垂線，圍成面積

x

填寫下列表格:

舟的值S2的值Si與S2的關(guān)系猜想Sl，S2與女的關(guān)系

PQ，2),Q(4,1)

2.若在反比例函數(shù)》二二土中也用同樣的方法分別取P,Q兩點(diǎn)，填寫表格:

x

Si的值S2的值S1與S2的關(guān)系猜想多,S2與攵的關(guān)系

P(-l,4),2(-2,2)

猜想由前面的探究過程，可以猜想：

若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=K圖象上的任意一點(diǎn)，作PA垂直于x軸，作PB垂直于y軸,

x

矩形AOBP的面積與k的關(guān)系是S矩形AOBP=|k|.

證明我們就k<0的情況給巴證明:

【要點(diǎn)歸納】對(duì)于反比例函數(shù)丁=&，點(diǎn)Q是其圖象上的任意一點(diǎn)，作QA垂直于y軸,

x

作QB垂直于x軸，矩形AOBQ的面積與k的關(guān)系是S矩形AOBQ=|k|.

推理：為人。與△QBO的面積和k的關(guān)系是5.0=§刊0=耳.

【針對(duì)訓(xùn)練】如圖，在函數(shù)y=4（x>0）的圖象上有三點(diǎn)A,B,C,過這三點(diǎn)分別向x軸、

x

y軸作垂線，過每一點(diǎn)所作的兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為SA，SB，SC，

貝I」（）

C.SA=SB=SCD.SA<SC<SB

甌如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=:的圖象上，AC垂直x軸于點(diǎn)C,且aAOC的面

積為2,求該反比例函數(shù)的表達(dá)式.

【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，過反比例函數(shù)），=或圖象上的一點(diǎn)P,作PA_Lx軸于點(diǎn)A.若APOA

2.若點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)

M,N,若四邊形PMON的面積為3,則這個(gè)反比例函數(shù)的關(guān)系式是.

砧如圖，P,C是函數(shù)y=±(x>0)圖象上的任意兩點(diǎn)，PA,CD垂直于X軸.設(shè)△

x

POA的面積為S”則⑴8=：(2)梯形CEAD的面積為S2,則Si與S2的大小

關(guān)系是S)_______S2;(3)APOE的面積S3和S2的大小關(guān)系是S?S3.(填

【針對(duì)訓(xùn)練】如圖，直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，P是AB上的點(diǎn)，△AOC的面積Si、

△BOD的面積S2>△POE的面積S3的大小關(guān)系為.

-例----5如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=±2(x>0)的圖象上任意一點(diǎn)，AB//X軸交反比例函

x

3

數(shù)丁二一一(x<0)的圖象于點(diǎn)B,以AB為邊作平行四邊形ABCD,其中點(diǎn)C,D在x相口

X

上，則SABCD=___.

【方法總結(jié)】解決反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題，可以把原圖形通過切割、平移等變換，轉(zhuǎn)化

為較容易求面積的圖形.

4

【針對(duì)訓(xùn)練】如圖，函數(shù)y=-x與函數(shù)y=--的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,B分

x

別作y軸的垂線，垂足分別為C.D,則四邊形ACBD的面積為()

A.2B.4C.6D.8

探究點(diǎn)4：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

思考在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)丁=乜和y=k2x+b的圖象大致如下，則匕、kz、b各應(yīng)滿

足什么條件?

①②

④

【提示】由于兩個(gè)函數(shù)解析式都含有相同的系數(shù)匕可對(duì)k的正負(fù)性進(jìn)行分類討論，得出

符合題意的答案.

【針對(duì)訓(xùn)練】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丁=一@與y=ax+1(a-Z-O)的圖象可能是()

甌如圖是一次函數(shù)yi=kx+b和反比例函數(shù)％=—的圖象，觀察圖象，當(dāng)ycyz時(shí),

x

X的取值范圍為.

【針對(duì)訓(xùn)練】如圖，一次函數(shù)yi=kix+b(ki^O)的圖象與反比例函數(shù)%=8■的圖象交于

x

A,B兩點(diǎn)，觀察圖象，當(dāng)yi>y?時(shí)，x的取值范圍是.

隨國(guó)已知一個(gè)正比例函數(shù)與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P(-3,4).試求出它們的解析

式，并畫出圖象.

想一想：這兩個(gè)圖象有何共同特點(diǎn)？你能求出另外一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？說說你發(fā)現(xiàn)了什么？

【針對(duì)訓(xùn)練】反比例函數(shù)y=t的圖象與正比例函數(shù)y=3x的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為

x

二、課堂小結(jié)

面積問題面積不變性

性反

質(zhì)比

的例

綜

函_判斷反比例函數(shù)和一次函數(shù)在

合

數(shù)同一直角坐標(biāo)系中的圖象，要

運(yùn)

圖

用

象對(duì)系數(shù)進(jìn)行分類討論，并注意

和b的正負(fù)

與一次函

數(shù)的綜合反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)以原

點(diǎn)為對(duì)勤中心的中心對(duì)稱圖形,

其與正比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原

~點(diǎn)?心對(duì)稱

〉國(guó)堂檢口〈

I.如圖，P是反比例函數(shù)y=七的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PB_Lx軸于點(diǎn)B,連接0P,

x

且aORP的面積為2,則k的值為（）

D.不確定

2x+1的圖象的一個(gè)交點(diǎn)是（1,k）,則反比例

函數(shù)的解析式是

3.如圖，直線y=kix+b與反比例函數(shù)），=幺（x>0）交于A,B兩點(diǎn),

其橫坐標(biāo)分別為1

x

和5,則不等式kix+b>々■的解集是

4.已知反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2,-4）.

x

（1）求k的值：

（2）這個(gè)函數(shù)的圖象分布在哪些象限？y隨x的增大如何變化?

（3）畫出該函數(shù)的圖象：

（4）點(diǎn)B（l,-8）,C（-3,5）是否在該函數(shù)的圖象上？

5.如圖，直線y=ax+b與雙曲線y二七交于A（1,2）,B（m,一4）兩點(diǎn),

x

（1）求直線與雙曲線的解析式；

（2）求不等式ax+b>V的解集.

Q

6.如圖，反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=-x+2的圖象交于A,B兩點(diǎn).

x

（1）求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求aAOB的面積.

y

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.解：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線

2.解：當(dāng)k>0時(shí)，兩條曲線分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減

??；

當(dāng)k<0時(shí)，兩條曲線分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

H解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,6)在第一象限，所以這個(gè)函數(shù)的圖象位于第一、三象限；

在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

(2)設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為)，=&,因?yàn)辄c(diǎn)A(2,6)在其圖象上，所以有6=&,

x2

解得k=12.

I?

所以反比例函數(shù)的解析式為y.

x

因?yàn)辄c(diǎn)B,C的坐標(biāo)都滿足該解析式，而點(diǎn)D的坐標(biāo)不滿足，所以點(diǎn)B,C在這個(gè)函數(shù)

的圖象上，點(diǎn)D不在這個(gè)函數(shù)的圖象上.

【針對(duì)訓(xùn)練】解：(1)???反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),

x

k

???把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得3=上,解得k=6.A這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為)，=6?.

2x

(2)分別把點(diǎn)B,C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)不滿足該解析

式，點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足該解析式，所以點(diǎn)B不在該函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在該函數(shù)的圖象上.

(3)*/當(dāng)x=—3時(shí)，y=—2；當(dāng)x=-1時(shí)，y=—6,且k>0,

:.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，:.當(dāng)一3vxv—1時(shí)，-6<y<—2.

探究點(diǎn)2：反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合

圓目解：(1)因?yàn)檫@個(gè)反比例函數(shù)圖象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象

限.

又因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)圖象位于第一、三象限，所以m-5>0,解得m>5.

(2)因?yàn)閙-5>0,所以在這個(gè)函數(shù)圖象的任一支上，y都隨x的增大而減小，

因此當(dāng)X1>X2時(shí),yi<y2.

【針對(duì)訓(xùn)練】B

探究點(diǎn)3：反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義

證明解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),??,點(diǎn)P(a,b)在函數(shù)y=&的圖象上，，匕二七,

xa

即ab=k.

若點(diǎn)P在第二象限，則a<0,b>0,:.S斑形AOBP=PB-PA=-a?b=_ab=-k；

同理，:.S矩形AOBP=PB,PA=a?(—b)=-ab=—k.綜上，S矩形AOBP=|R|.

【針對(duì)訓(xùn)練】C

【典例精析】

甌解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(XA，yA)，???點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上，，XA.yA

x

=k.

114

又?:Sz\AOC=—XA?yA=—,k=2,k=4.，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=一.

22x

33

【針對(duì)訓(xùn)練】1.-122.y=-^y=--

XX

甌(1)2(2)>(3)=

【針對(duì)訓(xùn)練】S.=S2VS3解析：由反比例函數(shù)面積的不變性易知S,=S2,PE與雙曲線

的一支交于點(diǎn)F,連接OF,易知，SAOFE=S,=S2,而S3>SAOFE，所以S2,S3的大

小關(guān)系為Si=Sz<S3

【針對(duì)訓(xùn)練】D

￡7

探究點(diǎn)4：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

甌D

【針對(duì)訓(xùn)練】B

例d—2<x<0或x>3

解析：y|>y2即一次函數(shù)圖象處于反比例函數(shù)圖象的上方時(shí).觀察右圖，可知一2<X<0或

x>3.

【針對(duì)訓(xùn)練】-1<x<0或x>2

豳解：設(shè)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式分別為y=k1x和y=4.

x

由于這兩個(gè)函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P(-3,4),則點(diǎn)P(-3,4)是這兩個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，即

點(diǎn)P的坐標(biāo)分別滿足這兩個(gè)函數(shù)解析式.所以4=-3kh4=4-.解得占=-4,k2=-12

-33

412

則這兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為y=-一1和y=--,它們的圖象如圖所示.

3x

當(dāng)堂檢測(cè)

3

1.A2.y=-3.I<x<5

x

4.解：(1),:反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,-4),

x

:.把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得一4二V,解得k二-8.

2

(2)這個(gè)函數(shù)的圖象位于第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

(3)如圖所示：

因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)滿足該函數(shù)解析式，而點(diǎn)C的坐標(biāo)不滿足該函數(shù)解析式，

所以點(diǎn)B在該函數(shù)的圖象.匕點(diǎn)C不在該函數(shù)的圖象上.

2

5.解：(1)把A(l,2)代入雙曲線解析式中，得k=2,故雙曲線的解析式為)，二一.

x

當(dāng)y=-4時(shí)，m=~-B(--,—4).將A(1,2),B(-—,—4)代入y=ax+b,得,

222

a=4,b=-2;

，直線的解析式為y=4x-2.

(2)根據(jù)圖象可知，若ax+b>-,則x>l或-』VxVO.

x2

x=—2,fx=4,

6.解：(1)聯(lián)立兩個(gè)解析式，解得1或4所以A(—2,4),B(4,-2).

y=4[y=-2.

(2)一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為M(2,0),???OM=2.

作AC_Lx軸于C,BD_Lx軸于D,則AC=4,BD=2.

-SAOMB=OM-BD+2=2X2+2=2，

???SaoMA=OM?AC4-2=2X44-2=4,

SAAOB=SAOMB+SAOMA=2+4=6.

26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)

第1課時(shí)實(shí)際問題中的反比例函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高運(yùn)用代數(shù)方法解決問

題的能力.

2.能夠通過分析實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型解決問題，進(jìn)一步提高

運(yùn)用函數(shù)的圖象、性質(zhì)的綜合能力.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

3.能夠根據(jù)實(shí)際問題確定自變量的取值范圍.

〉看主學(xué)

一、知識(shí)鏈接、

1.如果要把體積為15cm3的面區(qū)做成拉面，你能寫出面條的總長(zhǎng)度y（單位：cm）與面條

粗細(xì)（橫截面積）S（單位：co?）的函數(shù)關(guān)系式嗎？

2.你還能舉出我們?cè)谌粘Ｉ?、生產(chǎn)或?qū)W習(xí)中具有反比例函數(shù)關(guān)系的量的實(shí)例嗎？

z合作探究《

四、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1:實(shí)際問題與反比例函數(shù)

【典例精析】

H市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104n?的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室.

（1）儲(chǔ)存室的底面積5（單位：m2i與其深度d（單位：m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500m2,施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向下掘進(jìn)多深？

（3）當(dāng)施工隊(duì)按（2）中的計(jì)劃掘進(jìn)到地下15m時(shí)，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改

為15m.相應(yīng)地，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）？

想一想：第（2）問和第（3）問與過去所學(xué)的解分式方程和求代數(shù)式的值的問題有何聯(lián)系？

【針對(duì)訓(xùn)練】1.矩形面積為6,它的長(zhǎng)y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象可表示為（）

2.如圖，某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為1升（1升=1立方分米）的圓錐形漏斗.

（1）漏斗口的面積S（單位：dm?）與漏斗的深d（單位：dm）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）如果漏斗的深為1dm,那么漏斗口的面積為多少立方分米？

（3）如果漏斗口的面積為60cm2,則漏斗的深為多少？

甌碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.

（1）輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的

函數(shù)關(guān)系？

（2）由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多

少噸?

【方法總結(jié)】在解決反比例函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題中，若題目要求“至多”、“至少”，可以利

用反比例函數(shù)的增減性來解答.

【針對(duì)訓(xùn)練】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)要在生活垃圾存放區(qū)建一個(gè)老年活動(dòng)中心，這樣必須把1200立方米的

生活垃圾運(yùn)走.

(1)假如每天能運(yùn)x立方米，所需時(shí)間為y天，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若每輛拖拉機(jī)一天能運(yùn)12立方米，則5輛這樣的拖拉機(jī)要用多少天才能運(yùn)完？

(3)在(2)的情況下，運(yùn)了8天后，剩下的任務(wù)要在不超過6天的時(shí)間內(nèi)完成，那么至少

需要增加多少輛這樣的拖拉機(jī)才能按時(shí)完成任務(wù)？

甌一司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以80千米/時(shí)的平均速度用6小時(shí)達(dá)到乙地.

(1)甲、乙兩地相距多少千米？

(2)當(dāng)他按原路勻速返回時(shí)，汽車的速度v與時(shí)間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

二、課堂小結(jié)

過程：

分析實(shí)際情境T建立函數(shù)模型T明確數(shù)學(xué)問題

實(shí)

反

際

比

例

問

函

題

數(shù)

中注意：

的實(shí)際問題中的兩個(gè)變量往往都只能取非負(fù)值；

作實(shí)際問題中的函數(shù)圖象時(shí)，橫、縱坐標(biāo)的單

位長(zhǎng)度不一定相同

下當(dāng)堂檢測(cè)《

1.面積為2的直角三角形一直角邊長(zhǎng)為x,另一直角邊長(zhǎng)為y,則y與x的變化規(guī)律用

2.體積為20cm3的滴膠做成圓柱體模型，圓柱體的高度y(單位：cm)與底面積S(單位:

cn?)的函數(shù)關(guān)系為,若要使做出來的圓柱粗1cm2,則圓柱的高度是cm.

3.A、B兩城市相距720千米，一列火車從A城去8城.

(1)火車的速度v(千米/時(shí))和行駛的時(shí)間1(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系是.

(2)若到達(dá)目的地后，按原路勻速返回，并要求在3小時(shí)內(nèi)回到A城，則返回的速度小能

低于.

4.某戶現(xiàn)在有若干度電，現(xiàn)在知道：按每天用6度電計(jì)算，五個(gè)月(按15天計(jì)算)剛好用完.

若每天的耗電量為x度，那么這些電能維持y天.

(1)則y與x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

(2)畫出函數(shù)的圖象；

(3)若每天節(jié)約1度，則這些電能維持多少天？

5.王強(qiáng)家離工作單位的距離為3630米，他每天騎自行車上班時(shí)的速度為v米/分，所需時(shí)

間為t分鐘.

(1)速度v與時(shí)間I之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

(2)若王強(qiáng)到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？

(3)如果王強(qiáng)騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達(dá)單位？

6.在某村河治理工程施工過程中，某工程隊(duì)接受一項(xiàng)開挖水渠的工程，所需天數(shù)y(天)與

每天完成的工程量x(m/天)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示.

(1)請(qǐng)根據(jù)題意，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若該工程隊(duì)有2臺(tái)挖掘機(jī)，每臺(tái)挖掘機(jī)每天能夠開挖水渠15m,問該工程隊(duì)需用多少

天才能完成此項(xiàng)任務(wù)？

(3)如果為了防汛工作的緊急需要，必須在一個(gè)月內(nèi)(按30天計(jì)算)完成任務(wù)，那么每天至

少要完成多少m?

參考答案

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：實(shí)際問題與反比例函數(shù)

【典例精析】

1A4

畫［解：(1)根據(jù)圓柱體的體積公式，得Sd=10,,??s關(guān)于d的函數(shù)解析式為

d

104104

(2)把S=500代入S=—,得500=—,解得d=20.

dd

如果