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文檔簡介
專題41中考最值難點突破隱圓問題（解析版）
模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練
類型一“一中同長”模型
典例11．（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，則
OA的長為（）
A．B．2C．D．4
思路引10領(lǐng)：過O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，1由3等腰三角形的性質(zhì)得到BF＝CF＝2，AE＝DE＝3，
∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，由∠BOC+∠AOD＝180°，得到∠AOE+∠BOF＝90°，進(jìn)而得到∠
A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，根據(jù)全等三角形判定證得△AOE≌△OBF，得到OE＝BF＝2，在Rt△AOE
中，根據(jù)勾股定理即可求得OA．
解：過O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，
∴∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴∠A+∠AOE＝90°，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴BF＝CFBC4＝2，AE＝DEAD6＝3，∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，
1111
∵∠BOC+=∠2AOD=＝21×80°，=2=2×
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
∴∠A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，
在△AOE和△OBF中，
，
∠???=∠???
∠?=∠???
∴?△?=AO?E?≌△OBF（AAS），
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∴OE＝BF＝2，
在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝2，AE＝3，
∴OA，
2222
故選：=C．??+??=3+2=13
總結(jié)提升：本題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解
決問題的關(guān)鍵．
針對訓(xùn)練
1．（2016春?龍口市期末）如圖，已知AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，∠DAC＝30°，則∠CBD的度數(shù)為
（）
A．15°B．25°C．50°D．65°
思路引領(lǐng)：由AB＝AC＝AD，可得B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，然后由圓周角定理，證
得∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，繼而可得∠CAD＝2∠BAC．
解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，
∵∠CBD∠ADC＝15°，
1
故選：A．=2
總結(jié)提升：此題考查了圓周角定理．注意得到B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上是解此題的關(guān)
鍵．
2．（2020?浙江自主招生）如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，現(xiàn)有一根長為2cm的木棒
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EF緊貼著矩形的邊（即兩個端點始終落在矩形的邊上），按逆時針方向滑動一周，則木棒EF的中點P
在運動過程中所圍成的圖形的面積為（）
A．（8﹣）cm2B．4cm2C．（3+）cm2D．8cm2
ππ
思路引領(lǐng)：連接BP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BPEF，然后判斷出點P在
1
運動過程中所圍成的圖形的面積為長方形的面積減去四個扇形的面積，列式計=算2即可得解．
解：如圖，∵P是EF的中點，
∴BPEF2＝1（cm），
11
∵AB＝=2，=2×
∴點P在運動過程中所圍成的圖形的面積為長方形的面積減去四個扇形的面積，：
又∵四個扇形的面積正好等于一個相同半徑的圓的面積，
∴4×2﹣?12＝8﹣（cm2）．
故選：A．ππ
總結(jié)提升：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，扇形面積的計算，軌跡，判斷
出點的P運動的軌跡和所組成的圖形的面積組成是解題的關(guān)鍵．
模型二定角（直角）定長模型
典例2（2021?鄰水縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點F在邊AC上，并且
CF＝1，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的
最小值是．
3
5
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思路引領(lǐng)：延長FP交AB于M，得到FP⊥AB時，點P到AB的距離最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出
FM，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出PF，計算即可．
解：如圖，延長FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時，點P到AB的距離最小，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
22
∵∠A=＝∠??A，+∠?A?MF=＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴，即，
????2??
==
解得??，F(xiàn)M??，54
8
由折疊的性=質(zhì)5可知，F(xiàn)P＝FC＝1，
∴PM，
3
=
故答案為5：．
3
5
總結(jié)提升：本題考查翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．垂線段最短等知識，
解題的關(guān)鍵是正確找到點P位置．
針對訓(xùn)練
1．（2022秋?陽西縣期末）如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，
且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為2．
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思路引領(lǐng)：首先證明點P在以AB為直徑的O上，當(dāng)O、P、C共線時PC最小，利用勾股定理求出OC
即可解決問題．⊙
解：∵AB⊥BC，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴點P在以AB為直徑的O上，當(dāng)O、P、C共線時PC最小，
在Rt△BCO中，AB＝6，⊙BC＝4，
∴OBAB＝3，
1
=
∴OC25，
22
∴PC＝=OC?﹣?O+P＝??5﹣=3＝2．
∴PC最小值為2．
故答案為2．
總結(jié)提升：本題考查點與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是確定點P位置，學(xué)
會求圓外一點到圓的最小、最大距離，屬于中考常考題型．
2．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，
以相同的速度分別沿AB，CD向終點B，D移動，當(dāng)點E到達(dá)點B時，運動停止．過點B作直線EF的
垂線BG，垂足為點G，連接AG，則AG長的最小值為（）
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A．2cmB．（）cmC．2cmD．（22）cm
思路引2領(lǐng)：設(shè)正方形的中心為10O?，可2證EF經(jīng)過O點．連接OB，取OB中點2M?，連接MA，MG，則MA，
MG為定長，利用兩點之間線段最短解決問題即可．
解：設(shè)正方形的中心為O，可證EF經(jīng)過O點．
連接OB，取OB中點M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，
∴MA，MGOB，AG≥AM﹣MG，
1
=10==2=10?2
當(dāng)A，M，G三點共線2時，AG最小值＝（）cm，
故選：B．10?2
總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，連接OB，取OB中點M，連接MA，MG，則MA，MG為定
長，利用兩點之間線段最短解決問題是解決本題的關(guān)鍵．
模型三定角（非直角）定長模型
典例3（2019秋?海陵區(qū)校級月考）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A≠∠B，則BC的長的取值范圍
是0＜BC且BC≠4．
83
思路引領(lǐng)：≤作△3ABC的外接圓，根據(jù)直徑是最長的弦得到∠BAC＝90°時，BC是最長，根據(jù)直角三角形
的性質(zhì)、勾股定理計算即可．
解：作△ABC的外接圓，如圖所示：
當(dāng)∠BAC＝90°時，BC是直徑最長，
∵∠C＝60°，
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∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，ABAC＝4，
=3
∴AC，
43
=
∴BC＝2A3C，
83
當(dāng)∠A＝∠B=時，3△ABC為等邊三角形，
∴BC＝AB＝4，
則BC的長的取值范圍是0＜BC且BC≠4，
83
≤
故答案為：0＜BC且BC≠4．3
83
≤3
總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，
斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．
針對訓(xùn)練
1．（2020秋?東臺市期中）已知點A（1，0）、點B（5，0），點P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點．若點P在
y軸的負(fù)半軸上，且∠APB＝30°，則滿足條件的點P的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，﹣2）．
思路引領(lǐng)：利用圓周角定理可判斷點A、B、P在以C點為圓心，CA為半3徑?的圓7上，且∠ACB3＝+2∠7APB
＝60°，則CA＝CB＝AB＝4，C交y軸于P和P′點，連接CP，如圖，作CD⊥AB于D，CE⊥y軸
于E，根據(jù)垂徑定理得到得到A⊙D＝DB＝2，PE＝P′E，所以CD＝2，OD＝3，再利用勾股定理計算
出PE得到OP′和OP的長，從而得到滿足條件的點P的坐標(biāo)．3
解：∵∠APB＝30°，
∴點A、B、P在以C點為圓心，CA為半徑的圓上，且∠ACB＝2∠APB＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴CA＝CB＝AB＝4，
C交y軸于P和P′點，連接CP，如圖，
⊙作CD⊥AB于D，CE⊥y軸于E，則AD＝DB＝2，PE＝P′E，
∵AD＝2，CA＝4，
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∴CD＝2，OD＝OA+AD＝3，
在Rt△PCE3中，PE，
22
∵OE＝CD＝2，=4?3=7
∴OP′＝23，OP＝2，
∴P（0，﹣23?7），P′（30+，﹣72），
∴滿足條件的點3?P的7坐標(biāo)為（0，﹣23+7）或（0，﹣2）．
故答案為（0，﹣2）或（0，﹣32?7）．3+7
3?73+7
總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所
對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和勾股定理．
類型四四點共圓模型
典例4（2020秋?余杭區(qū)期中）如圖，C、D是以AB為直徑的圓O上的兩個動點（點C、D不與A、B重合），
在運動過程中弦CD始終保持不變，M是弦CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P．若CD＝3，AB＝5，
PM＝x，則x的最大值是（）
A．3B．C．2.5D．2
53
思路引領(lǐng)：如圖：延長CP交O于N，連接DN，易證PMDN，所以當(dāng)DN為直徑時，PM的值最大．
1
解：如圖：延長CP交O于⊙N，連接DN．=2
∵AB⊥CN，⊙
∴CP＝PN，
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∵CM＝DM，
∴PMDN，
1
=2
∴當(dāng)DN為直徑時，PM的值最大，最大值為．
5
故選：C．2
總結(jié)提升：本題考查是圓的綜合題，垂徑定理，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用
輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題．
針對訓(xùn)練
1．（2020?浙江自主招生）如圖，已知AB是圓O的直徑，PQ是圓O的弦，PQ與AB不平行，R是PQ的
中點．作PS⊥AB，QT⊥AB，垂足分別為S，T，并且∠SRT＝60°，則的值等于．
??1
??2
思路引領(lǐng)：連接OP，OQ，OR，由R是PQ的中點，根據(jù)垂徑定理的推論得OR⊥PQ，而OP＝OQ，根
據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠POR＝∠QOR，易得∠PSO＝∠PRO＝90°，根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)得
點P、S、O、R四點在以O(shè)P為直徑的圓上，再根據(jù)圓周角定理得∠PSR＝∠POR，同理可得∠QTR＝∠
QOR，則∠PSR＝∠QTR，根據(jù)等角的余角相等得∠RST＝∠RTS，而∠SRT＝60°，所以∠RST＝60°，
∠RTS＝60°，則可根據(jù)圓周角定理得到∠RPO＝∠RSO＝60°，∠RQO＝∠RTO＝60°，于是可判斷△
OPQ為等邊三角形，所以PQ＝OP，則AB＝2PQ，即可得到．
??1
=
解：連接OP，OQ，OR，如圖，??2
∵R是PQ的中點，
∴OR⊥PQ，
∵OP＝OQ，
∴∠POR＝∠QOR，
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∵PS⊥AB，
∴∠PSO＝∠PRO＝90°，
∴點P、S、O、R四點在以O(shè)P為直徑的圓上，
∴∠PSR＝∠POR，
同理可得∠QTR＝∠QOR，
∴∠PSR＝∠QTR，
∴∠RST＝∠RTS，
而∠SRT＝60°，
∴△RST為等邊三角形，
∴∠RST＝60°，∠RTS＝60°，
∴∠RPO＝∠RSO＝60°，∠RQO＝∠RTO＝60°，
∴△OPQ為等邊三角形，
∴PQ＝OP，
∴AB＝2PQ，
∴．
??1
=
故答??案為2．
1
2
總結(jié)提升：本題考查了垂徑定理及其推論：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧；推論
1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，
并且平分弦所對的兩條弧；推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條
?。部疾榱藞A周角定理和等邊三角形的性質(zhì)．
類型五模型綜合
典例5（2022春?梁溪區(qū)期中）如圖，E、F是正方形ABCD邊AD上的兩個動點且AE＝DF，連接CF交BD
于點G，連接BE交AG于點H．若正方形ABCD的邊長為2，則線段DH長度的最小值為（）
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A．1B．C．D．
36
5?2
思路引領(lǐng)：延長AG交CD于M，如圖1，可證△2ADG≌△DGC可得∠G5CD＝∠DAM，再證△ADM≌△
DFC可得DF＝DM＝AE，可證△ABE≌△ADM，可得H是以AB為直徑的圓上一點，取AB中點O，連
接OD，OH，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得不等式，可解得DH長度的最小值．
解：延長AG交CD于M，如圖1
∵ABCD是正方形
∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠BDC
∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DG＝DG
∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM＝∠DCF且AD＝CD，∠ADC＝∠ADC
∴△ADM≌△CDF
∴FD＝DM且AE＝DF
∴AE＝DM且AB＝AD，∠ADM＝∠BAD＝90°
∴△ABE≌△ADM
∴∠DAM＝∠ABE
∵∠DAM+∠BAM＝90°
∴∠BAM+∠ABE＝90°，即∠AHB＝90°
∴點H是以AB為直徑的圓上一點．
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如圖2，取AB中點O，連接OD，OH
∵AB＝AD＝2，O是AB中點，∴AO＝1＝OH，
在Rt△AOD中，OD
22
∵DH≥OD﹣OH=??+??=5
∴DH1
∴DH≥的最5小?值為1
故選：A．5?
總結(jié)提升：本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是證點H是以AB為直
徑的圓上一點．
針對訓(xùn)練
1．（2020秋?朝陽區(qū)校級期中）在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ACB＝45°，將△ABC繞點B按逆時
針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C1．
（1）如圖1，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，則∠CC1A1的度數(shù)為90°．
（2）如圖2，連接AA1，CC1.若△ABA1的面積為，求△CBC1的面積（用含m的代數(shù)式表示）．
（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC3?上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程
中，點P的對應(yīng)點是點P1，則線段EP1長度的最小值為32，最大值為8．
2?
思路引領(lǐng)：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可
求得∠CC1A1的度數(shù)；
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（2）由△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，
即可求得△CBC1的面積；
（3）由①當(dāng)P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1
最?。虎诋?dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，
EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．
解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°．
故答案為：90°；
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，
∴，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，
????1
=
∴∠??ABA?1＝?1∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴（）2＝（）2，
?△???1??4
=
∵S?△A?B?A?11m?，?6
=3
∴S△CBC1m；
93
=4
（3）①如圖1，過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝3，
當(dāng)P在AC上運動，BP與AC垂直的時候2，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，
EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝32；
②當(dāng)P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使2?點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1
最大，最大值為：EP1＝BC+BE＝2+6＝8，
故答案為：32，8．
2?
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總結(jié)提升：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的
應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系
模塊二2023中考押題預(yù)測
1．（蘇州期中）如圖，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD2的值為（）
A．14B．15C．18D．12
思路引領(lǐng)：作AM⊥BC于點M，AN⊥BD于點N，根據(jù)題給條件及等腰三角形的性質(zhì)證明△ABN≌△BAM，
繼而求出AN的值，在Rt△ABN中，利用勾股定理求解即可．
解：作AM⊥BC于點M，AN⊥BD于點N，
∵AC＝AB，
∴△ABC為等腰三角形，
∴AM也是△ABC的中線和角平分線（三線合一），
∴∠CAM＝∠BAM，
∴△ABM≌△ACM，
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∵AB∥CD，AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠CAB，
∵∠ADB＝∠ABD＝∠CDB，
∴∠ADB∠ADC＝∠MAB，
1
∴∠MAB=＝2∠DBA，
又∵AB＝AB，
∴△ABN≌△BAM（AAS），
∴ANBC，
11
∵AB＝=2，=2
∴BN2＝AB2﹣AN2，
15
∴BD2＝4BN2＝15．=4
故選：B．
總結(jié)提升：本題考查了梯形的知識，同時涉及了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的知識，難度適中，解題
關(guān)鍵是正確作出輔助線．
2．（2021秋?如皋市期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝3．若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB
＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為（）
A．1.5B．C．D．2
4
33
思路引領(lǐng)：由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠B3AC＝60°，AC＝AB＝3，求出∠APC＝120°，當(dāng)O、
P、B共線時，PB長度最小，由等邊三角形的性質(zhì)得出AD＝CDAC，∠PAC＝∠ACP＝30°，求
13
出PD和BD的長，可得PB的長，即可得出答案．=2=2
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
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∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴點P的運動軌跡是，
設(shè)所在圓的圓心為?