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文檔簡(jiǎn)介
第五部分圓
專(zhuān)題20與圓有關(guān)的位置關(guān)系（5大考點(diǎn)）
核心考點(diǎn)一點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系
核心考點(diǎn)二圓的切線(xiàn)的判定
核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)三圓的切線(xiàn)的性質(zhì)
核心考點(diǎn)四與切線(xiàn)的判定和性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題
核心考點(diǎn)五三角形的內(nèi)切圓
新題速遞
核心考點(diǎn)一點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系
例1（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)
5
⊙A與直線(xiàn)l:yx只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）
12
A．(12,0)B．(13,0)C．(12,0)D．(13,0)
【答案】D
55
【分析】當(dāng)⊙A與直線(xiàn)l:yx只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則此時(shí)⊙A與直線(xiàn)l:yx相切，（需考慮左右兩側(cè)
1212
5
相切的情況）；設(shè)切點(diǎn)為B，此時(shí)B點(diǎn)同時(shí)在⊙A與直線(xiàn)l:yx上，故可以表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)B點(diǎn)作
12
BC//OA，則此時(shí)△AOB∽△OBC，利用相似三角形的性質(zhì)算出OA長(zhǎng)度，最終得出結(jié)論．
【詳解】如下圖所示，連接AB，過(guò)B點(diǎn)作BC//OA，
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5
此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)可表示為x,x，
12
5
∴OCx，BCx，
12
2
222513
在RtOBC中，OBBCOCxxx，
1212
又∵A半徑為5，
∴AB5，
∵BC//OA，
∴△AOB∽△OBC，
OAABOB
則，
BOOCBC
OA5
=
∴135，
xx
1212
∴OA=13，
∵左右兩側(cè)都有相切的可能，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(13,0)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
例2（2020·上海·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)O在對(duì)角線(xiàn)AC上，圓O的半徑為
2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線(xiàn)段AO長(zhǎng)的取值范圍是____．
1020
【答案】＜AO＜．
33
【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，證明△AOE∽△ACD即
可求出與AD相切時(shí)的AO值；如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，證明△COF∽△CAB即可求
出BC相切時(shí)的AO值，最后即可得到結(jié)論．
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【詳解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，
如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，
則OE⊥AD，∴OE//CD，
∴△AOE∽△ACD，
OEAO
∴，
CDAC
AO2
∴，
106
10
∴AO=；
3
如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，
則OF⊥BC，∴OF//AB，
∴△COF∽△CAB，
OCOF
∴，
ACAB
OC2
∴，
106
10
∴OC=，
3
20
∴AO=，
3
1020
∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線(xiàn)段AO長(zhǎng)的取值范圍是＜AO＜．
33
1020
故答案為：＜AO＜．
33
【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解
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題的關(guān)鍵．
例3（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過(guò)x軸上一點(diǎn)C，與y軸交于A、B
兩點(diǎn)，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)求AB的長(zhǎng)；
(3)連接BM并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)D，連接CD，求直線(xiàn)CD的解析式．
【答案】(1)⊙M與x軸相切，理由見(jiàn)解析
(2)6
1
(3)yx2
2
【分析】（1）連接CM，證CM⊥x即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N，證四邊形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，設(shè)AN=x，則OA=5-x，
MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂徑定理得AB=2AN即可求解；
（3）連接BC，CM，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所
以O(shè)B=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=45，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，
由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，從而得出點(diǎn)
D坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)CD解析式即可．
【詳解】（1）解：⊙M與x軸相切，理由如下：
連接CM，如圖，
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∵M(jìn)C=MA，
∴∠MCA=∠MAC，
∵AC平分∠OAM，
∴∠MAC=∠OAC，
∴∠MCA=∠OAC，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
∵M(jìn)C是⊙M的半徑，點(diǎn)C在x軸上，
∴⊙M與x軸相切；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N，
由（1）知，∠MCO=90°，
∵M(jìn)N⊥AB于N，
∴∠MNO=90°，AB=2AN，
又∵∠CON=90°，
∴四邊形OCMN是矩形，
∴MN=OC，ON=CM=5，
∵OA+OC=6，
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設(shè)AN=x，
∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，
在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得
x2+(1+x)2=52，
解得：x1=3，x2=-4（不符合題意，舍去），
∴AN=3，
∴AB=2AN=6；
（3）解：如圖，連接BC，CM，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥CM于P，
由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，
∴OB=8，C（4，0）
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得
BC=OB2OC2824245，
∵BD是⊙M的直徑，
∴∠BCD=90°，BD=10，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得
2
CD=BD2BC21024525，即CD2=20，
在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，
在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，
∴20-CP2=10CP-CP2，
∴CP=2，
∴PD2=20-CP2=20-4=16，
∴PD=4，即D點(diǎn)橫坐標(biāo)為OC+PD=4+4=8，
∴D（8,-2），
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設(shè)直線(xiàn)CD解析式為y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得
1
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，解得：2，
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b2
1
∴直線(xiàn)CD的解析式為：yx2．
2
【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓相切的判定，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，待定系數(shù)法求一次函
數(shù)解析式，熟練掌握直線(xiàn)與圓相切的判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法是解題的關(guān)鍵．
1、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
點(diǎn)和圓的點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系
圖示
位置關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言
圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，
點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)P在圓內(nèi)d<r
到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi)
圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，
點(diǎn)在圓上點(diǎn)P在圓上d=r
到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上
圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，
點(diǎn)在圓外點(diǎn)P在圓外d>r
到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外
2、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系
1.設(shè)⊙的半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，則直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系如下表：
O