人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第二章2.1.2兩條直線平行和垂直的判定課件

2.1.2兩條直線平行和垂直的判定第二章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率整體感知[學習目標]

1．理解兩條直線平行和垂直的條件．(數(shù)學抽象)2．能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．(邏輯推理)3．能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題．(數(shù)學運算)(教師用書)過山車是一項富有刺激性的娛樂項目．實際上，過山車的運動包含了許多數(shù)學和物理學原理．過山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道，它們靠著一根根巨大的柱形鋼筋支撐著，為了使設(shè)備安全，柱子之間還有一些小的鋼筋連接，這些鋼筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到過山車中的平行和垂直嗎？兩條直線的平行與垂直用什么來刻畫呢？[討論交流]

問題1．是否總有l(wèi)1∥l2?k1＝k2?問題2．是否總有l(wèi)1⊥l2?k1k2＝－1?問題3．解決直線平行或垂直問題時，需注意什么？[自我感知]

經(jīng)過認真的預習，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1兩條直線平行的判定探究問題1在平面幾何中，兩條平行直線被第三條直線所截，形成的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角有什么關(guān)系？[提示]

兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補．探究問題2平面中的兩條平行直線被x軸所截，形成同位角相等，而傾斜角是一對同位角，因此可以得出什么結(jié)論？[提示]

兩直線平行，傾斜角相等．[新知生成]兩條直線平行與斜率之間的關(guān)系類型斜率存在斜率不存在條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關(guān)系l1∥l2?______l1∥l2?兩直線斜率都______圖示k1＝k2不存在【教用·微提醒】

(1)若沒有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2?l1∥l2或l1與l2重合，用斜率證明三點共線時，常用到這一結(jié)論．(2)用“l(fā)1∥l2?k1＝k2”時，要明確兩個前提條件：①l1與l2是不重合的兩條直線；②斜率都存在．【鏈接·教材例題】例2已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

反思領(lǐng)悟

判斷兩條不重合的直線是否平行的兩種方法(1)利用直線的斜率判斷：(2)利用直線的方向向量判斷：求出兩直線的方向向量，通過判斷兩向量是否共線，得到兩條直線是否平行．[學以致用]

1．滿足下列條件的直線l1與l2，其中l(wèi)1∥l2的是(

)①l1的斜率為2，l2過點A(1，2)，B(4，8)；②l1經(jīng)過點P(3，3)，Q(－5，3)，l2平行于x軸，但不經(jīng)過P點；③l1經(jīng)過點M(－1，0)，N(－5，－2)，l2經(jīng)過點R(－4，3)，S(0，5)．A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③√

探究2兩條直線垂直的判定探究問題3平面中，兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則兩條直線的方向向量分別為a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，當兩條直線互相垂直時，可以得出什么結(jié)論？[提示]

k1·k2＝－1．[新知生成]兩條直線垂直與斜率之間的關(guān)系圖示對應關(guān)系l1⊥l2(兩直線斜率都存在，且都不為零)?k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?______l1⊥l2【教用·微提醒】

(1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的條件是兩條直線的斜率都存在．(2)當直線l1⊥l2時，有k1k2＝－1或其中一條直線垂直于x軸，另一條直線垂直于y軸；而若k1k2＝－1，則一定有l(wèi)1⊥l2．(3)當兩條直線的斜率都存在時，若這兩條直線有垂直關(guān)系，則可以用一條直線的斜率表示另一條直線的斜率．【鏈接·教材例題】例4已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系．

[典例講評]

2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直線AB⊥CD，求m的值．[解]

∵A，B兩點縱坐標不相等，∴AB與x軸不平行．∵AB⊥CD，∴CD與x軸不垂直，∴－m≠3，即m≠－3．(1)當AB與x軸垂直時，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．當m＝－1時，C，D兩點的縱坐標均為－1．∴CD∥x軸，此時AB⊥CD，滿足題意．

反思領(lǐng)悟

判斷兩條直線是否垂直的方法在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可．若有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直．[學以致用]

2．判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直．(1)l1經(jīng)過點A(－1，－2)，B(1，2)；l2經(jīng)過點M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率為－10；l2經(jīng)過點A(10，2)，B(20，3)；(3)l1經(jīng)過點A(3，4)，B(3，10)；l2經(jīng)過點M(－10，40)，N(10，40)．

探究3平行與垂直的綜合應用【鏈接·教材例題】例3已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．

[典例講評]

3．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四點，若順次連接A，B，C，D四點，試判定四邊形ABCD的形狀．

[母題探究]將本例中B點坐標改為(5，6)，其他點不變，此時四邊形ABCD是什么圖形？

反思領(lǐng)悟利用兩條直線平行或垂直判定幾何圖形形狀的步驟[學以致用]

3．已知點A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求點D的坐標，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時針方向排列)．[解]

設(shè)所求點D的坐標為(x，y)，如圖所示，由于kAB＝3，kBC＝0，所以kAB·kBC＝0≠－1，即AB與BC不垂直，故AB，BC都不可作為直角梯形的直角腰．

(2)當AB∥CD，AB⊥AD時，由圖a可知，A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1．

【鏈接·教材例題】例5已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三點，試判斷△ABC的形狀．[分析]

如圖2.1-10，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形．

應用遷移23題號411．(多選)已知直線l1與l2為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是(

)A．若l1∥l2，則斜率k1＝k2B．若斜率k1＝k2，則l1∥l2C．若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2D．若l1∥l2，則傾斜角α1＝α2√√√BCD

[根據(jù)直線的位置關(guān)系，當直線的斜率存在，并且相等，則直線平行；當直線的傾斜角相等，則直線平行，當直線平行，則傾斜角必相等．故選BCD．]23題號4123題號41

√

23題號41

√

23題號414．已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，則AB邊上的高所在直線的斜率為________．

1．知識鏈：(1)兩條直線平行的判定．(2)兩條直線垂直的判定．2．方法鏈：分類討論、數(shù)形結(jié)合．3．警示牌：研究兩直線平行、垂直關(guān)系時忽略直線斜率為0或斜率不存在的情況．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．兩條直線平行和斜率有怎樣的關(guān)系？[提示]

兩條平行直線的斜率相等或斜率均不存在．2．兩條直線垂直和斜率有怎樣的關(guān)系？[提示]

兩條直線垂直，則它們的斜率之積為－1或一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在．3．經(jīng)過A，B兩點的直線其斜率不存在，則A，B兩點的坐標有什么特點？[提示]

A，B兩點橫坐標相同，縱坐標不相同．課時分層作業(yè)(十三)兩條直線平行和垂直的判定題號135246879101112131415一、選擇題1．(多選)已知兩條直線l1，l2，有如下說法，其中正確的是(

)A．直線l1，l2的斜率都存在，分別為k1，k2，且k1·k2＝－1，則l1⊥l2B．直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在且為0，則l1⊥l2C．若直線l1與l2相交，則必有k1≠k2D．直線l1，l2的斜率存在，分別為k1，k2，若k1≠k2，則l1與l2一定相交√√√ABD

[l1，l2的斜率都存在，且斜率之積為－1，則l1⊥l2，A正確；直線l1的斜率不存在，直線l1與x軸垂直，直線l2的斜率存在且為0，直線l2與x軸平行或重合，B正確；直線l1與l2相交，但斜率不一定存在，C錯誤；直線l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，則l1與l2一定相交，D正確．故選ABD．]題號135246879101112131415題號1352468791011121314152．直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是(

)A．平行

B．重合C．相交但不垂直

D．垂直√D

[設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2．∵直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，∴k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2．故選D．]題號3524687910111213141513．若點P(a，b)與Q(b－1，a＋1)關(guān)于直線l對稱，則直線l的傾斜角為(

)A．135°

B．45°C．30°

D．60°√

題號3524687910111213141514．已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為(

)A．1

B．0C．0或2

D．0或1√D

[當AB與CD的斜率均不存在時，m＝0，此時AB∥CD；當kAB＝kCD時，m＝1，此時AB∥CD．故選D．]題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151二、填空題6．設(shè)動直線l經(jīng)過定點A(－1，1)，則當點B(2，－1)與直線l的距離最大時，直線l的斜率為________．

題號352468791011121314151

－10

題號352468791011121314151

6

題號352468791011121314151三、解答題9．已知直線l1經(jīng)過A(m，3)，B(1，m)兩點，l2經(jīng)過P(2，1)，Q(4，2)兩點．(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1，l2的傾斜角互余，求m的值．

題號35246879101112131415110．如圖所示，在平面直角坐標系中，以O(shè)(0，0)，A(1，1)，B(3，0)為頂點構(gòu)造平行四邊形，下列各點中不能作為平行四邊形頂點坐標的是(

)A．(－3，1)

B．(4，1)C．(－2，1)

D．(2，－1)√A

[如圖所示，因為經(jīng)過三點可構(gòu)造三個平行四邊形，即?AOBC1，?ABOC2，?AOC3B．

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知選項B，C，D分別是點C1，C2，C3的坐標．]題號352468791011121314151題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號35246879101112131415112．在直角梯形ABCD中，已知點A(－5，－10)，B(15，0)