人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章1.4.1第3課時(shí)空間中直線、平面的垂直課件

第3課時(shí)空間中直線、平面的垂直第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．能用向量方法判斷或證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)(教師用書)我們知道，一個(gè)平面可用空間一點(diǎn)與該平面的法向量來(lái)確定．觀察圖片，圖中旗桿所在的直線和地面垂直，那么如何用向量來(lái)表示二者的關(guān)系呢？[討論交流]

問(wèn)題1．空間直線、平面垂直的向量表示是什么？問(wèn)題2．用向量解決空間線面垂直問(wèn)題的一般步驟是什么？[自我感知]

經(jīng)過(guò)認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1直線與直線垂直探究問(wèn)題1如圖，直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，當(dāng)直線l1，l2垂直時(shí)，u1，u2之間有什么關(guān)系？[提示]

垂直．[新知生成]兩直線垂直的判定方法設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?__________?___________．【教用·微提醒】

(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.u1⊥u2u1·u2＝0

反思領(lǐng)悟

向量法證明線線垂直的思路方法用向量法證明空間中兩條直線l1，l2相互垂直，其主要思路是證明兩條直線的方向向量a，b相互垂直，只需證明a·b＝0即可，具體方法有以下兩種：(1)坐標(biāo)法：用坐標(biāo)表示出兩條直線的方向向量，計(jì)算出兩向量的數(shù)量積為0.(2)基向量法：將要證明的兩條直線的方向向量用基向量表示出來(lái)，計(jì)算出兩向量的數(shù)量積為0.[學(xué)以致用]

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB與底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于點(diǎn)E，求證：DE⊥PB．

探究2直線與平面垂直探究問(wèn)題2如圖，設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，當(dāng)直線l垂直平面α?xí)r，u，n之間有什么關(guān)系？[提示]

平行(共線)．[新知生成]直線和平面垂直的判定方法設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?_________??λ∈R，使得________．【教用·微提醒】

證明直線與平面垂直時(shí)，直線l的方向向量必須與平面α內(nèi)兩條相交直線的方向向量都垂直才可．u∥nu＝λn【鏈接·教材例題】例4如圖1.4-14，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.

[典例講評(píng)]

2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC．

法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(1，1，2)．

[母題探究]若本例條件不變，求證：A1C⊥平面AD1B1.

反思領(lǐng)悟

證明線面垂直的方法(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零．(2)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零．(3)法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后證明直線方向向量與平面法向量共線．[學(xué)以致用]

2．如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD．

探究3平面與平面垂直探究問(wèn)題3設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，當(dāng)平面α垂直于平面β時(shí)，n1，n2之間有什么關(guān)系？[提示]

垂直．[新知生成]平面和平面垂直的判定方法設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?______?_________．【教用·微提醒】

利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，由兩個(gè)法向量垂直，得面面垂直．n1⊥n2n1·n2＝0【鏈接·教材例題】例5證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．已知：如圖1.4-15，l⊥α，l?β，求證：α⊥β.[證明]取直線l的方向向量u，平面β的法向量n.因?yàn)閘⊥α，所以u(píng)是平面α的法向量．因?yàn)閘?β，而n是平面β的法向量，所以u(píng)⊥n.所以α⊥β.[典例講評(píng)]

3．(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)．求證：平面BEF⊥平面ABC．

反思領(lǐng)悟

證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．[學(xué)以致用]

3．如圖，在正三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求證：平面EFG⊥平面PBC．

【教用·備選題】如圖(1)所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn)．求證：平面BDE⊥平面ABCD．

應(yīng)用遷移23題號(hào)41

√B

[∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0，解得m＝2.]23題號(hào)41

√

23題號(hào)413．(多選)已知直線l的方向向量為μ，兩個(gè)不重合的平面α，β的法向量分別為n1，n2，則(

)A．若μ∥n1，則l⊥αB．若μ·n1＝0，則l∥αC．若n1∥n2，則α∥βD．若n1·n2＝0，則α⊥β√√√23題號(hào)41

23題號(hào)414．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．5

[∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.]5

1．知識(shí)鏈：(1)利用向量證明直線和直線垂直．(2)利用向量證明直線和平面垂直．(3)利用向量證明平面和平面垂直．2．方法鏈：轉(zhuǎn)化法、向量法．3．警示牌：直線的方向向量、平面的法向量的關(guān)系與線面間的垂直關(guān)系的對(duì)應(yīng)易混淆．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．兩直線垂直的向量表達(dá)式是什么？[提示]

設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2．直線和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？[提示]

設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.3．平面和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？[提示]

設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.4．證明線面垂直有哪些方法？[提示]

(1)基底法：把直線的方向向量和平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量用同一個(gè)基底表示，然后再證明它們垂直．(2)坐標(biāo)法，利用線線垂直：建立空間直角坐標(biāo)系，把直線的方向向量和平面內(nèi)兩條不共線向量用坐標(biāo)表示，再證明它們垂直．(3)坐標(biāo)法，利用平面的法向量：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量的坐標(biāo)，然后證明它們平行．課時(shí)分層作業(yè)(九)空間中直線、平面的垂直題號(hào)135246879101112131415一、選擇題1．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點(diǎn)，且CF⊥B1E，則點(diǎn)F(0，y，z)滿足方程(

)A．y－z＝0

B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0

D．z－1＝0√

題號(hào)135246879101112131415題號(hào)1352468791011121314152．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，則下列幾組解中可能正確的是(

)A．x＝1，y＝3

B．x＝4，y＝3C．x＝2，y＝4

D．x＝0，y＝2√C

[由題意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各選項(xiàng)中的值計(jì)算，只有C滿足2×4＋4×5＝28.故選C．]題號(hào)3524687910111213141513．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(－2，0，－4)，則(

)A．l∥α

B．l⊥αC．l?α

D．l與α相交，但不垂直√

題號(hào)352468791011121314151

√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151

√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)352468791011121314151二、填空題6．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，則AC邊上的高BD長(zhǎng)為________．

5

題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)3524687910111213141517．已知空間直線l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2，3，3)．若l⊥α，則a＋b＝________．

2題號(hào)3524687910111213141518．已知A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是____________．

(－1，0，2)

題號(hào)352468791011121314151三、解答題9．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面PAB．題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)35246879101112131415110．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)BF⊥PE時(shí)，AF∶FD的比值為(

)A．1∶2

B．1∶1

C．3∶1

D．2∶1√

題號(hào)352468791011121314151題號(hào)35246879101112131415111．(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM(

)A．和AC垂直B．和AA1垂直C．和MN垂直D．與AC，MN都不垂直√√題號(hào)352468791011121314151

題號(hào)35246879101112131415112．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是(

)A．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDB．當(dāng)點(diǎn)Q為