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湖南省株洲市醴陵市四中2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知實(shí)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C. D.2.若的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.43.三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在求的表面上,且是等邊三角形,底面,,,若點(diǎn)在線段上,且,則過(guò)點(diǎn)的平面截球所得截面的最小面積為()A. B. C. D.4.五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為,天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類(lèi)元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素,則2類(lèi)元素相生的概率為()A. B. C. D.5.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.6.中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái),構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A. B. C. D.7.已知,復(fù)數(shù),,且為實(shí)數(shù),則()A. B. C.3 D.-38.設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.29.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.10.2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.1211.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.12.定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足,為的導(dǎo)函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足,的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷(xiāo)量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo):一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促銷(xiāo)活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折,則x的最大值為_(kāi)_________.14.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則的最大值為_(kāi)_______.15.若,則=____,=___.16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a值范圍為_(kāi)________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分別為,,的中點(diǎn),以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置(平面).(1)若為直線上任意一點(diǎn),證明:MH∥平面;(2)若直線與直線所成角為,求二面角的余弦值.18.(12分)2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過(guò)程中,居民生活垃圾分類(lèi)逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門(mén)為宣傳垃圾分類(lèi)知識(shí),面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類(lèi)知識(shí)"的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì),通過(guò)抽樣,得到參與問(wèn)卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問(wèn)卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門(mén)為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:(i)得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于則只有1次:(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下:贈(zèng)送話費(fèi)(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求X的分布列.附:,若,則,.19.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在平面直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)),在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸,且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系中,曲線:.(1)求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線的距離相等,求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).20.(12分)已知函數(shù),.(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時(shí),是否存在實(shí)數(shù),使曲線:在點(diǎn)處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.21.(12分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過(guò)的平面交于點(diǎn),若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.22.(10分)某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間,對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄,得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本,得到如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘).若用時(shí)不超過(guò)(分鐘),則稱(chēng)這個(gè)工人為優(yōu)秀員工.(1)求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);(2)以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率,任意調(diào)查名工人,求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對(duì)于實(shí)數(shù),,不成立對(duì)于不成立.對(duì)于.利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對(duì)于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件.解決此類(lèi)問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.2、C【解析】
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3、A【解析】
由題意畫(huà)出圖形,求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑,再求出外接球球心到D的距離,利用勾股定理求得過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑,則答案可求.【詳解】如圖,設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G,則外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O,則外接球的半徑R=取SA中點(diǎn)E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以O(shè)D=.則過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面的最小面積為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題,還考查了求截面的最小面積,屬于較難題.4、A【解析】
列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種,其中2類(lèi)元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類(lèi),共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類(lèi)元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類(lèi)元素相生的概率為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹(shù)狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.5、C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫(xiě)出:,所以選C.6、A【解析】
詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進(jìn)去的,即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形,且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱(chēng)圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題。7、B【解析】
把和代入再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),利用虛部為0求得m值.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù),所以,解得.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,考查運(yùn)算求解能力.8、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,所以由復(fù)數(shù)定義可知,解得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
推導(dǎo)出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個(gè)“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】
中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從小(大)到大(?。┡帕泻?,處在最中間的那個(gè)數(shù),平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí),是一道容易題.11、A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過(guò),即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍,再通過(guò)題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來(lái)確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、130.15.【解析】
由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用,然后分類(lèi)討論,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問(wèn)題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買(mǎi)水果的促銷(xiāo)前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景,創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).14、【解析】
作出不等式組所表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)看作點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線的斜率取得最大值,代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可得答案.【詳解】畫(huà)出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖所示,由得點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)表示點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線的斜率取得最大值,此時(shí)的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求目標(biāo)函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.15、12821【解析】
令,求得的值.利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求得的值.【詳解】令,得.展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,當(dāng)時(shí),為,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,考查賦值法求解二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問(wèn)題等價(jià)于在時(shí)恒成立,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)根據(jù)中位線證明平面平面,即可證明MH∥平面;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接,∵,,分別為,,的中點(diǎn),∴,又∵平面,平面,∴平面,同理,平面,∵平面,平面,,∴平面平面,∵平面,∴平面.(2)連接,在和中,由余弦定理可得,,由與互補(bǔ),,,可解得,于是,∴,,∵,直線與直線所成角為,∴,又,∴,即,∴平面,∴平面平面,∵為中點(diǎn),,∴平面,如圖所示,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量為,∴,即.令,則,,可得平面的一個(gè)法向量為.又平面的一個(gè)法向量為,∴,∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查線面平行,建系通過(guò)坐標(biāo)求二面角等知識(shí)點(diǎn),屬于一般性題目.18、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解析】
(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和,再利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解.(2)寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值,利用互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式,再列表得到其分布列.【詳解】解:(1)從這1000人問(wèn)卷調(diào)查得到的平均值為∵由于得分Z服從正態(tài)分布,(2)設(shè)得分不低于分的概率為p,(或由頻率分布直方圖知)法一:X的取值為10,20,30,40;;;;所以X的分布列為X10203040P法二:2次隨機(jī)贈(zèng)送的話費(fèi)及對(duì)應(yīng)概率如下2次話費(fèi)總和203040PX的取值為10,20,30,40;;;;所以X的分布列為X10203040P【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列,屬于基礎(chǔ)題.19、(1),;(2),,.【解析】
(1)把曲線的參數(shù)方程與曲線的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程;(2)利用圖象求出三個(gè)點(diǎn)的極徑與極角.【詳解】解:(1)由消去參數(shù)得,即曲線的普通方程為,又由得即為,即曲線的平面直角坐標(biāo)方程為(2)∵圓心到曲線:的距離,如圖所示,所以直線與圓的切點(diǎn)以及直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn),即為所求.∵,則,直線的傾斜角為,即點(diǎn)的極角為,所以點(diǎn)的極角為,點(diǎn)的極角為,所以三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,.【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常用方法有:①代入消元法;②加減消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法,極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,只要將和換成和即可.20、(1);(2)不存在實(shí)數(shù),使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直.【解析】
(1)分類(lèi)時(shí),恒成立,時(shí),分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可;(2),導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解.再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得.【詳解】解:(1)因?yàn)楫?dāng)時(shí),恒成立,所以,若,為任意實(shí)數(shù),恒成立.若,恒成立,即當(dāng)時(shí),,設(shè),,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),取得最大值.,所以,要使時(shí),恒成立,的取值范圍為.(2)由題意,曲線為:.令,所以
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