江蘇溧陽市溧陽中學2025屆高三第二次聯考數學試卷含解析

江蘇溧陽市（溧陽中學2025屆高三第二次聯考數學試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是等差數列的前項和，若，設，則數列的前項和取最大值時的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．20172．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）．A． B． C． D．3．已知復數，（為虛數單位），若為純虛數，則（）A． B．2 C． D．4．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度5．設函數的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．6．甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領到整數元,且每人至少領到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領到的錢數多于其他任何人)的概率是（）A． B． C． D．7．函數的一個單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．8．各項都是正數的等比數列的公比，且成等差數列，則的值為()A． B．C． D．或9．設，其中a，b是實數，則（）A．1 B．2 C． D．10．數列{an}是等差數列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實數λ的最大值為（）A． B． C． D．11．已知命題：，，則為()A．， B．，C．， D．，12．在中，是的中點，，點在上且滿足，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若正實數x，y，滿足x+2y=5，則x214．已知是等比數列，且，，則__________，的最大值為__________．15．在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，，則_______.16．已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點.若（點為坐標原點）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．18．（12分）已知圓外有一點，過點作直線．(1)當直線與圓相切時，求直線的方程；(2)當直線的傾斜角為時，求直線被圓所截得的弦長．19．（12分）的內角，，的對邊分別是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面積.20．（12分）已知函數．（1）當時，試求曲線在點處的切線；（2）試討論函數的單調區(qū)間．21．（12分）已知函數.(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間；(Ⅱ)當時，求函數在上最小值.22．（10分）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，點Q為AE的中點.（1）求證：AC//平面DQF；（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC與平面DQF所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據題意計算，，，計算，，，得到答案.【詳解】是等差數列的前項和，若，故，，，，故，當時，，，，，當時，，故前項和最大.故選：.【點睛】本題考查了數列和的最值問題，意在考查學生對于數列公式方法的綜合應用.2、B【解析】

根據角終邊上的點坐標，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因為終邊上有一點，所以，故選：B【點睛】此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.3、C【解析】

把代入，利用復數代數形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數，∴，解得．故選C．【點睛】本題考查復數代數形式的除法運算，考查復數的基本概念，是基礎題．4、D【解析】

先將化為，根據函數圖像的平移原則，即可得出結果.【詳解】因為，所以只需將的圖象向右平移個單位.【點睛】本題主要考查三角函數的平移，熟記函數平移原則即可，屬于基礎題型.5、B【解析】

求出在的解析式，作出函數圖象，數形結合即可得到答案.【詳解】當時，，，，又，所以至少小于7，此時，令，得，解得或，結合圖象，故.故選：B.【點睛】本題考查不等式恒成立求參數的范圍，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.6、B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據古典概型的方法求解即可.【詳解】設乙,丙,丁分別領到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選：B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎題型.7、D【解析】

利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式，再根據三角函數單調區(qū)間的求法，求得的單調區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調遞增，則（），解得（），當時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點睛】本小題考查三角函數的恒等變換，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數形結合思想，應用意識.8、C【解析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據題意有，即，因為數列各項都是正數，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.9、D【解析】

根據復數相等，可得，然后根據復數模的計算，可得結果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復數模的計算，考驗計算，屬基礎題.10、D【解析】

利用等差數列通項公式推導出λ，由d∈[1，2]，能求出實數λ取最大值．【詳解】∵數列{an}是等差數列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數，∴d＝1時，實數λ取最大值為λ．故選D．【點睛】本題考查實數值的最大值的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．11、C【解析】

根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，，.故選：.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.12、B【解析】

由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據重心的性質，即可求解．【詳解】解：∵M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故選B．【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質：或取得最小值③坐標法：P點坐標是三個頂點坐標的平均數．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

分析：將題中的式子進行整理，將x+1當做一個整體，之后應用已知兩個正數的整式形式和為定值，求分式形式和的最值的問題的求解方法，即可求得結果.詳解：x2-3x+1+2點睛：該題屬于應用基本不等式求最值的問題，解決該題的關鍵是需要對式子進行化簡，轉化，利用整體思維，最后注意此類問題的求解方法-------相乘，即可得結果.14、5【解析】，即的最大值為15、9【解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結果.【詳解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案為:.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用,難度一般.16、或【解析】

用表示出的面積，求得等量關系，聯立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【詳解】聯立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，，所以.聯立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質，考查運算求解能力以及函數與方程思想，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．（Ⅱ）以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：（Ⅰ）取中點，連結、，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵為的中點，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，∴，，，設面的法向量，則，取，得，同理，得平面的法向量，設二面角的平面角為，則，∴二面角的余弦值為．【點睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質定理、線面垂直判定與性質定理以及利用空間向量求線面角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題．18、（1）或（2）．【解析】

(1)根據題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結果;(2)先求出直線方程，然后求得圓心與直線的距離,由弦長公式即可得出答案.【詳解】解:(1)由題意可得,直線與圓相切當斜率不存在時，直線的方程為,滿足題意當斜率存在時，設直線的方程為,即∴,解得∴直線的方程為∴直線的方程為或(2)當直線的傾斜角為時，直線的方程為圓心到直線的距離為∴弦長為【點睛】本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式及弦長公式，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力.19、（1）（2）【解析】

（1）利用余弦定理可求，從而得到的值.（2）利用誘導公式和正弦定理化簡題設中的邊角關系可得，得到值后利用面積公式可求.【詳解】（1）由，得.所以由余弦定理，得.又因為，所以.（2）由，得.由正弦定理，得，因為，所以.又因，所以.所以的面積.【點睛】在解三角形中，如果題設條件是關于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設條件是關于邊的齊次式或是關于內角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設條件是邊和角的混合關系式，那么我們也可把這種關系式轉化為角的關系式或邊的關系式.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）對函數進行求導，可以求出曲線在點處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程；（2）對函數進行求導，對實數進行分類討論，可以求出函數的單調區(qū)間．【詳解】（1）當時，函數定義域為，,所以切線方程為；（2）當時，函數定義域為，在上單調遞增當時，恒成立，函數定義域為，又在單調遞增，單調遞減，單調遞增當時，函數定義域為，在單調遞增，單調遞減，單調遞增當時，設的兩個根為且，由韋達定理易知兩根均為正根，且，所以函數的定義域為，又對稱軸，且，在單調遞增，單調遞減，單調遞增【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法，考查了利用函數的導數討論函數的單調性問題，考查了分類思想.21、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)當時，函數的最小值是；當時，函數的最小值是【解析】

（1）求出導函數，并且解出它的零點x=，再分區(qū)間討論導數的正負，即可得到函數f（x）的單調區(qū)間；

（2）分三種情況加以討論，結合函數的單調性與函數值的大小比較，即可得到當0＜a＜ln2時，函數f（x）的最小值是-a；當a≥ln2時，函數f（x）的最小值是ln2-2a．【詳解】函數的定義域

為．

因為，令，可得；

當時，；當時，，綜上所述：可知函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為當，即時，函數在區(qū)間上是減函數，

的最小值是當，即時，函數在區(qū)間上是增函數，的最小值是當，即時，函數在上是增函數，在上是減函數．

又，

當時，的最小值是；

當時，的最小值為綜上所述，結論為當時，函數的最小值是；

當時，函數的最小值是.【點睛】求函數極值與最值的步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數；(3)解方程求出函數定義域內的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點值的函數值與極值的大小22、（1）見解析（2）【解析】

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