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安徽省合肥一中,八中、六中2025屆高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)是虛數(shù)單位,則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件2.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過人,這里的“六藝”其實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化,某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.3.用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動(dòng)生成一個(gè)實(shí)數(shù),且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù),則這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于的概率為()A. B. C. D.4.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.5.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.6.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,若點(diǎn)在角的終邊上,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù)滿足=1,則等于()A.- B. C.- D.8.已知函數(shù),滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={3,4},則=()A.{3,5,6} B.{1,5,6} C.{2,3,4} D.{1,2,3,5,6}10.設(shè),,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.12.已知,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知單位向量的夾角為,則=_________.14.平行四邊形中,,為邊上一點(diǎn)(不與重合),將平行四邊形沿折起,使五點(diǎn)均在一個(gè)球面上,當(dāng)四棱錐體積最大時(shí),球的表面積為________.15.函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在上有1515個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的范圍為___________.16.在的二項(xiàng)展開式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓C:,橢圓E:()的右頂點(diǎn)A在圓C上,右準(zhǔn)線與圓C相切.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與圓C相交于另一點(diǎn)M,與橢圓E相交于另一點(diǎn)N.當(dāng)時(shí),求直線l的方程.18.(12分)某單位準(zhǔn)備購買三臺(tái)設(shè)備,型號(hào)分別為已知這三臺(tái)設(shè)備均使用同一種易耗品,提供設(shè)備的商家規(guī)定:可以在購買設(shè)備的同時(shí)購買該易耗品,每件易耗品的價(jià)格為100元,也可以在設(shè)備使用過程中,隨時(shí)單獨(dú)購買易耗品,每件易耗品的價(jià)格為200元.為了決策在購買設(shè)備時(shí)應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號(hào)的設(shè)備各60臺(tái),調(diào)査每臺(tái)設(shè)備在一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù),并得到統(tǒng)計(jì)表如下所示.每臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)678型號(hào)A30300頻數(shù)型號(hào)B203010型號(hào)C04515將調(diào)查的每種型號(hào)的設(shè)備的頻率視為概率,各臺(tái)設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立.(1)求該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率;(2)以該單位一個(gè)月購買易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),該單位在購買設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購買20件還是21件易耗品?19.(12分)已知是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,到軸的距離比小1.(1)求的方程;(2)設(shè)直線與交于另一點(diǎn),為的中點(diǎn),點(diǎn)在軸上,.若,求直線的斜率.20.(12分)自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來,武漢醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重缺乏,全國(guó)各地紛紛馳援.截至1月30日12時(shí),湖北省累計(jì)接收捐贈(zèng)物資615.43萬件,包括醫(yī)用防護(hù)服2.6萬套N95口軍47.9萬個(gè),醫(yī)用一次性口罩172.87萬個(gè),護(hù)目鏡3.93萬個(gè)等.中某運(yùn)輸隊(duì)接到給武漢運(yùn)送物資的任務(wù),該運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重為6t的A型卡車,6輛載重為10t的B型卡車,10名駕駛員,要求此運(yùn)輸隊(duì)每天至少運(yùn)送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù):A型卡車16次,B型卡車12次;每輛卡車每天往返的成本:A型卡車240元,B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛,運(yùn)輸隊(duì)所花的成本最低?21.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函數(shù)f(x)的最大值m;(2)正數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c=m,求證:22.(10分)已知定點(diǎn),,直線、相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn),使得直線與斜率之積為定值,若存在,求出坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
結(jié)合純虛數(shù)的概念,可得,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設(shè),此時(shí)復(fù)數(shù),不是純虛數(shù),所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
分情況討論,由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個(gè)數(shù),不考慮限制因素,總數(shù)有種,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí),禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時(shí),禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點(diǎn)睛】解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則:①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).3、C【解析】
由幾何概型的概率計(jì)算,知每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為,結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計(jì)算即可.【詳解】∵每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為.∴這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于1的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查學(xué)生基本的計(jì)算能力,是一道容易題.4、D【解析】
根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長(zhǎng)方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長(zhǎng)方體來實(shí)現(xiàn).5、D【解析】
設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、D【解析】
由題知,又,代入計(jì)算可得.【詳解】由題知,又.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義,誘導(dǎo)公式,二倍角公式的應(yīng)用求值.7、C【解析】
設(shè)的最小正周期為,可得,則,再根據(jù)得,又,則可求出,進(jìn)而可得.【詳解】解:設(shè)的最小正周期為,因?yàn)?,所以,所以,所以,又,所以?dāng)時(shí),,,因?yàn)椋淼?,因?yàn)椋?,,則所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對(duì)稱性,考查學(xué)生分析能力和計(jì)算能力,是一道難度較大的題目.8、B【解析】
由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù),可知函數(shù)為減函數(shù),且,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù),于是有,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.9、B【解析】
按補(bǔ)集、交集定義,即可求解.【詳解】={1,3,5,6},={1,2,5,6},所以={1,5,6}.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.11、D【解析】
畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù),運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個(gè),2個(gè)解,故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用,分類思想的運(yùn)用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.12、B【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為,所以,所以==.14、【解析】
依題意可得、、、四點(diǎn)共圓,即可得到,從而得到三角形為正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱錐體積最大,當(dāng)且僅當(dāng)面面時(shí)體積取得最大值,利用正弦定理求出的外接圓的半徑,再又可證面,則外接球的半徑,即可求出球的表面積;【詳解】解:依題意可得、、、四點(diǎn)共圓,所以因?yàn)椋?,,所以三角形為正三角形,則,,利用余弦定理得即,解得,則所以,當(dāng)面面時(shí),取得最大,所以的外接圓的半徑,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半徑所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)計(jì)算,正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】
由已知,在上有3個(gè)根,分,,,四種情況討論的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知,的周期為4,且至多在上有4個(gè)根,而含505個(gè)周期,所以在上有3個(gè)根,設(shè),,易知在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,又,.若時(shí),在上無根,在必有3個(gè)根,則,即,此時(shí);若時(shí),在上有1個(gè)根,注意到,此時(shí)在不可能有2個(gè)根,故不滿足;若時(shí),要使在有2個(gè)根,只需,解得;若時(shí),在上單調(diào)遞增,最多只有1個(gè)零點(diǎn),不滿足題意;綜上,實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,涉及到函數(shù)的周期性、分類討論函數(shù)的零點(diǎn),是一道中檔題.16、1【解析】
由題意可得,再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,求得二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)的值.【詳解】的二項(xiàng)展開式的中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,,通項(xiàng)公式為,令,求得,可得二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)等于,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或.【解析】
(1)圓的方程已知,根據(jù)條件列出方程組,解方程即得;(2)設(shè),,顯然直線l的斜率存在,方法一:設(shè)直線l的方程為:,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,消去,可得,同理直線方程和圓方程聯(lián)立,可得,再由可解得,即得;方法二:設(shè)直線l的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立,可得,將其與圓方程聯(lián)立,可得,由可解得,即得.【詳解】(1)記橢圓E的焦距為().右頂點(diǎn)在圓C上,右準(zhǔn)線與圓C:相切.解得,,橢圓方程為:.(2)法1:設(shè),,顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為:.直線方程和橢圓方程聯(lián)立,由方程組消去y得,整理得.由,解得.直線方程和圓方程聯(lián)立,由方程組消去y得,由,解得.又,則有.即,解得,故直線l的方程為或.分法2:設(shè),,當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),不符題意.設(shè)直線l的方程為:.由方程組消去x得,,解得.由方程組消去x得,,解得.又,則有.即,解得,故直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線和橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的分析和運(yùn)算能力.18、(1)(2)應(yīng)該購買21件易耗品【解析】
(1)由統(tǒng)計(jì)表中數(shù)據(jù)可得型號(hào)分別為在一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時(shí)的概率,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨(dú)立事件概率公式進(jìn)而求解即可;(2)由題可得X所有可能的取值為,即可求得對(duì)應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購買20件易耗品和21件易耗品時(shí)總費(fèi)用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】(1)由題中的表格可知A型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為;B型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為;C型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為;設(shè)該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.(2)以題意知,X所有可能的取值為;;;由(1)知,,若該單位在購買設(shè)備的同時(shí)購買了20件易耗品,設(shè)該單位一個(gè)月中購買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,;;;;;若該單位在肋買設(shè)備的同時(shí)購買了21件易耗品,設(shè)該單位一個(gè)月中購買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,;;;;,所以該單位在購買設(shè)備時(shí)應(yīng)該購買21件易耗品【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.19、(1)(2)【解析】
(1)由拋物線定義可知,解得,故拋物線的方程為;(2)設(shè)直線:,聯(lián)立,利用韋達(dá)定理算出的中點(diǎn),又,所以直線的方程為,求出,利用求解即可.【詳解】(1)設(shè)的準(zhǔn)線為,過作于,則由拋物線定義,得,因?yàn)榈降木嚯x比到軸的距離大1,所以,解得,所以的方程為(2)由題意,設(shè)直線方程為,由消去,得,設(shè),,則,所以,又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,令,得,點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得,所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.涉及拋物線的弦的中點(diǎn),斜率問題時(shí),可采用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”求解.20、每天派出A型卡車輛,派出B型卡車輛,運(yùn)輸隊(duì)所花成本最低【解析】
設(shè)每天派出A型卡車輛,則派出B型卡車輛,由題意列出約束
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