高考數(shù)學(xué)立體幾何知識精練題庫100題含答案解析

高考數(shù)學(xué)立體幾何知識精練題庫100題含答案

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一、單選題

1.若直線4，，2的方向向量分別為碗=（2,-1,T），M=（1,1,1）?則這兩條直線（）

A.平行B.垂直C.異面垂直D.垂直相交

2.A,8是不同的兩點，8是不同的兩個平面，/是直線，下列推理錯誤的是

A.Ael,Awa,Bel,Beanlua

B.Aea,Aefl,Bea,Bwp=ac0=AB

C.laa,Aw/nA/a

D.Ael,/ua=Aea

3.如圖所示直三棱柱ABC-OEE容器中，A8=8C且A8_LBC,把容器裝滿水（容器厚

度忽略不計），將底面8C/E平放在桌面上，放水過程中當(dāng)水面高度為A8的一半時，剩

余水量與原來水量之比的比值為（）

4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：切?）,則該幾何體的體積（單位：0〃3）是（）

俯視圖

A.6B.2C.12D.3

5.《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”,已知某“塹堵”的三

視圖如圖所示，俯視圖中間的實線平分矩形的面積，則該“塹堵”的表面積為（）

主”圖左改由

簫次用

A.4+2及B.2C.4+4及D.6+4及

6.已知圓柱。。中，點A,B,C為底面圓周上的三點，CO為圓柱的母線，AC=2,

ZACB=60°,則點A到平面5CD的距離為（）

A.73B.1C.3D.立

24

7.正方體AC中，E、F為AB、BiB中點，則AiE、GF所成的角的正弦值為（）

8.已知m、n是不重合的直線，口、0是不重合的平面，有下列命題：①若mUa,n〃a,

則01〃11；②若m〃a,m〃p,則a〃。；③若anp=n,m〃n,則m〃a且m〃仇④若

m_La,m_L0,則a〃0.其中真命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

9.在正方體A8C0-44。。/中，直線/（與直線8由不重合）_L平面4/。，則（）

A.BiBAJ

B.BiB//l

C.B/B與/異面但不垂直

D.84與/相交但不垂直

10.在空間四邊形0ABe中，OA=a^OB=by反=2,且麗7=2礪，則祈？=（）

1-2--

A.-a—b+c

33

1.2r-

C.-a-^—b-c

試卷第2頁，共25頁

11.某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則它的俯視圖不可能是（)

12.如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，已知?A=P8=gAC=夜，AB=BC=2,平面PA3_L

平面43C,則異面直線PC與48所成角的余弦值為（）

A.亞B.叵C.@D.&

6333

13.如圖，在三棱錐產(chǎn)一4BC中，點D,E分別為棱P8,BC的中點.若點尸在線段AC

B

A.1B.2C.gD.1

14.某球中內(nèi)接一個圓柱，其俯視圖如圖所示，為兩個同心圓，半徑之比為1:2,則該

圓柱與球的體積的比值為（）

15.高為九〃（m<〃）的兩圓柱體積分別為和以其側(cè)面面積相等，則必〃與V〃的

大小關(guān)系是（）

A.匕〉匕R,匕=匕C.Vm<VnD.不確定

16.已知機，〃是兩條不同直線，a,4是兩個不同平面且。0夕=/,則下列命題正確

的（）

A.若加，〃為異面直線且向/a,n//p,則/與機，〃都相交

B.若m,〃為共面直線且n//P,則/與加，〃都相交

C.若〃〃1廣且a_L/,則/與m,〃都垂直

D.若，〃_La,n10,貝ij/與M,〃都垂直

17.已知某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的表面積是（〕

俯視圖

試卷第4頁，共25頁

A.14+4拉B.10+8&C.6+12^D.2+16&

18.在直棱柱ABC。-A5G0中，底面A8CO為正方形，E為底面正方形對角線的交

點，A8=4,M=4血，尸為棱CG的中點，則下列說法不正確的是（）

A.BD_L平面PCEB.BD工PE

C.cosZBPD=V2D.同。=8

19.下列命題中正確的個數(shù)是（）

①兩條直線。，匕沒有公共點，那么。，力是異面直線

②若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則〃3

③空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

④若直線/與平面。平行，則直線/與平面。內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

A.0B.1C.2D.3

20.在矩形A8CQ中，AB=2BC=2,E是。。的中點，將zJJCE沿翻折，當(dāng)ABCE

翻折到的位置時，連接相，DP,如圖所示，設(shè)45的中點為尸，當(dāng)尸尸=；時，

二面角人一跳:一夕的余弦值為（）

A,三-------j-----

3n3

A.gB.|C.-D.-

45

21.在長方體A8CO-A8IC0|中，AB=BC=\照=2,則異面直線AA與所成

角的余弦值為

A.叵B.@C.1D,正

10654

22.在直三棱柱ABC-AMG中，AB=AC=AA}=1,ABJ_AC,點E為棱4%的中點，

則點G到平面BgC的距離等于

A.；B.也C.邁D.1

223

23.如圖，在正方體A8CO—A4G。中，M,N分別為AC,的中點，則下列說

法錯誤的是（）

A.MN〃平面BCC、耳

B.直線MN與平面A5CO所成角為70

C.MN上AB,

D.MN與QR為異面直線

24.三棱柱ABC—A向。中，AABC為等邊三角形，AA△平面ABC,AA/=AB,M,

N分別是48/,4/。的中點，則8例與4V所成角的余弦值為()

A.—B.-C.—D.-

105105

25.一正方體被兩平面截去部分后剩下幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積

為

A.8+4y/3B.12+46

C.8+8石D.18+86

26.已知用，〃為兩條不同的直線，。，夕，/為三個不同的平面，下列命題正確的是

()

①若m//a,3甲,則m//￡；

②若aC\y=m,戶07=〃，則〃?〃〃；

③若〃_La,mua,則〃?J_〃；

④若直線機用與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則根_La.

A.①②B.(2X3)C.①③D.②④

27.在長方體A8CO-A8CQ中，AB=BC=2,。為底面矩形43CD兩條對角線的交

試卷第6頁，共25頁

點，若異面直線與8C所成的角為60°，則長方體ABC。-A4GA的體積為（）

A-4&B.4>/3C.8&D.873

28.如圖，梯形A8CO為直角梯形，AD//BC,AD=AB=\fADLAB,ZBCD=45°,

將△A8O沿3D折起，使點A到點P的位置，得到三棱錐尸-88,其中點尸在底面BCQ

上的射影“在△BCD的內(nèi)部.記直線PO與直線AB所成的角為a,直線尸力與平面BCD

所成的角為夕，二面角2-3D-C的平面角為7,則（）

C.a<y<pD.a<P<y

29.在放△ARC中，C=90,CA=?,CB=百,CO是斜邊的高線，現(xiàn)將AC。沿O折起,

使平面ACDJ_平面8C。，則折疊后48的長度為（）

A.2B.73C.75D.3

30.已知直線〃?、〃，平面a、P,給出下列命題：

①若ml.a,nLfl,且則a_L/7；

②若mlla?n//p,且m//n,則a//J3；

③若"?_La,n//P,且m!M,則aJ■尸：

④若w±a,n//。,且mlln?則a"B.

其中正確的命題是（）

A.①③B.?@C.③?D.①④

31.一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

A.3萬+4>/5B.3乃+8C.24+8D.2萬+46

32.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此

幾何體的表面積為

A.25B.24C.23D.22

33.將正方形ABCO沿對角線5。翻折，使平面AM與平面BCD的夾角為90，如下四

個結(jié)論錯誤的是（）

A.AC±BD

B.△ACO是等邊三角形

C.直線A8與平面BCD所成的角為?

D.48與8所成的角力?

34.過三棱柱ABC—AIBIG的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABBIAI平行的

直線共有（）條.

A.2B.4C.6D.8

35.如圖，銳二面角8//的棱上有4,B兩點,直線AC,5。分別在這個二面角的兩個

半平面內(nèi)，且都垂直于A氏已知48=4,AC=BD=6,CD=8,則銳二面角a-//的平面

角的余弦值是（

36.已知如圖，六棱錐尸-ABCD四的底面是正六邊形，平面ABCDEE則下列結(jié)

論不正確的是（）

試卷第8頁，共25頁

p

A.CD〃平面RA尸B.。尸_L平面Q4/C.CF〃平面RIBD.CF_L平面

PAD

37.如圖所示,在平行六面體A8CO-AB'C'￡>'中八8=1,AD=2,A4'=3,ZBCD=90°,

的A'=Nm4'=60°,則AC的長為（）

A.Vl3B.V23C.733D.V43

38.如圖所示，A是平面BCD外一點，E、F、G分別是BD、DC、CA的中點，設(shè)過

這三點的平面為a,則在圖中的6條直線AB、AC、AD、BC、CD、DB中，與平面a

平行的直線有（）

A.0條B.1條

C.2條D.3條

39.下列命題中，真命題的個數(shù)是.

①已知dbwR,貝上2”是“。>0且b<0”的充分不必要條件；

ab

②“沖=1”是“但工+電），=0”的必要不充分條件；

③已知兩個平面。，B,若兩條異面直線機，〃滿足mua,且加||尸，〃||a,

則a〃尸;

④現(xiàn)￡（9,0）,使3%<4。成立.

A.0B.1C.2D.3

40.MBC的三個內(nèi)角Z,￡,C的對邊分別為巴瓦C,已知sin8=l,向量亍=（&b）,

￡=（1,2）,若丁〃屋，則角A的大小為

Hc丸八亢c2刑

A.—B.—C.—D.——

6323

41.在三棱錐尸—A8c中，A3_13cA8=3C=gpA點。,。分別是ACPC的中點，

OP_L底面ABC,則直線。。與平面P8C所成角的正弦值為（）

AaTR8石「同n同

636030

42.圖1是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

主視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.（2+石）乃B.4打

C.（2+2&WD.6兀

43.公元前3世紀(jì)，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的

直徑（。）的立方成正比“，此即V=S3歐幾里得未給出女的值."世紀(jì)口本數(shù)學(xué)家

們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式丫=必3中的常數(shù)々稱為“立圓率”或

“玉積率類似地，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）、正方體也可利用公式

^=的求體積（在等邊圓柱中，。表示底面圓的直徑；在正方體中，O表示棱長）.假

設(shè)運用此體積公式求得球（直徑為〃）、等邊圓柱（底面圓的直徑為。）、正方體（棱長

為a）的“玉積率”分別為人、k2、k3t那么匕：&:《

A.1.L1B.

46%

試卷第10頁，共25頁

C.2:3:2乃D.-7-:—:1

64

44.如圖，在長方形ABC。中，A8=2,BC=1,E為OC的中點，尸為線段EC上（端

點除外）一動點，現(xiàn)將△A尸。沿A尸折起，使平面A3D_L平面A6O在平面A3。內(nèi)過點

。作。K_LA8,K為垂足，設(shè)4K=f,則f的取值范圍是（

45.如圖，單位正方體ABCD-A與GR的對角面83QO上存在一動點尸，過點尸作垂

直于平面的直線，與正方體表面相交于M、N兩點.則△8MV的面積最大值

A-TB—C筆D-T

46.已知三棱錐P-48C的所有頂點都在球。的球面上，AABC滿足45=2,

ZACB=90°,%為球。的直徑且匕1=4,則點尸到底面A8C的距離為（）

A.72B.272C.6D.26

二、填空題

47.已知直線6的一個方向向量為彳=（1,-1,2）,直線4的一個方向向量為勾=（3,-3,0）,

則兩直線所成角的余弦值為.

48.若兩條直線〃和b沒有公共點，則。與b的位置關(guān)系是（從“平行，相交,

異面”中選）

49.從正方體48。。-4隹0。1的8個頂點中任意選擇3個點，記這3個點確定的平面為

。，則垂直于直線力G的平面。的個數(shù)為

50.已知陽，〃表示兩條不同的直線，a,夕表示兩個不同的平面，則下列四個命題中,

所有正確命題的序號為—.

①若加_L〃，nua,則J_a；②若?！ā?nua,則〃

③若〃?_La,利||夕，則尸;④若m//a,,nua,則〃?.

51.直三棱柱ABC-A媯0,/BCA=90。，M、N分別是A與、CC,的中點，BC=C4=CC,,

則BM與AN所成的角的正弦值為.

52.長方體的長、寬、高分別為3,2,1,其頂點都在球。的球面上，則球。的體積為

53.若平面a的法向量”=（-1,0,1）,直線/的方向向量為1=（0,L1）,貝卜與a所成角的

大小為.

54.唐狩獵紋高足銀杯如圖1所示，銀杯經(jīng)錘操成型，圓唇侈口，直壁深腹，腹下部略

收，下承外撇高足.紋樣則采用塹刻工藝，魚子地紋，杯腹上部飾一道凸弦紋，下部陰

刻一道弦紋，高足中部有“算盤珠”式節(jié).它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的

組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示.已知球的半徑為R,酒杯

內(nèi)壁表面積為q；rR2.設(shè)酒杯上面部分（圓柱）的體積為匕，下面部分（半球）的體積

為匕，則5的值是__________.

圖1

55.如圖所示，在正方體ABCO-AMCQ中，AB=4,M,N分別為棱AR,4用的中

點，過點8的平面平面AA/N,則平面a截該正方體所得截面的面積為.

試卷第12頁，共25頁

56.如圖，/%_1_圓。所在的平面，A8是圓0的直徑，C是圓。上的一點，E,尸分別

是A在尸8,PC上的射影，給出下列結(jié)論：

①A尸_L尸8；②￡;」尸8：③八尸_LBC；④AEJ_平面P8C.

其中正確結(jié)論的序號是.

57.設(shè)A(12-1),8(2,-3,1)在Mh平面上的射影分別為A出，則線段4M的長為

58.某種游戲中，黑、黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體ABC。-AqGA的頂點A出

發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”.黑“電子狗”爬行的路線是

A41TAA-…，黃"電子狗”爬行的路線是AB-Bgf…，它們都遵循如下規(guī)則：所

爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(其中i是正整數(shù)).設(shè)黑“電子狗”爬完

2008段、黃“電子狗”爬完2009段后各自停止在正方體的某個頂點處,這時黑、黃“電子狗”

間的距離是.

59.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有一極長為2的正方體ABC。一AGGA，A。的中點

七到AB的中點尸的距離為.

60.如下圖所示，將平面四邊形ABCD折成空間四邊形，當(dāng)平面四邊形滿足條件

時，空間四邊形中的兩條對角線互相垂直（填一個正確答案就

可以，不必考慮所有可能情形）

61.正三角形A8C的邊長為2力,將它沿高AO翻折,使二面角3-AD-C的大小為?，

則四面體ABC。的外接球的體積為

62.如圖，在長方體中，AB=\,BC=y/3iCC.=—,動點/在棱CG

2

上，連接MAW,則MR+MA的最小值為一.

63.如圖所示，在三棱柱ABC-AqG中，E,尸分別是BB-C&上靠近點8,C的三

4P

等分點，在AG上確定一點尸，使平面尸所〃平面ABC,則標(biāo)

rcl

試卷第14頁，共25頁

AiCi

Bi

64.以下命題：

①在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的?條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂

直；

②已知平面夕的法向量分別為口D,則a_L4=iZ國=0；

③兩條異面直線所成的角為。，M0<^<|；

④直線與平面所成的角為。，則

其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號）.

65.在直三棱柱ABC-A瓦G中，。為AC的中點，ACJ.平面DBC,AB=BC=AAif

則異面直線A。與5c所成角的正切值為.

66.設(shè)直線a與b是異面直線，直線c〃。，則直線b與直線c的位置關(guān)系是.

67.如圖在梯形ABC。中，AB//CD,AB=4,AD=CD=2,將該圖形沿

對角線4c折成圖中的三棱錐8-ACO,且80=2石，則此三棱錐外接球的體積為

68.已知直三棱柱ABC-A4c中，ZAfiC=120°,AB=BC=2,CC,=1,則異面直

線A旦，與3G所成角的余弦值為.

69.在空間直角坐標(biāo)系中，定義；平面。的一般方程為

Ax+By+Cz+D=0（AB,C,DwR,4+出十工0）,點「伉,％,z0）到平面a的距離

d=""Czo：D|,則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心0到側(cè)面

的距離等于.

70.在校長為2的正方體ABC。-A,4GA中，已知點P為棱AA,的中點，點。為棱C。

上一動點，底面正方形48co店的點M始終在平面。/。上，則由所有滿足條件的點M

構(gòu)成的區(qū)域的面積為.

71.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四

棱錐的外接球的表面積等于.

72.己知NAC8=90。，P為平面48C外一點，PC=石，點P到ZAC8兩邊AC,BC

的距離均為2,那么P到平面ABC的距離為.

73.如圖，在正方體ABCO—A4GA中，E,F,G分別是棱A4，的中

點，則下列結(jié)論中：

①FG_L8D；②瓦。_1面后柘；

③面EFG〃面4CC、A；@EFH面CDDtCt.

正確結(jié)論的序號是.

74.如圖，在四棱錐尸-ABCZ）申，平面QADJL平面A8CO,△/<!￡）是邊長為4的等邊

三角形，四邊形A8CD是等腰梯形，AB=AD=^BC,則四棱錐尸-ABC。外接球的表

面積是.

試卷第16頁，共25頁

75.如圖，在四面體48co中，AB=CD=AC=BD=5,AD=BC=3上,E、尸分別

是AO、8c的中點.若用一個與直線放垂直，且與四面體的每個面都相交的平面。去截

該四面體，由此得到一個多邊形截面，則下面的說法中正確的有.

①EF_LAO,EF±BC

②四面體外接球的表面積為344.

③異面直線AC與8。所成角的正弦值為:

④多邊形截面面積的最大值為弓.

76.在AABC中，。為A8的中點,AC=28=4,AABC的面積為6,BE_LCD且BE交CO

于點E,將AfiCD沿C。翻折,翻折過程中，AC與BE所成角的余弦值取值范圍是

三、解答題

77.如圖,在正三棱柱ABC-A/BQ中，。為A8的中點,E為棱38/上一點，且AErAiC.

(1)證明：4E_L平面4/CD

(2)若A8=2,A4/=3,求三棱錐E-4/3。的體積.

78.在平行六面體ABCO-AAGA中，AB=\,AD=2,AA,=3,ZBAD=90°,

ZB/L4,=ZD/L4,=60。.若福=￡,而二叫羽=2.

(2)求向量4G的長度.

79.在等腰梯形4BCD中，AB//CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E為8中點，將ABCE

沿著BE折起，點C變成點R比時PC=#.

(1)求證：AD1PC,

(2)求直線PO與平面P8C所成角的正弦值.

80.如圖，在四棱錐尸-A8CO中，平面ABCD±平面PCD,底面ABCD為梯形，AB//CD,

試卷第18頁，共25頁

AD±DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,ZPDC=120°.

⑴求證：4)_L平面PCD；

(2)求平面E4。與平面PBC夾角的余弦值：

(3)設(shè)M是棱PA的中點，在棱8c上是否存在一點尸，使MF//PC?若存在，請確定點F

的位置；若不存在，請說明理由.

81.已知直二面角。一，一夕的棱上有4,8兩個點，ACua,AC人I,BDu0,BD上I,若

AB=5,AC=3,BD=8,求CO的長.

82.己知平行四邊形ABC。，AB=4,AD=2,NDAB=60°,E為Ab的中點，把三

角形4OE沿OE折起至AOE位置，使得4。=4,尸是線段A。的中點.

(1)求證：〃面AOE；

(2)求證：面AOE，面OE3C：

(3)求四棱錐A-。殖。的體積.

83.如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABCQ是矩形，24_L面ABCD,E4=AB=1,

AD=6點尸是/歸的中點，點E在邊8c上移動.

(1)點七為8c的中點時，試判斷跖與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)證明:無論點E在邊的何處，都有依J_A尸.

(3)當(dāng)8E等于何值時，E4與平面尸力￡1所成角的大小為45。.

p

B

D

84.如圖，48co是邊長為3的正方形，平面A￡>EFJ_平面ABCQ,AF//DE^ADIDE,

AF=?R,DE=3戈.

(1)求證：面ACE_LlffBE。；

(2)求直線CA與平面BEF所成角的正弦值；

(3)在線段所上是否存在點使得平面M3E與平面8EO的夾角的大小為60。？若存

在，求出駕的值；若不存在，請說明理由.

AF

85.如圖，在空間四面體ABCO中，AOJ?平面48C,AB=BC=也4C,且4￡>+8C=6.

2

試卷第20頁，共25頁

D

(1)證明:平面Am5_L平面BCD；

(2)求四面體ABCD體積的最大值，并求此時二面角的余弦值.

86.如圖甲，四邊形A8CD中，E是8C的中點,

。8=2,。。=1,8。=逐,人8=4>=&.將(圖甲)沿直線8。折起，使二面角人一瓦)一(7

為60(如圖乙).

(1)求證：AE_L平面BOC

(2)求點B到平面ACD的距離.

87.如圖①，已知等邊三角形小〃C的邊長為3,點A/,N分別是邊AB,AC上的點，且

BM=2MA,AN=2NC.如圖②，將AAMN沿MN折起到△A'MN的位置.

①②

(I)求證：平面A'3M_L平面BCMW；

(2)若二面角的大小為60。，求平面A8M與平面A'CN所成銳二面角的余弦

值.

88.如圖，四棱柱中，底面45CD和側(cè)面水丫;罔都是矩形，E是8的

中點，D,EYCD.

主視圖

MH

(1)求證：REJ?底面ABC。；

⑵在所給方格紙中(方格紙中每個小正方形的邊長為1),將四棱柱ABCO-AMGA的

三視圖補充完整，并根據(jù)三視圖，求出三棱錐B-ORE的體積.

89.如圖1,有一個邊長為4的正六邊形4BCDE/，將四邊形AO所沿著A。翻折到四

邊形AOG”的位置，連接8”，CG,形成的多面體A8CDG”如圖2所示.

(1)證明：AD1BH.

Q)若BH=2娓,且召0=2麗，求三棱錐的體積.

90.如圖，在三棱錐P—A8C中，/CBA=JAB=^BC=4,RE分別為線段AB,BC

的中點，PDLACiPELBC.

試卷第22頁，共25頁

（1）求證：CD_L平面RS：

（2）若廣為RA上的點，且尸尸=2￡4,3憶_陛-=瘋］，求點P平面A8C的距離.

M是棱AC的中點.

B

（I）求證：〃平面3GM；

(II)設(shè)AB=2,用=6,求點A到平面8GM的距離.

92.如圖，四棱錐P-ABC。中，PA_L平面ABQ9,AD//BC,ABLAD,BC=—,

3

AB=1,BD=PA=2.

（1）求異面直線50與PC所成角的余弦值;

（2）求二面角4-尸D-C的余弦值.

93.如圖，正三棱柱A8C-A8￡的所有棱長都是2,D,E分別是AC,CG的中點.

(1)求證：平面A￡B_L平面A8。；

(2)求二面角BE-A的余弦值.

94.如圖，在長方體AB8—ABCA中，AO=AA=1,AB=2,E為A8的中點.

(1)證明：^ElA.D.

(2)求點E到平面ACR的距離;

(3)求二面角C-七的平面角的余弦值.

95.如圖，已知三棱柱A8C-4用G，側(cè)面BCCM，底面45C.

(1)若知,V分別是48,4。的中點，求證：MN//平面8CCM：

(H)若三棱柱ABC-A用G的各棱長均為2,側(cè)棱8片與底面ABC所成的角為60。，問在

線段4G上是否存在一點尸，使得平面8CP1平面ACGA?若存在，求G尸與PA的比

值，若不存在，說明理由.

試卷第24頁，共25頁

4

B\G

96.如圖所示，四棱錐P-ABC。中，A8C￡＞為正方形，E4_L4)E,F,G分別是線段

PAhD8的中點.求證：

(1)BC〃平面EFG；

(2)平面及'G_1_平面34g.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

根據(jù)方向向量的位置關(guān)系判斷直線的位置關(guān)系即可.

【詳解】

因為萬/i=2xl+（T）xl+（T）xl=0,所以而J./所以《工兒

故選：B.

2.C

【解析】

【詳解】

試題分析：A為公理一，判斷線在面內(nèi)的依據(jù)，故正確；B為公理二，判斷兩條平面相交的

依據(jù)，正確；c中分兩種情況：［與a相交或/〃a，1與a相交時，若交點為則

C錯誤；D中直線在面內(nèi)，則直線上所有點都在面內(nèi)，故結(jié)論正確.故選C.

考點：空間中點、線、面的位置關(guān)系.

3.A

【解析】

【分析】

根據(jù)柱體體積計算公式分析即可得答案.

【詳解】

如圖，柱體體積公式是底面積乘高，高沒變，沒有水的部分底面積變?yōu)樵瓉淼?，

4

故放出水量是原來水量的1;，剩余水量是原來水量的3:.

44

故選：A.

4.A

答案第1頁，共78頁

【解析】

直接利用三視圖的還原圖求出幾何體的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖：該幾何體為底面為直角梯形的四棱柱，如圖所示:

故該幾何體的體積為V=l(l+2).2.2=6.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查三視圖和幾何體體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

5.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，由面積

公式求出幾何體的表面積.

【詳解】

解：根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱ABC-A'B'C,

底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是拉、斜邊是2,

且側(cè)棱與底面垂直，側(cè)棱長是2,

幾何體的表面積S=2x,x2xl+2x2+2x2xx/i=6+4&,

2

故選D.

【點睛】

本題考查三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象

能力.

答案第2頁，共78頁

6.A

【解析】

【分析】

由圓柱母線的性質(zhì)易得CO_L平面A8C,過點A作AEJ_8C,根據(jù)面面垂直的判定及性質(zhì)可

知AE為點A到平面BCD的距離，由sin/ACB=F結(jié)合已知，即可求4E.

AC

【詳解】

如圖所示，由題意知：CO_L平面ABC,COu平面BCD,

工平面38_L平面A8C,又面8cofl面48c=8C,

J過點A作AE_LBC,則AE_L平面BCO,即AE為點A到平面BCD的距離，

在△ABC中，sinZACB=—,故AE=4CsinZACB=2xsin6()o=>/5,

AC

故選：A

B

7.B

【解析】

【分析】

以D為坐標(biāo)原點，分別以DA,DC,DDi所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

正方體棱長為2,分別求出昭與印的坐標(biāo)，利用數(shù)量積求夾角公式求解.

【詳解】

如圖所示,

答案第3頁，共78頁

以D為坐標(biāo)原點，分別以DA,DC,DDi所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體棱長為2,jilljAi(2,0,2),E(2,1,0),C>(0,2,2),F(2,2,I),

則解=(O,L-2),C^=(2,0,-l),

=

??.COS<A,BC.E>=麗鬲=不看?.

AAiE.GF所成的角的正弦值為Jl-gf=筌.

故選B.

【點睛】

本題考查利用空間向量求解空間角，考查計算能力，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是中檔題.

8.B

【解析】

【分析】

根據(jù)平面與平面平行的判定與直線與平面平行的判定進行判定，需要尋找特例，進行排除即

可.

【詳解】

①若mua,n〃a,則m與n平行或異面，故不正確；

②若0)〃0(,m〃p,則a與0可能相交或平行，故不正確；

③若anB=n,m〃n,則m〃a且m〃p,m也可能在平面內(nèi)，故不正確；

④若m_La,m±p,則a〃d垂直與同一直線的兩平面平行，故正確，

故選B.

本題主要考查了立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及其中的公理和判定定理，也蘊含了對定理

公理綜合運用能力的考查，屬中檔題.

9.B

【解析】

【分析】

根據(jù)兩條直線同時垂直于同一平面，則兩直線平行的定理，直接選擇正確選項即可

【詳解】

答案第4頁，共78頁

BiG

因為B/B_L平面A/G,又因為LL平面4。，所以，l〃BB故選：B

10.A

【解析】

利用空間向量的線性運算即可求解.

【詳解】

->->f2T

AM=2MB,:.AM=-AB.

3

TTTT(T2T2-*、

,MC=OC-OM=OC-iOA+-I=oc-I0A+OB--OA\

1->2TT1-*2

=——OA——OB+OC=——a——b+c.

3333

故選:A.

11.D

【解析】

【分析】

直接直觀想象舉出可能滿足條件的幾何體即可.

答案第5頁，共78頁

【詳解】

對A,此時該幾何休為圓錐，滿足.

對B,此時該幾何體為正四棱錐.滿足.

對C,此時該幾何體為正四棱錐的一半.滿足.

故選：D

【點睛】

本題主要考查了直觀想象能力與三視圖的辨析.屬于基礎(chǔ)題型.

12.A

【解析】

【分析】

取A8的中點為O,連接尸。，證明平面ABC,A8JL8C,然后建立空間直角坐標(biāo)系,

利用向量求解即可.

【詳解】

取A8的中點為O,連接PD

因為口4=尸8，所以?

因為平面R48_L平面ABC,平面尸A8c平面ABC=A5,尸Du平面

所以PD_L平面ABC

因為PA=PB」AC=g,AB=BC=2

2

所以A8_L8C

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),A(0,2,0),P(0,l,l),C(2,0,0)

所以福=(0,-2,0),定二(2,-1,-1)

答案第6頁，共78頁

所以異面直線PC與A8所成角的余弦值為^^駕二金二半

2-V66

故選：A

13.C

【解析】

【分析】

連接。。，交PE于G,連接尸G,由4)〃平面PE產(chǎn)，得到AZV/FG,由點。，E分別為

梭PB,BC的中點，得到G是APBC的重心，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

解：連接C。，交PE于G,連接尸G,如圖，

?.A力〃平面尸所，平面ADCn平面尸跖=楊，

/.AD//FG,

???點Q,E分別為棱陽，8c的中點.

「.G是△ABC的重心，

,AFDG\

,~FC=~GC=2"

故選：C.

14.B

【解析】

【分析】

根據(jù)球和圓柱的半徑求出球心到圓柱底面的距離，從而得出圓柱的高，再由圓柱的體積公式

以及球的體積公式求解即可.

答案第7頁，共78頁

【詳解】

設(shè)該圓柱和球的半徑分別為幾R，貝麻-2〃

球心到圓柱底面的距離為廨彳=百廠，即該圓柱的高為2br

則該圓柱與球的體積的比值為仃2.26r：g萬（2,）3=3萬:16

故選：B

【點睛】

本題主要考查了圓柱的體積公式以及球的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.A

【解析】

【分析】

根據(jù)體積公式表示底面半徑，再由側(cè)面積相等列等式化簡得》=\>1,從而可判斷.

n

【詳解】

設(shè)高為〃?,〃（帆V〃）的兩圓柱的底面半徑分別為〃，小

所以町=K，町/般=匕,

整理得黃=2>1,所以喙〉匕.

?n

故選：A.

16.D

【解析】

ABCD選項，利用正方體的圖形舉例判斷；D選項，利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷.

【詳解】

如圖所示：

答案第8頁，共78頁

A.若二=平面ABC。，夕=平面BCG&,/=BC,機=所，〃=OR對，不成立，故錯誤；

B.若。=平面ABC￡>,夕=平面成6"，l=BC,巾=AR,〃=。。時，不成立，故錯

誤；

C.若。=平面ABCD,4=平面BCG瓦，l=BC,m=AD,〃=MG時，不成立，故錯誤；

D.若m_La,lua,則mkl,同理〃_!_/,故正確；

故選：D

17.A

【解析】

【分析】

由三視圖可還原出幾何體為直五棱柱，分別求出底面積和側(cè)面積即可得解.

【詳解】

由三視圖可得該棱柱為直五棱柱，形狀如圖：

答案第9頁，共78頁

f

由三視圖可知，CD=2,ED=BC=T,EA=AB=五，AA=2f

所以該五棱柱的底面積E=lx2+