2019-2020學年山西省八校高三(下)第一次聯(lián)考數(shù)學試題含解析

2019-2020學年山西省八校高三（下）第一次聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1．（5分）設集合A={x|x≤2}，B={x|y=}，則A∩B=（）A．[1，2] B．[0，2] C．（1，2] D．[﹣1，0）2．（5分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，命題p：“若a1＜a2＜a3，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”，那么在命題p及其逆命題，否命題和逆否命題中，正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）函數(shù)y=|2sinx|的最小正周期為（）A． B．π C． D．2π4．（5分）某學校10位同學組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負責．每次獻愛心活動均需該組織4位同學參加．假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給4位同學，且所發(fā)信息都能收到．則甲冋學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率為（）A． B． C． D．5．（5分）已知函數(shù)g（x）是定義在區(qū)間[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函數(shù)（m＞0），且f（x）=，則f（2016）=（）A．1 B．2 C．9 D．106．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，求該幾何體的體積（）A．36 B．24 C．12 D．97．（5分）若不等式組表示的區(qū)域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的區(qū)域為Γ，向Ω區(qū)域均勻隨機撒360顆芝麻，則落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為（）A．114 B．10 C．150 D．508．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S值為﹣4，則條件框內(nèi)應填寫（）A．i＞3？ B．i＜5？ C．i＞4？ D．i＜4？9．（5分）已知直線：y=kx﹣k+1與曲線C：x2+2y2=m有公共點，則m的取值范圍是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜310．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高為，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的體積為，則PA與平面ABC所成的角大小是（）A． B． C． D．11．（5分）已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（）A． B． C． D．12．（5分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值為b，當x∈[1，+∞）時，f（x）≥b恒成立，則a的取值范圍（）A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≤﹣1 D．a(chǎn)≤0二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）總體編號為01，02，…19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為．781665720802631402144319971401983204923449368200362348696938718114．（5分）已知向量，若，且，則x+y=．15．（5分）已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=，an+bn=1，bn+1=，n∈N*，則b2016=．16．（5分）過雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（﹣c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P，O為原點，若，則雙曲線的離心率為．三、解答題：本大題共5小題，共70分．17．（12分）已知數(shù)列{an}，設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，并且滿足a1=1，對任意正整數(shù)n，有Sn+1=4an+2．（1）令bn=an+1﹣2an（n=1，2，3，…），證明{bn}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項公式；（2）求cn=，求數(shù)列{}的前n項和Tn．18．（12分）某課題組對春晚參加“咻一咻”搶紅包活動的同學進行調(diào)查，按照使用手機系統(tǒng)不同（安卓系統(tǒng)和IOS系統(tǒng)）分別隨機抽取5名同學進行問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們咻得紅包總金額數(shù)如表所示：手機系統(tǒng)一二三四五安卓系統(tǒng)（元）253209IOS系統(tǒng)（元）431897（1）如果認為“咻”得紅包總金額超過6元為“咻得多”，否則為“咻得少”，請判斷手機系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少是否有關？（2）要從5名使用安卓系統(tǒng)的同學中隨機選出2名參加一項活動，以X表示選中的同學中咻得紅包總金額超過6元的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望E（X）．下面的臨界值表供參考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中n=a+b+c+d．19．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在線段AM上是否存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，E′F′兩點的坐標分別為（0，），（0，﹣），動點G滿足：直線E′G與直線F′G的斜率之積為﹣．（1）求動點G的軌跡方程；（2）過點O作兩條互相垂直的射線，與（1）中的軌跡分別交于A，B兩點，求△OAB面積的最小值．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函數(shù)g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在區(qū)間[，e]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．四.請考生在第（22），（23）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線：（t為參數(shù)）與曲線C：（θ為參數(shù)）相交于不同的兩點A，B．（1）若α=，求線段AB的長度；（2）若直線的斜率為，且有已知點P（2，），求證：|PA|?|PB|=|OP|2．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（a＞1）（1）若不等式f（x）≥2的解集為{x|x≤或x}，求a的值；（2）?x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求實數(shù)a的取值范圍．

2019-2020學年山西省八校高三（下）第一次聯(lián)考數(shù)學試題參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1．（5分）設集合A={x|x≤2}，B={x|y=}，則A∩B=（）A．[1，2] B．[0，2] C．（1，2] D．[﹣1，0）【分析】求出B中x的范圍確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由B中y=，得到，即x＞1，∴B=（1，+∞），∵A=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]，故選：C．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．2．（5分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，命題p：“若a1＜a2＜a3，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”，那么在命題p及其逆命題，否命題和逆否命題中，正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題意，寫出命題p與它的逆命題，否命題和逆否命題，再判定它們是否為真命題．【解答】解：原命題p：在等比數(shù)列{an}中，“若a1＜a2＜a3，則數(shù)列{an遞增數(shù)列”，是真命題；逆命題是：“若數(shù)列{an遞增數(shù)列”，則“a1＜a2＜a3”，是真命題；否命題是：“若a1＜a2＜a3不成立，則數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，是真命題；逆否命題是：若數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，則a1＜a2＜a3不成立，是真命題．綜上，命題p及其逆命題，否命題和逆否命題中，正確命題有4個．故選：D．【點評】本題考查了四種命題的關系以及命題真假的判定問題，解題時應弄清楚四種命題的關系是什么，根據(jù)遞增數(shù)列的定義判斷命題的真假，是基礎題．3．（5分）函數(shù)y=|2sinx|的最小正周期為（）A． B．π C． D．2π【分析】直接利用三角函數(shù)的周期求解即可．【解答】解：y=sinx是周期為：2π，則函數(shù)y=|2sinx|的最小正周期為：π．故選：B．【點評】本題考查三角函數(shù)的周期的求法，是基礎題．4．（5分）某學校10位同學組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負責．每次獻愛心活動均需該組織4位同學參加．假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給4位同學，且所發(fā)信息都能收到．則甲冋學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率為（）A． B． C． D．【分析】設A表示“甲同學收到李老師所發(fā)活動信息”，設B表示“甲同學收到張老師所發(fā)活動信息”，由題意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率．【解答】解：設A表示“甲同學收到李老師所發(fā)活動信息”，設B表示“甲同學收到張老師所發(fā)活動信息”，由題意P（A）==，P（B）=，∴甲冋學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率為：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故選：C．【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意任意事件概率加法公式的合理運用．5．（5分）已知函數(shù)g（x）是定義在區(qū)間[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函數(shù)（m＞0），且f（x）=，則f（2016）=（）A．1 B．2 C．9 D．10【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義域的對稱性求出m，利用函數(shù)的周期性進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵函數(shù)g（x）是定義在區(qū)間[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函數(shù)（m＞0），∴﹣3﹣m+m2﹣m=0，即m2﹣2m﹣3=0，得m=3或m=﹣1，∵m＞0，∴m=3，則當x≥0時，f（x）=f（x﹣3），則f（2016）=f（672×3）=f（0）=f（﹣3）=（﹣3）2+1=9+1=10，故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)條件求出m的值，然后根據(jù)分段函數(shù)進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關鍵．6．（5分）如圖為某幾何體的三視圖，求該幾何體的體積（）A．36 B．24 C．12 D．9【分析】由已知中的三視圖，可判斷出幾何體是一個底面以邊長為3正方形為底，高為4的四棱錐，代入棱錐體積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖，可得：該幾何體是一個四棱錐底面是一個邊長為3正方形故底面面積S=3×3=9棱錐的高h=4故棱錐的體積V=×S×h=12故選：C．【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積，其中根據(jù)已知的三視圖分析出幾何體的形狀及棱長是解答的關鍵．7．（5分）若不等式組表示的區(qū)域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的區(qū)域為Γ，向Ω區(qū)域均勻隨機撒360顆芝麻，則落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為（）A．114 B．10 C．150 D．50【分析】作出兩平面區(qū)域，計算兩區(qū)域的公共面積，得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率．【解答】解：作出平面區(qū)域Ω如圖：則區(qū)域Ω的面積為S△ABC==．區(qū)域Γ表示以D（）為圓心，以為半徑的圓，則區(qū)域Ω和Γ的公共面積為S′=+=．∴芝麻落入?yún)^(qū)域Γ的概率為=．∴落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為360×=30π+20≈114．故選A．【點評】本題考查了幾何概型的概率計算，不等式與平面區(qū)域，作出平面區(qū)域計算兩區(qū)域的公共面積是解題關鍵．8．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S值為﹣4，則條件框內(nèi)應填寫（）A．i＞3？ B．i＜5？ C．i＞4？ D．i＜4？【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出S的值，條件框內(nèi)的語句是決定是否結(jié)束循環(huán)，模擬執(zhí)行程序即可得到答案．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得i=1，S=10滿足判斷框內(nèi)的條件，第1次執(zhí)行循環(huán)體，s=10﹣21=8，i=2，滿足判斷框內(nèi)的條件，第2次執(zhí)行循環(huán)體，s=8﹣22=4，i=3，滿足判斷框內(nèi)的條件，第3次執(zhí)行循環(huán)體，s=4﹣23=﹣4，i=4，此時，應該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出的S值為﹣4，則條件框內(nèi)應填寫：i＜4，故選：D．【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答，屬于基礎題．9．（5分）已知直線：y=kx﹣k+1與曲線C：x2+2y2=m有公共點，則m的取值范圍是（）A．m≥3 B．m≤3 C．m＞3 D．m＜3【分析】直線：y=kx﹣k+1恒過定點（1，1），利用直線：y=kx﹣k+1與曲線C：x2+2y2=m有公共點，定點在圓內(nèi)或圓上，即可得出m的取值范圍．【解答】解：直線：y=kx﹣k+1恒過定點（1，1），∵直線：y=kx﹣k+1與曲線C：x2+2y2=m有公共點，∴12+2×12≤m，∴m≥3．故選：A．【點評】本題考查直線與曲線的位置關系，考查直線過定點，考查學生的計算能力，屬于中檔題．10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高為，若P是△A1B1C1中心，且三棱柱的體積為，則PA與平面ABC所成的角大小是（）A． B． C． D．【分析】由題意設底面正△ABC的邊長為a，過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，則點O為底面△ABC的中心，故∠PAO即為PA與平面ABC所成角，由此能求出PA與平面ABC所成的角．【解答】解：由題意設底面正△ABC的邊長為a，過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，則點O為底面△ABC的中心，故∠PAO即為PA與平面ABC所成角，∵|OA|==，|OP|=，又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中體積為，∴由直棱柱體積公式得V==，解得a=，∴tan∠PAO==，∴，∴PA與平面ABC所成的角為．故選：C．【點評】本題考是線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．11．（5分）已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，以及余弦定理建立方程關系即可得到結(jié)論．【解答】解：∵雙曲線C的離心率為2，∴e=，即c=2a，點A在雙曲線上，則|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，則由余弦定理得cos∠AF2F1===．故選：A．【點評】本題主要考查雙曲線的定義和運算，利用離心率的定義和余弦定理是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．12．（5分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值為b，當x∈[1，+∞）時，f（x）≥b恒成立，則a的取值范圍（）A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≤﹣1 D．a(chǎn)≤0【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關系判斷g（x）的單調(diào)性求出g（x）在[1，4]上的最大值b，對a進行討論判斷f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，令fmin（x）≥b解出a的范圍．【解答】解：g′（x）=﹣3x2+5x+2，令g′（x）=0得x=2或x=﹣．當1≤x＜2時，g′（x）＞0，當2＜x＜4時，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，2）上單調(diào)遞增，在（2，4]上單調(diào)遞減，∴b=g（2）=0．∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，f′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣a，△=a2+8a．（1）若△=a2+8a≤0，即﹣8≤a≤0，則h（x）≥0恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴fmin（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴﹣8≤a≤0．（2）若△=a2+8a＞0，即a＜﹣8或a＞0．令f′（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=．若a＜﹣8，則＜0，則h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴fmin（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴a＜﹣8．若0＜≤1，即0＜a≤1，則h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴fmin（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1．若＞1，即a＞1時，則1≤x＜時，h（x）＜0，當x＞時，h（x）＞0．∴1≤x＜時，f′（x）＜0，當x＞時，f′（x）＞0．∴f（x）在[1，]上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．此時fmin（x）＜f（1）=1﹣a＜0，不符合題意．綜上，a的取值范圍是（﹣∞，1]．故選：B．【點評】本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）總體編號為01，02，…19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為01．7816657208026314021443199714019832049234493682003623486969387181【分析】根據(jù)隨機數(shù)表，依次進行選擇即可得到結(jié)論．【解答】解：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于20的編號依次為08，02，14，07，02，01，．其中第二個和第四個都是02，重復．可知對應的數(shù)值為08，02，14，07，01，則第5個個體的編號為01．故答案為：01．【點評】本題主要考查簡單隨機抽樣的應用，正確理解隨機數(shù)法是解決本題的關鍵，比較基礎．14．（5分）已知向量，若，且，則x+y=1或﹣3．【分析】由題意可得4+4y+2x=0，=，解出x和y的值，即得x+y的值．【解答】解：∵，∴=4+4y+2x=0，又=，∴x=4，y=﹣3，或x=﹣4，y=1，故x+y=1，或﹣3，故答案為：1或﹣3．【點評】本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應用，兩個向量垂直的性質(zhì)，向量的模的定義，解出x和y的值，是解題的關鍵．15．（5分）已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=，an+bn=1，bn+1=，n∈N*，則b2016=．【分析】數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=，an+bn=1，bn+1=，n∈N*，可得b1=1﹣a1=，bn+1==．求出b2，b3，b4，…，猜想：bn=，即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=，an+bn=1，bn+1=，n∈N*，∴b1=1﹣a1=，bn+1==．∴b2=，b3=，b4=，…，猜想：bn=，經(jīng)過驗證：bn+1=成立．則b2016=．故答案為：．【點評】本題考查了遞推關系、猜想與證明，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16．（5分）過雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（﹣c，0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P，O為原點，若，則雙曲線的離心率為．【分析】由題設知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，過F點作x軸的垂線l，過P點作PD⊥l，則l為拋物線的準線，據(jù)此可求出P點的橫坐標，后在Rt△PDF中根據(jù)勾股定理建立等式，由此能求出雙曲線的離心率．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF∴|EF|=b，∵，∴E為PF的中點，|PF|=2b，又∵O為FF′的中點，∴PF′∥EO，∴|PF′|=2a，∵拋物線方程為y2=4cx，∴拋物線的焦點坐標為（c，0），即拋物線和雙曲線右支焦點相同，過F點作x軸的垂線l，過P點作PD⊥l，則l為拋物線的準線，∴PD=PF′=2a，∴P點橫坐標為2a﹣c，設P（x，y），在Rt△PDF中，PD2+DF2=PF2，即4a2+y2=4b2，4a2+4c（2a﹣c）=4（c2﹣b2），解得e=故答案為：．【點評】本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，同時考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分．17．（12分）已知數(shù)列{an}，設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，并且滿足a1=1，對任意正整數(shù)n，有Sn+1=4an+2．（1）令bn=an+1﹣2an（n=1，2，3，…），證明{bn}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項公式；（2）求cn=，求數(shù)列{}的前n項和Tn．【分析】（1）利用an+1=Sn+1﹣Sn可知證明an+1=4（an﹣an﹣1），通過bn=an+1﹣2an可知bn+1=2（an+1﹣2an），通過作商可知{bn}是公比為2的等比數(shù)列，通過a1=1可知b1=3，進而可得結(jié)論；（2）通過（1）可知cn=2n﹣1，裂項可知=﹣，并項相加即得結(jié)論．【解答】（1）證明：an+1=Sn+1﹣Sn=（4an+2）﹣（4an﹣1+2）=4（an﹣an﹣1）（n∈N+，n≥2）．…（1分）由題意知bn=an+1﹣2an，∴bn+1=an+2﹣2an+1．∴bn+1=4（an+1﹣an）﹣2an+1=2an+1﹣4an=2（an+1﹣2an），…（3分）∴==2（n∈N+），∴{bn}是等比數(shù)列，公比q=2．…（5分）又∵S2=4a1+2，∴a1+a2=4a1+2，∴1+a2=4+2，∴a2=5，∴b1=a2﹣2a1=5﹣2=3，∴bn=b1?qn﹣1=3?2n﹣1．…（7分）（2）解：∵cn==2n﹣1，…（8分）∴==﹣，∴Tn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．…（10分）【點評】本題考查數(shù)列的通項及前n項和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．18．（12分）某課題組對春晚參加“咻一咻”搶紅包活動的同學進行調(diào)查，按照使用手機系統(tǒng)不同（安卓系統(tǒng)和IOS系統(tǒng)）分別隨機抽取5名同學進行問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們咻得紅包總金額數(shù)如表所示：手機系統(tǒng)一二三四五安卓系統(tǒng)（元）253209IOS系統(tǒng)（元）431897（1）如果認為“咻”得紅包總金額超過6元為“咻得多”，否則為“咻得少”，請判斷手機系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少是否有關？（2）要從5名使用安卓系統(tǒng)的同學中隨機選出2名參加一項活動，以X表示選中的同學中咻得紅包總金額超過6元的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望E（X）．下面的臨界值表供參考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中n=a+b+c+d．【分析】（1）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進行比較，K2=0.4＜2.706，可得到?jīng)]有足夠的理由認為手機系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少有關；（2）由題意求得X的取值0，1，2，運用排列組合的知識，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式計算即可得到（X）．；【解答】解：（1）根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下：咻得多少手機系統(tǒng)咻得多咻得少合計安卓325IOS235合計5510K2==0.4＜2.706，所以沒有足夠的理由認為手機系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少有關．（6分）（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==（9分）故X的分布列為：X012P∴數(shù)學期望E（X），E（X）=0×+1×+2×=0.8．（12分）【點評】本題考查獨立性檢驗知識的運用，考查超幾何分布的計算公式、分布列和數(shù)學期望及其排列與組合的計算公式，考查計算能力，屬于中檔題．19．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在線段AM上是否存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．【分析】（I）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設x在線段AM上是否存在點P，使二面角P﹣EC﹣D的大小為．再通過建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，利用坐標法進行求解判斷．【解答】解：（I）CM與BN交于F，連接EF．由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，所以F是BN的中點．因為E是AB的中點，所以AN∥EF．…（7分）又EF?平面MEC，AN?平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點，可得DE⊥AB．又四邊形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如圖建立空間直角坐標系D﹣xyz，則D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），設平面PEC的法向量為=（x，y，z）．則，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在線段AM上是否存在點P，當h=時使二面角P﹣EC﹣D的大小為．【點評】本題主要考查空間直線和平面平行的判斷以及二面角的應用，考查存在性問題，建立坐標系利用向量法是解決本題的關鍵．考查學生的運算和推理能力．20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，E′F′兩點的坐標分別為（0，），（0，﹣），動點G滿足：直線E′G與直線F′G的斜率之積為﹣．（1）求動點G的軌跡方程；（2）過點O作兩條互相垂直的射線，與（1）中的軌跡分別交于A，B兩點，求△OAB面積的最小值．【分析】（1）設動點G的坐標（x，y），直線E'G的斜率，直線F'G的斜率（x≠0），由直線E′G與直線F′G的斜率之積為﹣，能求出求動點G的軌跡方程；（2）設直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，由此利用韋達定理、點到直線距離公式、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知能求出△OAB面積的最小值．【解答】解：（1）∵，設動點G的坐標（x，y），∴直線E'G的斜率，直線F'G的斜率（x≠0），又，∴，∴動點G的軌跡方程為．（4分）（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立，消去y，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，，，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即，把，代入，得，整理得7m2=12（k2+1），∴O到直線AB的距離d===，（8分）∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA?OB，當且僅當OA=OB時取“=”號．由d?AB=OA?OB，得d，∴AB≥2d=，即弦AB的長度的最小值是，∴△OAB面積的最小值為．（12分）【點評】本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、點到直線距離公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函數(shù)g（x）=+ax﹣f（x），求g（x）在區(qū)間[，e]上的最大值；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）令g′（x）=0得出g（x）的極值點，判斷g（x）在[，e]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出最大值；（2）對a進行討論，判斷g（x）在（0，e]上的單調(diào)性，求出最小值，令最小值為3解出a．【解答】解：（1）g（x）=﹣+lnx，g′（x）=﹣x+=．∴當≤x＜1時，g′（x）＞0，當1＜x≤e時，g′（x）＜0．∴g（x）在[，1]上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，∴當x=1時，g（x）在[，e]上取得最大值g（1）=﹣．（2）g（x）=ax﹣lnx，g′（x）=a﹣．當a≤0時，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上是減函數(shù)，∴gmin（x）=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍）．當a＞0時，令g′（x）=0得x=．∴當0＜x＜時，g′（x）＜0，當x＞時，g′