專題21 幾何問題（一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用） 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題21幾何問題（一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用）考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分評(píng)卷人得分一、選擇題(共10題，每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022春·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為（

）A．12 B． C． D．10【答案】B【思路點(diǎn)撥】設(shè)，則，先根據(jù)函數(shù)圖象、三角形的面積公式可得，從而可得，再結(jié)合函數(shù)圖象可得，然后利用勾股定理求解即可得．【規(guī)范解答】解：設(shè)，則，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，解得，，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、勾股定理，讀懂函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．2．(本題2分)（2023春·重慶涪陵·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，將沿軸向左平移，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，線段掃過的區(qū)域所形成圖形的周長為（

）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)勾股定理求出的長，再求出點(diǎn)落在直線時(shí)的橫坐標(biāo)，求出平移的距離即可解決問題．【規(guī)范解答】解：如圖，在中，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)向左平移3個(gè)單位落在直線上，點(diǎn)平移的距離為3個(gè)單位，線段掃過的面積為，故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖平移變換、一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．3．(本題2分)（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的斜邊，點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別是，，將沿第一象限的角平分線方向平移，當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)記作點(diǎn)，則的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意點(diǎn)C在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移，求出此直線的解析式與組成方程組，解之即可【規(guī)范解答】解：∵點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別是，，∴∴在中，，則∴∵沿第一象限的角平分線方向平移，∴點(diǎn)C在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移，∴設(shè)該直線的解析式為∴∴∴∵點(diǎn)落在直線上時(shí)記作點(diǎn)，∴解得：∴故選：A【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)與幾何變換—平移，涉及到求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，得出點(diǎn)C的在平行于第一象限的角平分線且過的直線上平移是解題的關(guān)鍵4．(本題2分)（2021秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿直線移動(dòng)到y(tǒng)軸上的點(diǎn)M處，再沿垂直于y軸的方向向左移動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)N處，最后沿直線移動(dòng)到點(diǎn)B處停止．當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)的路徑最短時(shí)（即三條線段長度之和最?。?，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】將沿方向平移長的距離得到，連接，可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，有最小值，最小值等于線段的長，即的最小值等于長，可得、、長度之和最小，再根據(jù)待定系數(shù)法求得的解析式，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：如圖，將沿方向平移長的距離得到，連接，則，四邊形是平行四邊形，，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，有最小值，最小值等于線段的長，即的最小值等于長，此時(shí)、、長度之和最小，，，，，設(shè)的解析式為，則，解得，，令，則，即，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了最短路線問題以及待定系數(shù)法的運(yùn)用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理．5．(本題2分)（2023秋·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州中學(xué)校考期末）如圖，直線交軸，軸于點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且縱坐標(biāo)為4．若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在軸的正半軸上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點(diǎn)撥】由直線，可得，易知；連接，交直線與點(diǎn)，連接，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得垂直平分，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，再證明，由全等三角形的性質(zhì)可得；設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，即可確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，連接，交直線與點(diǎn)，連接，如下圖，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，且，∴，∵點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且縱坐標(biāo)為4，∴軸，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴在中，，即，解得，∴，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．6．(本題2分)（2023秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳外國語學(xué)校校考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在一次函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)依次為，，，分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，則圖中陰影部分的面積之和是（）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A，D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出、的長，利用三角形的面積計(jì)算公式可求出的面積，同理可得出另外兩個(gè)小三角形的面積均為，再將三個(gè)小三角形的面積相加即可求出結(jié)論．【規(guī)范解答】設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，如圖所示．當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，，∴，∴．同理，可求出另兩個(gè)三角形的面積均為（陰影部分組成的小三角形），∴陰影部分面積之和為：．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了幾何問題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)及三角形的面積，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及三角形的面積公式，求出每個(gè)小三角形的面積是解題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，直線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線段為邊，在第二象限內(nèi)作等腰直角，，則過B、C兩點(diǎn)直線的解析式為（）A． B． C． D．【答案】B【思路點(diǎn)撥】過C作垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，以及，證明與全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，由求出的長，即可確定出C坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得過B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【規(guī)范解答】解：對(duì)于直線，令，得到，即B（0，2），，令，得到，即，過C作軸，可得，∴，∵是等腰直角三角形，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，即，∴，設(shè)直線BC的解析式為，∵B（0，2），∴b=2?5k+b=3，解得．∴過B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，以及全等三角形的判定和性質(zhì)．正確的求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2022春·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，于點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)確定的運(yùn)動(dòng)軌跡是在與軸垂直的一段線段，當(dāng)線段與垂直時(shí)，線段的值最?。疽?guī)范解答】解：由已知可得，∴三角形是等腰直角三角形，∵，∴，又∵P是線段上動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，∴P在線段上運(yùn)動(dòng)，所以P'的運(yùn)動(dòng)軌跡也是線段，∴當(dāng)P在O點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的在N點(diǎn)，此時(shí)AO=AN，當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的在M點(diǎn),此時(shí)AM=AC∴P'的運(yùn)動(dòng)軌跡是在與x軸垂直的一段線段，∴當(dāng)線段與垂直時(shí)，線段的值最小，在中，，∴，又∵是等腰直角三角形，∴，∴．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的判斷，垂線段最短，熟練掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2023秋·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線相交于點(diǎn)，．下列四個(gè)說法：；為線段中點(diǎn)；；點(diǎn)的坐標(biāo)為．其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【思路點(diǎn)撥】先用待定系數(shù)法分別求出直線的解析式，再根據(jù)兩條直線的斜率相乘是否等于即可判斷；求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷；用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式求出的長，從而可以得出兩個(gè)三角形的邊的關(guān)系，從而可以判斷；點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，根據(jù)解析式即可求出坐標(biāo)，從而可以判斷．【規(guī)范解答】解：，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為：，直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，解得，直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，解得，直線的解析式為：，，，，故正確，符合題意；點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，為線段中點(diǎn)，故正確，符合題意；由圖象得，，，（SSS），故說法正確，符合題意；點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故說法正確，符合題意；故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、判斷兩條直線垂直、判斷點(diǎn)是線段的中點(diǎn)、三角形全等的判定、求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是先用待定系數(shù)法求出兩條直線的解析式．10．(本題2分)（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），過點(diǎn)E作EF//BC，交AB于F，點(diǎn)P在線段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】先求確定A、C、B三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的長，進(jìn)而表示出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：由題意可得，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b則解得：∴直線AB的解析式為：y=x-4，∴x=y+4，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n則解得：∴直線AC的解析式為：，∴，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為：y+4，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：，∴，∵EP=3PF，∴，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：，∵，∴．∴故答案為：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了等腰直角三角形性質(zhì)、求一次函數(shù)的解析式、不等式性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意表示出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題(共10題，每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段所在直線的解析式為，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____________．【答案】【思路點(diǎn)撥】作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，的最小值為，分別求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，證明四邊形是正方形即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的長度．【規(guī)范解答】解：如下圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，∵線段所在直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴相互垂直平分，∴四邊形是正方形，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)∴的最小值為，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)．12．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)校考期末）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，連接，，點(diǎn)M，N分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（M不與A，B重合），且滿足．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，M的坐標(biāo)為______．【答案】或【思路點(diǎn)撥】根據(jù)，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得，再由點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，可得，從而得到，然后分三種情況討論，即可求解．【規(guī)范解答】解：令，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，∵，，∴，∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，在和中，∵，，，∴，∴，∴，∴M的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，不符合題意，舍去；綜上所述，M的坐標(biāo)為或．故答案為：或【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．13．(本題2分)（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線：分別交x軸和y軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)D在直線：上，且點(diǎn)D在直線下方，連接和，若的面積為3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是___________．【答案】##【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)E，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，的解析式為，求出直線的解析式為，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，用m表示出，根據(jù)三角形面積公式列出m的方程，解方程即可得出答案．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)C作軸，交于點(diǎn)E，如圖所示：把代入得：，∴，把代入得：，∴，設(shè)點(diǎn)，的解析式為，把，代入得：，解得：，所以直線的解析式為，把代入得：，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)D在直線下方，∴點(diǎn)一定在點(diǎn)C的下方，∴，∴，解得：，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為：．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，用點(diǎn)D的坐標(biāo)表示出的面積，列出方程．14．(本題2分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），滿足．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．【答案】或．【思路點(diǎn)撥】分三種情況考慮：當(dāng)時(shí)，可得，確定出此時(shí)的坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，利用外角性質(zhì)判斷不可能；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，進(jìn)而求出此時(shí)的坐標(biāo)即可．【規(guī)范解答】解：對(duì)于直線，令，得到；令，得到，，，即，與關(guān)于軸對(duì)稱，，，即，則根據(jù)勾股定理得：；點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，，，又，，①當(dāng)時(shí)，則，，，此時(shí)點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，是的外角，，又，這種情況不可能；③當(dāng)時(shí)，，又，，，設(shè)，則，，，解得：．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：．綜上，的坐標(biāo)為，，．故答案是：，．【考點(diǎn)評(píng)析】此題屬于一次函數(shù)綜合題，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解本題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖長方形的邊長．剛開始時(shí)與y軸重合．將長方形沿x軸以每秒1個(gè)單位長度向右平移，在平移過程中，邊與直線交于點(diǎn)M，與直線交于點(diǎn)N，邊與直線交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)為定值時(shí)，時(shí)間t的取值范圍為______．【答案】或【思路點(diǎn)撥】判斷出在兩直線交的左側(cè)，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，證明當(dāng)線段，在兩直線的交點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，為定值，求出直線，直線經(jīng)過兩直線交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與重合時(shí)的值，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】由，解得，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，線段在交點(diǎn)的左側(cè)，，，，如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，，四邊形是平行四邊形，，定值，觀察圖像可知，當(dāng)線段，在兩直線的交點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，為定值，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，觀察圖形可知，滿足條件的的值為或．故答案為：或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問題．16．(本題2分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在線段、上，連接將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在軸上，且平分，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)可得，，利用折疊，得到，進(jìn)而得到，即點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，設(shè)，代入一次函數(shù)解析式，求出值，即可得解．【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵平分，∴，∵將沿折疊，∴，∴，∴，即：點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，設(shè)，∵點(diǎn)D線段上，∴，解得：，∴；故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，以及折疊后的兩個(gè)三角形全等，是解題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2023秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．直線：與軸，軸分別交于點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，且，則直線的函數(shù)表達(dá)式為______．【答案】【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由的解析式求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，由得，設(shè)，，根據(jù)勾股定理和等積法求出，，得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后設(shè)出解析式代入求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵：與軸，軸分別交于點(diǎn)，，∴，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，，由勾股定理得，即，由等積法得，∴，聯(lián)立，解得或（舍去），∴，設(shè)：，將點(diǎn)代入并解得，∴的函數(shù)表達(dá)式為．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)的幾何綜合，正確畫出輔助線，熟練運(yùn)用勾股定理和等積法是解題的關(guān)鍵．18．(本題2分)（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以QP為腰作等腰，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為___________．【答案】【思路點(diǎn)撥】作、垂直于軸于、，證明≌，推出，，設(shè)，得，求出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到最小值的情況，求出的解析式，再和聯(lián)立，即可求出點(diǎn)H坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：作、垂直于軸于、，則，則，為等腰直角三角形，，即，，在和中，，≌，，，設(shè)，得，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)最小，此時(shí)F，設(shè)直線的解析式為，將F代入，得：，解得：，，聯(lián)立：，解得：，即，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱最短問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．19．(本題2分)（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直線，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作軸的垂線交直線于，過點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)，；按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__．【答案】【思路點(diǎn)撥】先求解，設(shè)再利用勾股定理求解求出，同理可得，然后表示出與OM的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)在x軸上寫出坐標(biāo)即可．【規(guī)范解答】解：點(diǎn)的坐標(biāo)是，軸，點(diǎn)在直線上，，，．又，即設(shè)則解得：即同理，，，．點(diǎn)的坐標(biāo)是，．故答案是：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用，坐標(biāo)規(guī)律的探究，熟記性質(zhì)并總結(jié)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．20．(本題2分)（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于A，B兩點(diǎn)，C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥OA于H，Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則BP＋PH＋HQ的最小值為________．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解析式求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，結(jié)合矩形性質(zhì)得出，兩點(diǎn)對(duì)稱公式得出點(diǎn)；利用所給函數(shù)圖象、平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系，則，由三點(diǎn)之間直線最短可知的值最小時(shí)，即，可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．PH⊥OA于H，Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，，點(diǎn)．連接，四邊形是平行四邊形，，．當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，的值最小，，．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)圖象的理解與運(yùn)用能力．?dāng)?shù)形結(jié)合，恰當(dāng)利用四邊形（平行四邊形）的性質(zhì)定性構(gòu)造等量關(guān)系，理解并掌握三角形三邊關(guān)系定理（三點(diǎn)共線時(shí)取得最值）是解本題的關(guān)鍵．評(píng)卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)A，且分別與x軸交于點(diǎn)B、C.(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)若點(diǎn)D在y軸上，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D坐標(biāo).【答案】(1)A的坐標(biāo)為；(2)是等腰三角形，理由見解析；(3)，，，，【思路點(diǎn)撥】（1）聯(lián)立方程組，求出方程組的解即可；（2）分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，可得，再判斷形狀即可；（3）由與y軸不垂直，故可知只能是等腰三角形的腰，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出的長，再分，三種情況討論求解即可.【規(guī)范解答】（1）∵一次函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)A，∴解得∴A的坐標(biāo)為；（2）是等腰三角形.證明：∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴.∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴.過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，又∵，∴直線AD是線段BC的垂直平分線，∴，∴是等腰三角形；（3）由與y軸不垂直，故可知只能是等腰三角形的腰，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵,∴①當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；③當(dāng)時(shí)，同理可得：,∵,,∴此時(shí)為中點(diǎn)，不構(gòu)成三角形，舍去；綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，，【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了兩條直線相交的問題以及等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意是解答本題的關(guān)鍵22．(本題6分)（2023秋·河南開封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與直線交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)若P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在直線上是否存在點(diǎn)M，使得的面積是面積的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2)或或(3)存在，M的坐標(biāo)為或【思路點(diǎn)撥】（1）聯(lián)立兩直線解析式求出x、y的值即可得到答案；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用勾股定理求出，再分當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，兩種情況建立方程求解即可；（3）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再分①當(dāng)M在x軸下方時(shí)，②當(dāng)M在x軸上方時(shí)，兩種情況分別求出和的關(guān)系，由此建立方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：聯(lián)立解得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（2）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，當(dāng)時(shí)，則，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，則，解得或（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；（3）解：當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為∴，∴①當(dāng)M在x軸下方時(shí)，∵，∴∴，解得當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)M為②當(dāng)M在x軸上方時(shí)，∵，∴，∴，解得，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)M為；綜上所述，占M的坐標(biāo)為或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰三角形的定義，求兩直線的交點(diǎn)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．(本題6分)（2023春·江蘇常州·八年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？奸_學(xué)考試）模型建立：如圖1，在等腰直角中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，．模型應(yīng)用：(1)求證：；(2)已知直線：與、軸分別交于點(diǎn)、，直線過點(diǎn)，且與的夾角等于，如圖，求直線的函數(shù)表達(dá)式.；(3)如圖3，在長方形中，點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，，已知點(diǎn)在第一象限，是直線上的一點(diǎn)，若是等腰三角形，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)(3)或【思路點(diǎn)撥】（1）由，得，進(jìn)而得證；（2）作，交于，作于，可得是等腰直角三角形，進(jìn)而求得；（3）作于，于，構(gòu)造模型，設(shè)點(diǎn)，，，得進(jìn)而得出點(diǎn)．【規(guī)范解答】（1）證明：，，，，，，，又，；（2）如圖2，由得，，，作，交于，作于，，可得是等腰直角三角形，由上知：，，，，，設(shè)的解析式是：，∴，∴，；（3）如圖3，作于，于，設(shè)點(diǎn)，，，由上知，，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)和重合，．綜上所述，或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形綜合，三角形全等等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造模型，利用模型．24．(本題8分)（2023秋·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將邊長為正方形置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)連接，求證：是直角三角形．(3)有一動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形．【答案】(1)(2)見解析(3)或或4或或或【思路點(diǎn)撥】（1）直接將代入求值即可；（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到、、、、、的坐標(biāo)，再用勾股定理判斷即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況列方程求解即可．【規(guī)范解答】（1）是邊長為的正方形的頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；（2）四方形是正方形，點(diǎn)、、、、、的坐標(biāo)分別為：、、、、，則，，，故，故：是直角三角形；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)，則，，，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，同理可得：，（不合題意，舍去）②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，令，則，即點(diǎn)，則；，，；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：綜上所述：或或4或或或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了求一次函數(shù)值，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解一元一次方程和解一元二次方程，注意第三問情況較多，不要漏落．25．(本題8分)（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)D，E，且兩個(gè)函數(shù)圖象相交于點(diǎn)．(1)填空：m＝______，b＝______；(2)求的面積；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(4)點(diǎn)P在線段上，連接，若是直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】(1)3，6(2)的面積為50(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4)所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或【思路點(diǎn)撥】（1）由是一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)，即可解出；（2）由兩個(gè)一次函數(shù)解析式分別求出它們與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到的長，從而算出的面積；（3）由已知條件可得的面積，進(jìn)而得出的長，即可得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（4）由是直角三角形、是銳角，分和兩種情況討論，利用勾股定理即可求解．【規(guī)范解答】（1）∵是一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)，∴，解得，∴，解得，故答案為：3，6；（2）一次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，一次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∴的面積為50；（3）如圖：在線段上存在一點(diǎn)M，使得的面積與四邊形的面積比為，∵的面積與四邊形的面積比為，∴，∴，即，∴，∵點(diǎn)M在線段上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（4）點(diǎn)P在線段上，是銳角，若是直角三角形，則或，設(shè)點(diǎn)，∵，∴，，，當(dāng)時(shí)，，∴，整理得，，解得或（舍去），∴點(diǎn)P坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，∴，解得，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為；綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．26．(本題8分)（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)四川省渠縣中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)在直線上是否存在點(diǎn)P，使是以為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若將折疊，使邊落在AB上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，折痕為BC，求折痕所在直線的表達(dá)式．【答案】(1)，；(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為；(3)折痕的解析式為．【思路點(diǎn)撥】（1）利用直線解析式，容易求得、的坐標(biāo)；（2）作線段的垂直平分線，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，則容易求得點(diǎn)坐標(biāo)；（3）可設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得到，，在中，由勾股定理可得到關(guān)于的方程，可求得的值，則可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式．【規(guī)范解答】（1））在中，令可得，令可求得，，；（2）如圖1，作線段的垂直平分線，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，即點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，，，在中，當(dāng)時(shí)，可得，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）如圖2，設(shè)，則，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，，，設(shè)直線解析式為，，解得，折痕的解析式為．【考點(diǎn)評(píng)析】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，在（2）中確定出點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．27．(本題8分)（2023春·浙江金華·八年級(jí)浙江省義烏市后宅中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在長方形中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，直線與交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E．(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為；點(diǎn)E的坐標(biāo)為．(2)求的面積．(3)若動(dòng)點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)N在第一象限，又在直線上時(shí)，若是等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直接寫出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍．【答案】(1)；(2)30(3)①點(diǎn)N的坐標(biāo)為，，；②或【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可得：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是6，點(diǎn)E在y軸上，橫坐標(biāo)是0，代入直線解析式求解即可；（2）先求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)的面積=求解即可；（3）①分三種情況若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N在第一象限；點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N在第一象限；若點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)N在第一象限；結(jié)合圖形，利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可；②考慮特殊情況：當(dāng)點(diǎn)