專題12.7 全等三角形中的經(jīng)典模型-重難點題型（學(xué)生版）2022年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（人教版）

專題12.7全等三角形中的經(jīng)典模型【人教版】【題型1平移模型】【例1】（2020秋?襄城區(qū)期末）如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A＝∠D，AB∥DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學(xué)的發(fā)言，甲說：添加AB＝DE；乙說：添加AC∥DF；丙說：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三個同學(xué)說法正確的是；（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．【解題思路】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上條件∠A＝∠D，只需要添加一個能得出邊相等的條件即可證明兩個三角形全等，添加AC∥DF不能證明△ABC≌△DEF；（2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【解答過程】解：（1）說法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙；（2）證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA）．【變式1-1】（2020秋?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點O為BF的中點．【變式1-2】（2020秋?富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．【變式1-3】（2021春?雁塔區(qū)校級期中）如圖①點A、B、C、D在同一直線上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）證明：EF平分線段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到圖②時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．【題型2軸對稱模型】【例2】（2020秋?杭州校級月考）如圖，在△ABC和△BAD中，AC與BD相交于點E，已知AD＝BC，另外只能從下面給出的三個條件①∠DAB＝∠CBA，②∠D＝∠C③∠DBA＝∠CAB選擇其中的一個用來證明在△ABC和△BAD全等，這個條件是．（填寫編號），并證明△ABC≌△BAD．【解題思路】選擇條件①，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS進行證明即可．【解答過程】解：這個條件是：①，證明如下：在△ABD與△BAC中，BC=AD∠CBA=∠DAB∴△ABC≌△BAD（SAS）．【變式2-1】如圖，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于點O，求證：OB＝OC．【變式2-2】（2020秋?海珠區(qū)校級期中）如圖，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點．求證：∠BDP＝∠CDP．【變式2-3】如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求證：AM＝AN．【題型3旋轉(zhuǎn)模型】【例3】（2020秋?渝水區(qū)校級期中）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【解題思路】根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，利用SAS證明△ABD與△ACE全等，進而解答即可．【解答過程】證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【變式3-1】（2020秋?懷寧縣期末）如圖，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想線段CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想．【變式3-2】（2020秋?合江縣月考）已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如圖1，點E在BC上，求證：BC＝BD+BE；（2）如圖2，點E在CB的延長線上，求證：BC＝BD﹣BE．【變式3-3】（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【題型4一線三等角模型】【例4】（2020秋?覃塘區(qū)期中）已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作△ABC，使AB＝AC，連接BD，CE．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進而由ASA就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點都在直線m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）DE＝BD+CE．理由是：如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．【變式4-1】（2020春?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如圖1，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【變式4-2】（2020春?歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過∠BCA定點C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如圖1，則BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如圖2，①中的兩個結(jié)論還成立嗎？并說明理由；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，請直接寫出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【變式4-3】（2020秋?余杭區(qū)月考）如圖①，點B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，且CD＝2BD，點E，F(xiàn)在線段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為15，求△ABE與△CDF的面積之和．【題型5倍長中線模型】【例5】（2020秋?津南區(qū)校級期中）已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE＝AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．【解題思路】根據(jù)點D是BC的中點，延長AD到點G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等進行等量代換，得到△AEF中的兩個角相等，然后用等角對等邊證明AE等于EF．【解答過程】證明：如圖，延長AD到點G，使得AD＝DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，AD=DG∠ADC=∠GDB(對頂角相等)∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【變式5-1】（2020春?大慶期末）如圖．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，點M為BC的中點，求證：DE＝2AM．【變式5-2】（2020秋?西城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點，AD為∠BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長線于G．求證：BF＝CG．【變式5-3】（2020秋?安陸市期中）八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個三角形【理解與應(yīng)用】（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF＝5，DE＝3，設(shè)EP＝x，則x的取值范圍是．（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC＝∠ACB，點Q在BC的延長線上，QC＝BC，求證：AQ＝2AD．【題型6截長補短模型】【例6】（2020秋?涪城區(qū)校級月考）如圖，AB∥CD，E為AD上一點，且BE、CE分別平分∠ABC，∠BCD．求證：AE＝DE．【解題思路】作BE的延長線交CD的延長線于F，結(jié)合條件可證明△FCE≌△BCE，得出EF＝BE，BC＝FC，進一步可得出△AEB≌△DEF，可得出結(jié)論．【解答過程】證明：如圖，延長BE交CD的延長線于F，∵CE是∠BCD的平分線，∴∠BCE＝∠FCE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠FBA，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠FBC＝∠F．在△FCE和△BCE中∠F=∠FBC∠FCE=∠BCE∴△FCE≌△BCE（AAS），∴EF＝BE，BC＝FC，在△AEB和△DEF中，∠AEB=∠DEFBE=EF∴△AEB≌△DEF（ASA），∴AE＝ED．【變式6-1】（2020秋?蘄春縣期中）如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求證：（1）BE⊥CE；（2）BC＝A