《機械系統(tǒng)動力學》課件第三章 機械系統(tǒng)運動微分方程的求解1

第3章

機械系統(tǒng)運動微分方程的求解3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-2機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-數(shù)值法3-3機械系統(tǒng)的運動方程求解方法-半解析數(shù)值法3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動1.問題的提法工程中大量的動力學問題都可以歸結于圖3-1-1單自由度振動系統(tǒng)的力學模型,其動力學問題的數(shù)學模型表示為常微分方程的初值問題圖3-1-1單自由度振動系統(tǒng)的力學模型控制方程:滿足初始條件:3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2.單自由度振動系統(tǒng)簡諧激勵作用下的響應圖3-1-1單自由度振動系統(tǒng)的力學模型運動微分方程:滿足初始條件:根據(jù)微分方程理論,該方程解的形式為奇次通解與某個特解之和,即

為齊次通解,

為特解.3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動1）齊次通解

將奇次運動微分方程變成標準型:其中固有頻率：設方程的解為特征方程：阻尼比臨界阻尼特征根：3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動討論（1）過阻尼:根據(jù)初始條件可以得到系數(shù)A1,A2的表達式過阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動（2）欠阻尼利用欠阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動特征根：方程的通解

令,

，可得3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動（3）臨界阻尼利用臨界阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動特征方程有兩個重根即方程的通解

,

，可得3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動工程應用：固有頻率a)無阻尼自由振動方程的解

,

，b)阻尼對振幅的影響

阻尼比越大，振幅衰減越大3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動工程應用：

,

，b)阻尼對振幅的影響

阻尼比越大，振幅衰減越大兩邊取自然對數(shù)，注意到為了提高測量精度，常取n次振幅波動后對數(shù)衰減率作為阻尼比的計算公式自由振動法測量單自由度振動系統(tǒng)的阻尼比3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動工程應用：

,

，c）從圖3-1-5可知，時系統(tǒng)的位移響應回到平衡狀態(tài)的時間最短。因此對于指針式儀表讀數(shù)系統(tǒng)，常將系統(tǒng)的阻尼比調(diào)整為臨界阻尼，以達到穩(wěn)定讀數(shù)的目的3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2）特解

特解的求法很多，有比較系數(shù)法、旋轉(zhuǎn)矢量法、拉氏變換法等，較簡單快捷的方法是旋轉(zhuǎn)矢量法設特解：代入方程作旋轉(zhuǎn)矢量圖3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2）特解

作旋轉(zhuǎn)矢量圖可得將

代入上式得3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2）特解

位移動力放大系數(shù)

相位角3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動在初始條件為

欠阻尼條件下，方程的定解

上中的第一項為單自由度系統(tǒng)自由振動響應，當

時，該項趨近于0。第二項為穩(wěn)態(tài)解，表現(xiàn)為周期性運動其工程意義在于：a)當頻率比

時，振幅最大，當阻尼比

，位移動力放大系數(shù)

，即發(fā)生共振現(xiàn)象。3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動振動穩(wěn)定性設計準則

所有對于降低振動的工程應用場合，應使頻率比在

范圍內(nèi)

b)發(fā)生共振時，振幅最大，且位移響應與激勵力之間的相位角相差

位移動力放大系數(shù)

。

共振法測量阻尼比的理論依據(jù)。c)對于振動機械，應將頻率比

調(diào)整到1附近工作，以利于獲得較大的振動振幅。

d)動載系數(shù)的物理意義3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動3.單自由度振動任意激勵力作用下的響應

1）求解基本思路（疊加原理）

這里

為任意函數(shù)

1）t時刻系統(tǒng)的響應只取決于t時刻以前的作用力。在[0,t]時間段的任意激勵力

可視為一系列元沖量

組成，如圖(a)所示。b)元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應為

c)根據(jù)疊加原理，t時刻系統(tǒng)的動力響應

等于t時刻以前的元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應

的和3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應

振動系統(tǒng)受元沖量

作用的過程是一個碰撞過程，碰撞過程的研究要點是抓住碰撞前、后兩個狀態(tài)和碰撞過程即時間段

。設碰撞前系統(tǒng)靜止，碰撞后系統(tǒng)獲得一定的速度后作自由振動，而碰撞過程中系統(tǒng)的運動規(guī)律可以用沖量定理描述。3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應

首先研究作用于坐標原點的元沖量

引起的系統(tǒng)

時刻的響應碰撞前：

系統(tǒng)靜止即初位移和初速度均為0碰撞后：系統(tǒng)的位移為

，速度為

碰撞過程:元沖量

作用后質(zhì)點的速度3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動2)元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應

元沖量

作用后到

時刻的時間段[，t]，系統(tǒng)作自由振動,由元沖量

作用后質(zhì)點的速度元沖量

引起的

時刻的位移響應可得3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法3-1-1單自由度系統(tǒng)的振動3）任意激勵力

作用下系統(tǒng)的響應

即根據(jù)疊加原理，任意激勵力

作用下系統(tǒng)的響應等于

時刻以前的元沖量

引起的系統(tǒng)的動力響應應用Duhamel積分可以很方便的求出在任意激勵力作用下單自由度振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應該式即為Duhamel積分。一個令人滿意的完美結果3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法例：求初始靜止的單自由度系統(tǒng)在階躍力

作用下系統(tǒng)的響應。

根據(jù)Duhamel積分解：系統(tǒng)的運動微分方程及初始條件可寫為若阻尼比，則系統(tǒng)的響應

3-1機械系統(tǒng)運動方程求解方法-解析法例：求初始靜止的單自由度系統(tǒng)在階躍力

作用下系統(tǒng)的響應。

根據(jù)Duhamel積分解：系統(tǒng)的運動微分方程及初始條件可寫為若阻尼比，則系統(tǒng)的響應

對于激勵力為比較復雜的函數(shù)，其Duhamel積分的解析表達式無法得到，但可以用數(shù)值積分的方法計算Duhamel積分的數(shù)值近似解。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

若采用剛度法得到的多自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動微分方程為設方程的解為代入3-1-18式可得3-1-18振幅方程振幅向量

有非零解，必須頻率方程，數(shù)學上稱特征方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

關于

的

n

次多項式，有

n

個根，由小到大依次記為

稱系統(tǒng)的固有頻率可以解出

個特征向量將求得的特征根代入振幅方程稱第k階振型向量，簡稱第k階振型?？梢妌個自由度的振動系統(tǒng)，有n個固有頻率和振型向量，每個固有頻率對應一個振型向量.振型向量的第一行規(guī)定為1，這樣得到的振型向量稱主振型向量，簡稱主振型。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

n個自由度振動系統(tǒng)的自由振動響應可表達為:對于兩個自由度自由振動系統(tǒng)，其振幅方程式中:為任意常數(shù),由初始條件確定頻率方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

展開得代入振幅方程，可得2個主振型向量有2個根3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

若采用柔度法得到的多自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動的運動微分方程為有n個根，有小到大依次記為

稱系統(tǒng)的固有頻率同樣地假設振幅方程頻率方程可以解出

個特征向量3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

例:求圖示簡支梁的固有頻率和主振型。梁的抗彎剛度為EI，在三分點1和2處有相等的集中質(zhì)量m解：1.建立圖示系統(tǒng)的運動微分方程兩個自由度振動系統(tǒng)，采用柔度法柔度矩陣中的系數(shù)可以用圖乘法質(zhì)量矩陣柔度矩陣3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

解：2．求固有頻率和主振型將固有頻率代入振幅方程解得：固有頻率，

，

3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動1.多自由度無阻尼自由振動

解：2．求固有頻率和主振型第一主振型，

，

第二主振型3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動2.兩個自由度振動系統(tǒng)的諧迫振動

動力吸振器

圖3-12所示的2個自由度系統(tǒng)，在質(zhì)量m1上作用簡諧激勵力

，它也是動力吸振器的力學模型，

為主系統(tǒng)，

為子系統(tǒng)或吸振器。代入上式

其運動微分方程為令3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動2.兩個自由度振動系統(tǒng)的諧迫振動

動力吸振器

該方程一般有唯一解，其解答為：即質(zhì)點m1的振動位移振幅為0

式中：當

時

彈簧k2作用于質(zhì)點m1的力為

，在任何瞬時恰好與激勵力

大小相等，方向相反，使得原來的

主系統(tǒng)在簡諧力作用下的強迫振動位移響應完全消失，達到很好的減振效果。動力吸振器的工作原理3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

1）多自由度振動系統(tǒng)強迫振動數(shù)學模型激勵荷載

式中：阻尼矩陣

剛度矩陣質(zhì)量矩陣位移列向量3-1-303-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

2）主振型的加權正交性求出主振型向量

，將n個主振型向量用一個矩陣表示即稱為主振型矩陣

對于多自由度系統(tǒng)，可以按照下式求其n個固有頻率再由

3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

主振型關于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的加權正交性即有特征方程

證明：為系統(tǒng)的第k階固有頻率和主振型，

對于任意兩個不同的主振型向量兩邊分別左乘

和

得3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

證明：對(d)式兩邊轉(zhuǎn)置。注意到剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M的對稱性，有

由于(c)-(e)式得：因此有即主振型關于質(zhì)量矩陣的加權正交性。將(f)代入(c)式得即主振型關于剛度矩陣的加權正交性3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

由于主振型關于剛度矩陣

和質(zhì)量矩陣

的加權正交性，若主振型矩陣為

主剛度矩陣主質(zhì)量矩陣則有3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

3）方程的解耦

得：考慮方程3-1-30中無阻尼時的情形，即C=0，有阻尼的情形，若阻尼可表示為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合即

也可采用振型疊加法求解。作變量代換兩邊左乘根據(jù)主振型關于剛度矩陣

和質(zhì)量矩陣

的加權正交性，3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

由于主質(zhì)量矩陣

和主剛度矩陣

為對角矩陣，上式展開就可得并令稱廣義載荷3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

由式3-1-32兩邊同除

，并令4）求解主坐標下的振動方程

3-1-32根據(jù)Duhamel積分將上式回代到

可得到系統(tǒng)的位移動力學響應。3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

例：圖示無阻尼二自由度系統(tǒng)，若

時，，

為單位階躍函數(shù)，用振型疊加法求時域響應。解：1.建立系統(tǒng)運動方程3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

解：1.建立系統(tǒng)運動方程代入數(shù)據(jù)2.求系統(tǒng)的特征值和特征向量3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

特征方程：代入數(shù)據(jù)2.求系統(tǒng)的特征值和特征向量解得固有頻率：分別代入[B]中任一列的振型矩陣得：3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

4.求相應于主坐標的激勵

由3.求相應主坐標的初始條件5.求主系數(shù)及主坐標響應3-1-2多自由度系統(tǒng)的振動3.多自由度振動系統(tǒng)的強迫振動

振型疊加法

兩個激勵產(chǎn)生的響應為于是解耦后方程：6.求原系統(tǒng)的廣義坐標響應：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)1.波動方程的解答

對于園軸的自由扭轉(zhuǎn)振動式中對于園軸的自由扭轉(zhuǎn)和桿件的軸向運動，作為連續(xù)系統(tǒng)，其運動微分方程代入方程3-1-34：3-1-34可以用分離變量法求解設方程的解的形式：即3-1-3連續(xù)系統(tǒng)1.波動方程的解答

其解為從而有式中A,B,C,D為待定系數(shù)，由邊界條件和初始條件決定?？梢?，

為振動系統(tǒng)的固有頻率

，

為振動系統(tǒng)的振型函數(shù),其中系數(shù)C，D一般可由邊界條件確定。最后方程的通解為：

式中

3-1-3連續(xù)系統(tǒng)例：圖3-15為一端固定的園軸，使其作扭轉(zhuǎn)自由振動，求其固有頻率、振型函數(shù)和響應。

解：該問題的邊界條件為

代入通解得：方程的解可寫成求導得：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)園軸的自由端無外力偶作用

對應的振型函數(shù)為可見，對于連續(xù)系統(tǒng)，有無窮多個固有頻率，對應的有無窮多個振型函數(shù)。固有頻率3-1-3連續(xù)系統(tǒng)若初始條件為

由方程的解答由得得3-1-3連續(xù)系統(tǒng)2.梁的橫向自由振動

用分離變量法求解。令整理：梁的橫向自由振動運動微分方程為：代入方程3-1-36得：

3-1-363-1-3連續(xù)系統(tǒng)2.梁的橫向自由振動

令由上式的第1式代入上式的第2式得的通解：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

運動微分方程的通解為待定系數(shù)，可由邊界條件和初始條件確定。例：圖示簡支梁作自由振動，求固有頻率和振型函數(shù)因3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

解：該問題的邊界條件可寫成將的表達式代入

得

3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

即又因為

故只能有若

，對應的解答為零解，無工程意義。只能有頻率方程各階固有頻率：振型函數(shù)為：3-1-3連續(xù)系統(tǒng)

前3階振型函數(shù)圖形見圖3-16(b)。與多自由度振動系統(tǒng)類似，連續(xù)系統(tǒng)的振型函數(shù)也具有正交性。

3-1-4非線性系統(tǒng)

與線性系統(tǒng)不同，非線性系統(tǒng)疊加原理不能成立，一般很難得到精確解，用解析法也只能得到問題的近似解，目前還缺乏一種適用面廣泛的通用方法。這就導致求解非線性振動問題的方法很多，但每一種方法都有其適用性和局限性，這里介紹2種求解非線性振動問題的常見方法，攝動法和平均法。

1.攝動法改寫Duffing方程：式中

為小參數(shù)，故攝動法又叫小參數(shù)法。3-1-4非線性系統(tǒng)

攝動法的基本思想：認為方程的解

依賴于小參數(shù)

，從而形如

將其展開：認為

是計入非線性后對派生解

的一種修正代入方程并進行比較3-1-4非線性系統(tǒng)

初值問題成為：

根據(jù)

的任意性，式中

同次冪系數(shù)必然自行相等，從而有：得到一組可依次求解的序列線性常微分方程的初值問題，求解這個序列問題