2024-2025學(xué)年北京市北京工業(yè)大學(xué)附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京工業(yè)大學(xué)附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x?2=0的斜率為(

)A.0 B.2 C.12 D.2.空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A(?2,1,4)關(guān)于點(diǎn)B(?2,0,0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

)A.(?2,?1,?4) B.(?4,?1,?4) C.(?6,1,4) D.(?2,3.已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x?y+3=0的距離為1，則a等于(

)A.2 B.2?2 C.4.已知F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=3，則A.x22+y2=1 B.x5.已知圓C：x2+y2?6x+4y?4=0，則過(guò)點(diǎn)M(4,?1)的最短弦所在直線A.x+2y?2=0 B.x?y?5=0 C.x+y?3=0 D.x?2y?6=06.若直線2x+y?1=0是圓x2+y2?2ax+A.12 B.?12 C.17.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2,1)和點(diǎn)Q(2,2,0)，則點(diǎn)A(1,?1,?1)到l的距離為(

)A.3 B.23 C.118.若直線l：mx+ny=4和圓O：x2+y2=4沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)(m,n)的直線與橢圓A.0個(gè) B.至多有一個(gè) C.1個(gè) D.2個(gè)9.若給定一向量組A={a1,a2…,an}和向量c，如果存在一組實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn，使得c=k1a1+kA.?4 B.?3 C.0 D.110.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓.人們將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知A(?1,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA||MB|=12，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線W，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線W的方程為(x+2)2+y2=4；

②曲線W上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)(1,1)距離為6；

③曲線W上存在點(diǎn)E，使得E到直線y=x+1的距離為6；

④曲線W上存在點(diǎn)F，使得F到點(diǎn)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.雙曲線x23?12.拋物線y=8x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．13.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,?4,2)，且a⊥c，b14.眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱(chēng)的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，因而也被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，整個(gè)圖形是一個(gè)圓形，其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓.已知直線l：y=a(x?2).若直線l與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個(gè)公共點(diǎn).則a的取值范圍是______．15.在△ABC中，∠A=30°，|AB|=2，SΔABC=3.若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率16.已知橢圓C：x24+y22=1，過(guò)原點(diǎn)O的直線y=kx交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A向x軸引垂線，垂足為D，連接BD并延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)E，直線AE和BD的斜率分別為k1，三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點(diǎn).應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題．

(1)求EF18.(本小題12分)

已知直線2x?y+m=0和圓O：x2+y2=5，

(1)m為何值時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

(2)m為何值時(shí)，截得的弦長(zhǎng)為2；

(3)若直線和圓交于A、B兩點(diǎn)，此時(shí)OA⊥OB19.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90°，D是CC1的中點(diǎn)．

(1)求證：AB//平面A1B1C1；

(2)求平面A20.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)P(1,32)在橢圓C上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓C交于A(x1,y1)，B(21.(本小題12分)

對(duì)于空間向量m=(a,b,c)，定義||m||=max{|a|,|b|,|c|}，其中max{x,y,z}表示x，y，z這三個(gè)數(shù)的最大值．

(1)已知a=(6,112,1)，b=(x,12x,?x)．

①寫(xiě)出||a||，寫(xiě)出||b||(用含x的式子表示)；

②當(dāng)0≤x≤4，寫(xiě)出||a?b||的最小值及此時(shí)x的值；

(2)設(shè)a=(x1,y1,z1)，b=(參考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.C

6.A

7.C

8.D

9.D

10.C

11.x±12.(0,113.3

14.(?415.316.②③④

17.(1)解：以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

如圖所示：

由正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1(2,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，

D1(0,0,2)，D(0,0,0)，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點(diǎn)，所以E(2,1,0)，F(xiàn)(1,1,1)，

則EF=(?1,0,1)，可得|EF|=1+0+1=2；

(2)證明：由(1)可得CD=(0,?2,0)，A1D=(?2,0,?2)，

所以CD?EF=0，EF?A18.解：(1)由已知，圓心為O(0,0)，半徑r=5，圓心到直線2x?y+m=0的距離d=|m|4+1=|m|5，

∵直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，∴d>r，即|m|5>5，

∴m>5或m<?5．

故當(dāng)m>5或m<?5時(shí)，直線與圓無(wú)公共點(diǎn)．

(2)由平面幾何垂徑定理知r2?d2=12，即5?m25=1．

得m=±25，19.(1)證明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，

側(cè)面ABB1A1為平行四邊形，

故AB//A1B1，又AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，

所以AB/?/平面A1B1C1；

(2)解：因?yàn)镃C1⊥平面ABC，∠ACB=90°，

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,1)，

所以平面ABC的一個(gè)法向量為m=CC1=(0,0,2)，

設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

因?yàn)镈A1=(2,0,1),DB=(0,2,?1)，

所以n?DA1=0n?DB=0，即2x+z=02y?z=0，

令y=1，則x=?1，z=2，

故n=(?1,1,2)，

所以cos<n,m>=n?m|20.解：(Ⅰ)由題意可得2a=4，即a=2，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得14+34b2=1，解得b2=1，

所以橢圓的方程為：x24+y2=1；

(Ⅱ)由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為x=my+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由題意可得A，B的縱坐標(biāo)同號(hào)，

假設(shè)存在N(t,0)，t≠0，

聯(lián)立x=my+4x2+4y2=4，整理可得：(4+m2)y2+8my+12=0，

可得Δ=64m2?4×12×(4+m2)>0，即m2>12，

且y1+y2=?8m4+m2，y1y2=124+m2，

設(shè)直線NA，直線NB21.解：(1)由題可知，‖a‖=max{6,112,1}=6,‖b‖=max{|x|,|12x|,|?x|}=|x|,a?b=(6?x,112?12x,1+x)，

‖a?b‖=max{|6?x|,|112?12x|,|1+x|},0≤x≤4．

在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出y=|6?x|,y=|112?12x|,y=|1+x|的圖像如下圖所示．

因?yàn)椤琣?b‖=max{|6?x|,|112?12x|,|1+x|}，

則函數(shù)y=‖a?b‖的圖像是圖中加粗部分折線，

直線y=6?x與y=112?12x交于點(diǎn)M(1,5)，

直線y=x+1與直線y=112?12x交